лекции по Электричеству и Магнетизму. Электричество и Магнетизм. Электрическое поле в вакууме

• Название: Электрическое поле в вакууме
• Анкор: лекции по Электричеству и Магнетизму
• Дата: 16.04.2023
• Размер: 2.11 Mb.
• Имя файла: Электричество и Магнетизм.pdf
• Тип: Глава; #1065828
• страница: 6 из 7

Глава 9. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
9.1. Закон электромагнитной индукции Фарадея
В 1831 г. Фарадей открыл, что во всяком замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, возникает электрический ток. Это явление назвали электромагнитной индукци- ей.
Величина индукционного тока не зависит от способа, которым вызывается изменение магнитного потока , и определяется лишь скоростью изменения потока , т.е. значением d/dt.
Рассмотрим один из опытов Фарадея, позво- ляющих понять явление электромагнитной индукции.
Концы металлической проволоки, навитой на катуш- ку, подключались к гальванометру (рис. 9.1). При движении магнита в сторону катушки стрелка гальванометра G отклонялась. Это значит, что в витках ка- тушки возбуждалась ЭДС и возникал ток, названный Фарадеем индукционным
током. Если магнит выводить из катушки, то стрелка гальванометра отклоня- лась в противоположную сторону. При остановке магнита стрелка возвраща- лась в нулевое положение.
Тот же эффект можно наблюдать, если магнит держать неподвижно, а ка- тушку двигать. При движении магнита или катушки изменяется магнитный по- ток, пронизывающий витки катушки. Явление возникновения электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, ох- ватываемого этим контуром, называется электромагнитной индукцией.
Закон электромагнитной индукции Фарадея:
t
i
d d 



. (9.1)
ЭДС электромагнитной индукции, возникающая в замкнутом проводя-
щем контуре, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока,
пронизывающего контур.
G
S
N
N
S
I
Рис. 9.1. Опыт Фарадея

Электромагнитная индукция
2
Явление электромагнитной индукции наблюдается и при движении про- водника в магнитном поле или в неподвижном проводнике при изменении маг- нитного поля.
Знак минус в формуле (9.1) обусловлен правилом Ленца: индукционный
ток направлен так, чтобы своим магнитным полем противодействовать из-
менению магнитного потока, вызвавшего индукционный ток.
При определении направления индукционного тока в проводнике удобно пользоваться правилом правой руки: если силовые линии магнитного поля вхо- дят в ладонь, а отогнутый большой палец показывает направление движения проводника, то четыре вытянутые в той же плоскости пальца показывают на- правление индукционного тока.
Индукционные токи возникают не только в линейных проводниках, но и в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле. Эти токи оказываются замкнутыми в толще проводника и поэтому назы- ваются вихревыми токами. Их также называют токами Фуко – по имени перво- го исследователя.
Вихревые токи вызывают нагревание проводников. Поэтому для умень- шения потерь на нагревание сердечники трансформаторов и якоря генераторов делают не сплошными, а изготавливают из тонких пластин, отделенных одна от другой слоями изолятора и устанавливают их так, чтобы вихревые токи были направлены поперек пластин.
Теплота, выделяемая токами Фуко, используется в индукционных метал- лургических печах. В переменном высокочастотном магнитном поле в металле возникают интенсивные вихревые токи, способные разогреть его до температу- ры плавления. Такой способ позволяет плавить металлы в вакууме, в результате чего получаются сверхчистые материалы.
9.2. Явление самоиндукции. Индуктивность
Самоиндукцией называется возникновение ЭДС индукции в катушке или контуре вследствие изменения в них электрического тока. Эта ЭДС называется
электродвижущей силой самоиндукции.

Электромагнитная индукция
3
Ток и создаваемый им магнитный поток пропорциональны друг другу:
Li


, (9.2) где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура
(катушки, проводника). Индуктивность контура зависит от его размеров, фор- мы и магнитной проницаемости среды, в которой он находится.
В СИ индуктивность измеряется в генри (Гн). 1 Гн – это индуктивность такой катушки (контура), в которой при равномерном изменении тока на 1 А за
1 с возникает ЭДС самоиндукции 1 В.
Определение индуктивности как коэффициента пропорциональности ме- жду током и магнитным потоком называется статическим определением ин- дуктивности.
Подставив выражение (9.2) в (9.1) и считая L  const, получим
t
i
L
s
d d



. (9.3)
Формула (9.3) дает возможность определить индуктивность как коэффи- циент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в контуре и возникающей ЭДС. Такое определение индуктивности называется динамиче-
ским определением.
В качестве примера определим индуктивность длинного соленоида.
Если по соленоиду течет ток i, то полный магнитный поток сквозь соле- ноид (потокосцепление)  равен
Li


, (9.4) где   N, N – число витков соленоида. С другой стороны,
  N  NBS, (9.5) где N – число витков соленоида;   BS – магнитный поток, пронизывающий каждый виток; S – площадь поперечного сечения соленоида.
Магнитная индукция длинного соленоида
ni
B
0


, (9.6) где n  N/l – число витков на единицу длины соленоида,  – магнитная прони- цаемость сердечника соленоида.

Электромагнитная индукция
4
Из уравнений (9.4) – (9.6) получим
V
n
NnS
L
2 0
0




, (9.7) где V Sl – объем соленоида.
В соответствии с формулой (9.7) индуктивность соленоида зависит от его объема V, числа витков n и магнитной проницаемости сердечника .
9.3. Ток при замыкании и размыкании цепи
Ток самоиндукции возникает в электрической цепи, содержащей сопро- тивление R, индуктивность L и источник тока с ЭДС  (рис.9.2). Такой ток на- зывается экстратоком самоиндукции.
В случае, когда ключ K занимает положе- ние 1, по цепи протекает постоянный ток I
0
. В со- ответствии с законом Ома для замкнутой цепи
R
I


0
Разомкнем цепь, переведя ключ в положение 2. При этом ток начнет уменьшаться. В соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея в катушке возникает ЭДС самоиндукции 
s
По 2-му правилу Кирхгофа падение напряжения iR равно, в данном слу- чае, ЭДС самоиндукции: iR  
s
. Так как
t
i
L
s
d d



, то
t
L
R
i
i
t
i
L
iR
d d
d d





Интегрируя это однородное дифференциальное уравнение, получим
C
t
L
R
i
t
L
R
i
i
ln ln d
d








, откуда следует закон убывания тока i в цепи при ее размыкании:



/
e
t
C
i
Величина   L/R называется временем релаксации, т.е. временем, за ко- торое ток в цепи уменьшается в e раз.
Рис. 9.2. Электрическая цепь с элементами L, R, 

L
R
K
1 2

Электромагнитная индукция
5
Постоянную интегрирования C определим из начальных условий. Пусть в момент размыкания цепи (t  0), ток был равен I
0
. Тогда i(0)  I
0
и С  I
0
. Тогда



/
0
e
t
I
i
. (9.8)
Таким образом, при отключении источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (9.8) и определяется кривой 1 на рис. 9.3.
Чем больше индуктивность цепи и мень- ше ее сопротивление, тем больше  и, следова- тельно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.
Теперь замкнем цепь, переведя ключ K из положения 2 в положение 1. Сила тока в цепи станет возрастать, поэтому в катушке возникнет
ЭДС самоиндукции
t
i
L
s
d d



. В соответствии со 2-м правилом Кирхгофа па- дение напряжения в цепи равно








t
i
L
iR
iR
s
d d
Преобразуем это дифференциальное уравнение к виду
L
i
L
R
t
i



d d
Мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Общее решение такого уравнения может быть представлено как сумма общего реше- ния соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднород- ного уравнения:
неоднор
част
однор
общ
i
i
i


. В данном случае частное решение неодно- родного уравнения легко установить. Оно равно I
0
 /R, где I
0
– установивший- ся ток (при t  ).
Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения мы уже нашли. Оно представляет собой функцию



/
e
t
C
i
. Таким образом, можно написать
I
0
i
0
t
2 1
Рис. 9.3. Ток при замыкании (2) и размыкании (1) цепи

Электромагнитная индукция
6




/
0
e
t
C
I
i
Постоянную интегрирования найдем из начальных условий. Пусть замы- кание цепи происходит в момент времени t  0, при этом ток I(0)  0. Тогда
0 0
0 0
;
)
0
(
I
C
C
I
C
I
I







Следовательно, при замыкании цепи ток возрастает по закону:
)
e
1
(
/
0




t
I
i
. (9.9)
Таким образом, при включении источника тока сила тока возрастает по экспоненциальному закону (9.9) и определяется кривой 2 на рис. 9.3. Сила тока возрастает от начального значения I  0 и асимптотически стремится к устано- вившемуся значению I
0
 /R. Скорость нарастания определяется тем же време- нем релаксации   L/R, что и убывание тока.
Следует иметь в виду, что контур, содержащий большую индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это приведет к возникновению значительной
ЭДС самоиндукции и вызовет пробой изоляции или выведет из строя измери- тельные приборы. Если в контур вводить сопротивление постепенно, то ЭДС самоиндукции не достигнет больших значений.
9.4. Взаимная индукция
На рис. 9.4 показаны два близко расположенных контура. Сплошными стрелками изображены линии магнитного поля тока i
1
, а пунктирными – тока i
2
Если сила тока в контуре 1 изменяется, то изменя- ется магнитный поток
1 21 2
i
L


, пронизывающий контур 2, и в нем возникает ЭДС индукции
t
i
L
t
i
d d
d d
1 21 2
2






Аналогично, при изменении тока i
2
во втором кон- туре, изменяется магнитный поток
2 12 1
i
L


, про- низывающий контур 1, и в нем возникает ЭДС индукции
t
i
L
t
i
d d
d d
2 12 1
1






i
1
i
2
B
1
B
2 1
2
Рис. 9.4. Связанные контуры

Электромагнитная индукция
7
Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной ин-
дукцией.
Коэффициенты пропорциональности L
12
и L
21
называются взаимной ин-
дуктивностью. Расчет показывает, что L
12
 L
21
. Взаимная индуктивность зави- сит от формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей среды.
Найдем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник (рис. 9.5). Индукция магнитного поля, создаваемого первой катушкой с числом витков N
1
, током i
1
, и магнитной прони- цаемостью  сердечника
l
i
N
B
1 1
0


, где l – длина средней линии сердечни- ка. Магнитный поток через один виток второй катушки равен
S
l
i
N
BS
1 1
0 2




Тогда полный магнитный поток через вто- ричную обмотку, содержащую N
2
витков,
1 2
1 0
2 2
Si
l
N
N
N





. Поток  создается то- ком i
1
, поэтому взаимная индуктивность
S
l
N
N
i
L
2 1
0 1
21




. (9.10)
Если вычислить магнитный поток, создаваемый катушкой 2 через катуш- ку 1, то для L
12
получим выражение в соответствии с формулой (9.10). Таким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на общий торои- дальный сердечник,
S
l
N
N
i
L
L
2 1
0 1
21 12





9.5. Трансформаторы
Трансформаторы – это устройства для повышения или понижения на- пряжения переменного тока. Их действие основано на явлении взаимной ин-
l
S
N
1
i
1
N
2
Рис. 9.5. Расчет взаимной индуктивности двух катушек

Электромагнитная индукция
8 дукции. Впервые трансформаторы были сконструированы П.Н. Яблочковым и
И.Ф. Усагиным.
Устройство трансформатора показано на рис. 9.6. На железном сердечнике закреп- лены две обмотки, имеющие соответственно
N
1
и N
2
витков. Так концы первичной обмот- ки подключены к источнику переменного напряжения с ЭДС 
1
, то в ней возникает пе- ременный ток i
1
, создающий в сердечнике трансформатора магнитный поток , который практически полностью локали- зован в сердечнике и, следовательно, почти целиком пронизывает витки вто- ричной обмотки. Изменение этого тока вызывает во вторичной обмотке появ- ление ЭДС взаимной индукции, а в первичной – ЭДС самоиндукции.
Ток i
1
определяется по закону Ома:
1 1
1 1
)
(
d d
R
i
N
t





, где R
1
– сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения i
1
R
1
на сопро- тивлении R
1
при быстропеременных полях мало по сравнению с каждой из двух
ЭДС, поэтому
t
N
d d
1 1



. (9.11)
ЭДС взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке, равна
t
N
t
N
d d
d
)
d(
2 2
2






. (9.12)
Из формул (9.11) и (9.12) следует, что
1 1
2 2





N
N
. (9.13)
Знак минус в формуле (9.13) означает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе. Отношение числа витков
1 2
N
N
называется
коэффициентом трансформации.

1

2
N
1
N
2
Рис. 9.6. Трансформатор

Электромагнитная индукция
9
Пренебрегая потерями энергии, которые не превышают 2%, можно запи- сать, что мощности тока в обеих обмотках трансформатора практически одина- ковы:
2 2
1 1
i
i



, откуда, с учетом соотношения (9.13), найдем
1 2
2 1
1 2
N
N
i
i




, т.е. токи в обмотках трансформатора обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках.
Если
1 1
2

N
N
, то имеем дело с повышающим трансформатором, увеличи- вающим переменную ЭДС и понижающую ток. Повышающие трансформаторы используются, например, для передачи электроэнергии на большие расстояния, так как в данном случае потери на джоулеву теплоту, пропорциональные квад- рату силы тока, снижаются.
Если
1 1
2

N
N
, то имеем дело с понижающим трансформатором, умень- шающим ЭДС и повышающим ток. Понижающие трансформаторы применяют- ся, например, при электросварке, так как для нее требуется большой ток при низком напряжении.
Трансформаторы, используемые в технике, часто имеют 4 – 5 обмоток, в зависимости от их назначения. Разновидностью трансформатора является ав-
тотрансформатор, т.е. трансформатор, содержащий одну обмотку. В случае повышающего автотрансформатора ЭДС подводится к части обмотки, а вто- ричная ЭДС снимается со всей обмотки. В понижающем автотрансформаторе напряжение сети подается на всю обмотку, а вторичная ЭДС снимается с части обмотки.
9.6. Энергия магнитного поля
Рассмотрим цепь, показанную на рис. 9.7. Сначала переведем переключа- тель K в положение 1, замкнув тем самым соленоид на батарею. По катушке

Электромагнитная индукция
10 потечет электрический ток i и в катушке возникнет магнитное поле. Переведем теперь переключатель в положение 2, отключив соленоид от батареи и замкнув его на сопротивление R. В цепи будет течь убывающий ток. Работа, совершенная этим током за время dt:








d d
d d
d d
i
t
i
t
t
i
A
s
Но d  Ldi, поэтому, dA  Lidi. Работа по созданию магнитного поля будет




0 2
2
d
i
Li
i
Li
A
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с соленоидом,
2 2
Li
W 
Выразим энергию магнитного поля через параметры, характеризующие само поле. Так как L  
0
n
2
V и H  ni, то i  H/n. Здесь V – объем соленоида,
H – напряженность магнитного поля, n – число витков, приходящихся на еди- ницу длины соленоида. Следовательно,
V
H
V
n
H
n
W
2 2
2 0
2 2
2 0




Тогда объемная плотность энергии магнитного поля равна
2 2
0
H
V
W
w



. (9.14)
Так как индукция магнитного поля B и напряженность H связаны соот- ношением B  
0
H, то формулу (9.14) можно записать в виде
0 2
2 0
2 2
2





B
BH
H
w
Энергию магнитного поля находят путем интегрирования:
V
H
V
w
W
V
V
d
2
d
2 0





Рис. 9.7. К расчету энергии магнитного поля

L
R
K
1 2