лекции по Электричеству и Магнетизму. Электричество и Магнетизм. Электрическое поле в вакууме
 Скачать 2.11 Mb.
|
|
ГЛАВА 3. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 3.1. Равновесие зарядов на проводнике Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то он распределится та- ким образом, что будет находиться в положении равновесия. Так как носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно ма- лой силы, то равновесие зарядов на проводнике может наблюдаться лишь при выполнении следующих условий: Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна ну- лю: E 0. В соответствии с выражением grad E это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным, т.е. const. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каж- дой точке направлена по нормали к поверхности E E n Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника бу- дет эквипотенциальной. Поместим незаряженный металлический проводник в виде пластины в электрическое поле плоского конденсатора напряженностью E (рис. 3.1, а). Под действием сил поля свободные электроны проводника перемещаются к поло- жительно заряженной пластине конденсатора и накапливаются на краю иссле- дуемого проводника. На другом краю проводника возникают положительные заряды. Явление разделения электрических зарядов в проводнике под действи- ем внешнего электрического поля с напряженностью E 1 называется электро- статической индукцией. Заряды электростатической индукции, называемые индуцированными за- рядами, создают в проводнике внутреннее электрическое поле с напряженно- стью E 2 , которое направлено против внешнего электрического поля. При равен- стве зарядов внешнего и внутреннего полей равны и напряженности. Проводники в электрическом поле 2 Напряженность результирующего поля внутри проводника равна нулю E E 1 E 2 0. В связи с отсутствием электрического поля внутри проводника все его точки имеют одинаковый потенциал, а поверхность является эквипотенци- альной. Электрическое поле отсутствует не только в сплошном проводнике, но и в проводящей оболочке (рис. 3.1, б). Это свойство используется для защиты приборов от действия электрических полей путем их экранирования. 3.2. Электроемкость Потенциал проводника пропорционален находящемуся на нем заряду т.к. при увеличении заряда в несколько раз, во столько же раз увеличивается на- пряженность поля в каждой точке пространства вокруг проводника и в такое же число раз возрастает работа переноса единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника, т.е. потенциал проводника. Таким образом q C, (3.1) где C – коэффициент пропорциональности между потенциалом и зарядом. Этот коэффициент пропорциональности называется электроемкостью (емкостью) проводника. Из (3.1) следует, что q C . (3.2) E 2 E 1 +q -q а) E0 экран б) Рис. 3.1. Металлическая пластина в электрическом поле конденсатора (а); применение экрана (б) Проводники в электрическом поле 3 Емкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повы- шает его потенциал на единицу. В СИ за единицу емкости принимают емкость такого проводника, потен- циал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Эта единица емкости называется фарад (Ф), т.е. Ф В Кл ] [ C Фарад – это очень большая единица емкости. На практике пользуются более мелкими единицами: 1пФ 110 -12 Ф; 1нФ 110 -9 Ф; 1мкФ 110 -6 Ф. Вычислим емкость шара радиуса R по формуле (3.2): R q C 0 4 , (3.3) R 0 4 1 – потенциал шара. Подставим в формулу (3.3) R 6,410 6 м – ради- ус Земли, тогда C 711 мкФ. Расчет показал, что даже такое огромное тело, как земной шар имеет не- большую емкость. 3.3. Конденсаторы Конденсаторы – это устройства для накапливания электрических заря- дов. Конденсаторы делают в виде двух проводников, расположенных близко друг к другу. Образующие конденсатор проводники называются его обкладка- ми. Чтобы внешние тела не оказывали воздействие на емкость конденсатора, обкладки располагают так, чтобы поле было полностью сосредоточено внутри конденсатора. Конденсаторы бывают плоские, цилиндрические и сферические. Емко- стью конденсатора называется величина, равная 2 1 q C , (3.4) где q – заряд конденсатора, 1 2 – разность потенциалов между его обкладка- ми. Проводники в электрическом поле 4 Вычислим емкость плоского, цилиндрического и сферического конденса- тора. Плоский конденсатор состоит из двух параллельных близкорасполо- женных пластин (обкладок), между которыми находится диэлектрик с прони- цаемостью . Пусть площадь одной обкладки S, а расстояние между обкладками равно d. Как видно из рис. 3.2, поля положительно и отрицательно заряженных обкладок внутри конденсатора складываются, поле будет однородным, а вне конденсатора компенсируют друг друга. Напряженность поля внутри конденсатора равна S q E E E 0 0 0 0 2 2 , где q – заряд конденсатора. Но S qd d E 0 2 1 Тогда, в соответствии с формулой (3.4), емкость плоского конденсатора равна d S C 0 . (3.5) Из формулы (3.5) видно, что емкость плоского конденсатора пропорцио- нальна площади его обкладки и обратно пропорциональна расстоянию между обкладками. Цилиндрический конденсатор состоит из двух коаксиальных металли- ческих цилиндров, с радиусами оснований R 1 и R 2 и высотой H (рис. 3.3). Меж- ду обкладками конденсатора находится диэлектрик с проницаемостью . + E + E E + E E + +E d Рис. 3.2. Плоский конденсатор R 1 R 2 H Рис. 3.3. Цилиндрический конденсатор Рис. 3.4. Сферический конденсатор R 1 R 2 Проводники в электрическом поле 5 Электрическое поле внутри цилиндрического конденсатора подобно по- лю длинной заряженной нити: Hr q r r E 0 0 2 1 2 ) ( , где - заряд, приходящийся на единицу длины цилиндров, r – расстояние от оси цилиндра до точки, находящейся в промежутке между обкладками конден- сатора (R 1 < r < R 2 ). Так как поле внутри цилиндрического конденсатора неоднородное, то разность потенциалов между его обкладками найдем по формуле: 1 2 0 0 2 1 ln 2 d 2 d ) ( 2 1 2 1 R R H q r r H q r r E R R R R , откуда получается формула емкости цилиндрического конденсатора 1 2 0 ln 2 R R H C . (3.6) Как следует из формулы (3.6), емкость цилиндрического конденсатора зависит от величины его обкладок и расстояния между ними. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических металли- ческих сфер радиусами R 1 и R 2 , между которыми находится диэлектрик (рис. 3.4). Поле внутри сферического конденсатора подобно полю точечного заряда или заряженного шара и сферы: 2 0 4 1 ) ( r q r E , где q – заряд конденсатора, r – расстояние от центра сферического конденсато- ра до точки, находящейся в промежутке между сферами (R 1 < r < R 2 ). Разность потенциалов между обкладками равна 2 1 1 2 0 2 1 0 2 0 2 1 4 1 1 4 d 4 d ) ( 2 1 2 1 R R R R q R R q r r q r r E R R R R , откуда получается формула емкости сферического конденсатора Проводники в электрическом поле 6 1 2 2 1 0 4 R R R R C . (3.7) Из формулы (3.7) видно, что емкость сферического конденсатора, также как плоского и цилиндрического, зависит от размера его обкладок и расстояния между ними. Отметим, что емкости конденсаторов, в зависимости от их назначения и конструкции, лежат в пределах 1 пФ – 10000 мкФ. 3.4. Соединения конденсаторов Располагая набором конденсаторов, можно расширить число возможных значений емкости и рабочего напряжения, если применить соединение конден- саторов в батареи. Параллельное соединение конденсаторов (рис. 3.5). При параллельном соединении одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал 1 , а другая 2 . Следовательно, суммарный заряд конденсаторов N i i N i i N i i C C q q 1 2 1 1 2 1 1 ) ( ) ( Так как 2 1 q C , то емкость батареи конденсато- ров равна N i i пар C C 1 Следовательно, при параллельном соединении конденсаторов емкости складываются. Предельное напряжение батареи равно наименьшему из значе- ний U max для конденсаторов, включенных в батарею. Последовательное соединение конденсаторов (рис. 3.6). При последо- вательном соединении все конденсаторы имеют одинаковый заряд q. Поэтому напряжение на каждом из конденсаторов i i C q U 1 2 C 1 C 2 C N Рис. 3.5. Параллельное со- единение конденсаторов Проводники в электрическом поле 7 Сумма напряжений на конденсаторах равна разности потенциалов, приложен- ной к батареи N i i N i i N i i C q C q U 1 1 1 2 1 1 , откуда получается, что N i i посл C C 1 1 1 При последовательном соединении кон- денсаторов складываются величины, обратные емкостям. Напряжение на каждом конденсаторе не должно превышать указанное для него U max . Если C 1 C 2 C N , то емкость батареи равна C C 1 /N, а максимальное допустимое напряжение, которое можно подать на батарею равно (U max ) бат NU max +q q q +q +q q 1 2 C 1 C 2 C N Рис. 3.6. Последовательное соединение конденсаторов Глава 4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 4.1. Энергия системы зарядов Найдем выражение для потенциальной энергии системы точечных заря- дов. Рассмотрим два заряда q 1 и q 2 . Обозначим 12 – потенциал, создаваемый зарядом q 1 в точке, где находится заряд q 2 ; 21 – потенциал, создаваемый заря- дом q 2 в точке, где находится заряд q 1 Потенциальная энергия заряда q 1 равна 12 0 2 1 21 1 1 4 r q q q W , потенци- альная энергия заряда q 2 равна 12 0 1 2 12 2 2 4 r q q q W , где r 12 – расстояние меж- ду зарядами. Тогда энергия системы двух зарядов будет 12 2 21 1 2 1 q q W W , или 12 2 21 1 2 q q W , откуда следует ) ( 2 1 12 2 21 1 q q W Для трех зарядов путем аналогичных рассуждений, получается формула )]. ( ) ( ) ( [ 2 1 ) ( ) ( ) [( 2 1 23 13 3 32 12 2 31 21 1 23 3 32 2 13 2 31 1 12 2 21 1 q q q q q q q q q W Обозначим потенциалы в тех точках, где находятся заряды q 1 , q 2 , q 3 через , , 23 13 3 32 12 2 31 21 1 соответственно. Тогда получим формулу для энергии трех зарядов: ) ( 2 1 3 3 2 2 1 1 q q q W Для системы n зарядов: n i i i q W 1 2 1 , (4.1) Энергия электрического поля 2 где i – потенциал, создаваемый в точке, где находится заряд q i всеми зарядами, кроме q i 4.2. Энергия заряженного проводника Заряд q, находящийся на проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов q. Поверхность проводника является эквипотенциальной, поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды q, оди- наковы и равны потенциалу проводника. Применяя к системе зарядов q формулу (4.1), находим q q q W 2 1 2 1 2 1 . (4.2) 4.3. Энергия заряженного конденсатора Каждый из элементарных зарядов, на которые можно мысленно разде- лить заряд положительно заряженной обкладки конденсатора (+q), находится в точке с потенциалом 1 , а каждый из зарядов, на которые можно разделить за- ряд отрицательно заряженной обкладки (q) – в точке с потенциалом 2 . Со- гласно (4.1) энергия такой системы зарядов равна qU q q q W 2 1 ) ( 2 1 ] ) ( ) [( 2 1 2 1 2 1 . (4.3) Формулу (4.3) можно переписать в виде C q CU qU W 2 2 2 1 2 2 , (4.4) где C – емкость конденсатора, U – напряжение между его обкладками. 4.4. Энергия электрического поля Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, ха- рактеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Подставим в формулу (4.4) выражение для емкости плоского конденсато- ра, тогда 2 0 2 0 2 2 1 2 1 2 1 E Sd U d S CU W Энергия электрического поля 3 Произведение Sd представляет собой объем V, занимаемый полем. Таким обра- зом, можно написать V E W 2 2 0 Объемной плотностью энергии электрического поля называется энер- гия, приходящаяся на единицу объема, занимаемого полем. Единица объемной плотности энергии в СИ [] Дж/м 3 Следовательно, для объемной плотности энергии поля плоского конден- сатора получим формулу 2 2 0 E V W . (4.5) Отметим, что формула (4.5) дает энергию электрического поля и в общем слу- чае, независимо от того, где сосредоточено поле. Учитывая, что E D 0 , формулу (4.5) можно представить в виде 0 2 2 2 D DE Ранее мы показали, что ) ( 0 P E D , поэтому 2 2 2 ) ( 2 0 0 EP E P E E . (4.6) Первое слагаемое в формуле (4.6) представляет собой объемную плот- ность энергии электрического поля в вакууме, а второе представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. Таким образом, объемная плотность энергии поля определяется плотно- стью энергии поля в вакууме и плотностью энергии, затрачиваемой на поляри- зацию диэлектрика. Глава 5. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 5.1. Основные характеристики постоянного тока Электрический ток – направленное движение заряженных частиц под действием электрического поля. Носители тока в проводниках – электроны. В проводящих растворах ток образуют ионы, в газах – ионы и электроны. За направление тока принимают направление движения положительных зарядов, поэтому направление тока в металлах противоположно движению электронов. Линиями тока называют линии, вдоль которых движутся заряды. Сила тока – величина, равная заряду, переносимому носителями тока че- рез поперечное сечение проводника в единицу времени. Единица силы тока в СИ – ампер [А]. Ток, не меняющийся со временем по направлению и величине, называет- ся постоянным током. Сила постоянного тока I равна t q I Если сила тока зависит от времени, то мгновенное значение силы тока i определяют по формуле: t q i d d , где dq – бесконечно малый заряд, проходящий через проводник за бесконечно малый промежуток времени dt. Плотностью тока j называется отношение силы тока через расположен- ную в данной точке перпендикулярную к направлению движения носителей площадку S к величине этой площадки S I j d d Плотность тока – векторная величина. За направление вектора плотности тока принимают направление движения положительных зарядов. Постоянный электрический ток 2 Единицей плотности тока в СИ является A/м 2 . На практике плотность то- ка чаще измеряют в A/мм 2 Зная вектор плотности тока в каждой точке проводника, можно найти си- лу тока I через любую поверхность S (рис. 5.1): S n S S S j S j S j I d d cos d , где - угол между вектором j и нормалью n к dS, j n – составляющая вектора j по направлению нормали к dS. Если проводники имеют различное сечение, то плотность тока по всей длине проводника будет различ- ной, а сила тока на всем протяжении проводника будет одинакова. 5.2. Электродвижущая сила и напряжение Если к заряженному конденсатору подключить лампочку, то она через небольшой промежуток времени погаснет. Это произойдет потому, что за счет движения зарядов во внешней цепи потенциалы обкладок сравняются, и раз- ность потенциалов между обкладками будет равна нулю. Чтобы в цепи длительное время существовал ток, необходимо на опреде- ленном участке цепи поддерживать разность потенциалов, т.е. совершать рабо- ту против сил электрического поля. Так как работа электростатических сил на замкнутом пути равна нулю, то необходимы сторонние силы. Роль сторонних сил могут играть силы любой природы, кроме электростатических сил. Напри- мер, в гальваническом элементе роль сторонней силы играет энергия химиче- ской реакции. Электродвижущей силой (ЭДС) называется работа сторонних сил A ст по перемещению единичного положительного заряда q вдоль замкнутой цепи: q A ст Единицей ЭДС является вольт: n J dS Рис. 5.1. Вектор плотности тока Постоянный электрический ток 3 В Кл Дж ] [ Работа сторонних сил по перемещению заряда q вдоль замкнутой цепи равна l E q l F A d d ст ст ст , где ст F – сторонняя сила, l d – перемещение заряда, ст E – напряженность поля сторонних сил. ЭДС, действующая в цепи: l E q A d ст ст Иными словами, ЭДС, действующая в замкнутой цепи, равна циркуляции вектора напряженности поля сторонних сил. Участок 1 – 2 электрической цепи (рис. 5.2), содержа- щий ЭДС, называется неоднородным участком цепи. На заряд q на данном участке цепи действуют как сто- ронние силы F ст , так и силы электростатического поля F е : ) ( ст е ст E E q F F F Работа результирующей силы F на участке 1–2 равна ) ( d d 2 1 12 2 1 2 1 ст 12 q q l E q l E q A где 12 – ЭДС, действующая на участке 1–2. Напряжением (падением напряжения) U 12 на участке цепи 1–2 называет- ся физическая величина, численно равная сумме работ электростатических и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда: 12 2 1 12 U . (5.1) Итак, ЭДС представляет собой работу сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, разность потенциалов равна работе элек- тростатических сил, а напряжение является их суммой. 1 2 1 2 R r Рис. 5.2 Постоянный электрический ток 4 Однородным называется участок цепи, на котором не действует ЭДС. Напряжение U 12 на однородном участке цепи совпадает с разностью потенциа- лов на концах участка: 2 1 12 U 5.3. Закон Ома для однородного участка цепи Согласно закону, установленному Омом, сила тока, текущего по провод- нику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике и обратно про- порционально сопротивлению проводника R: R U I . (5.2) Сопротивление измеряется в омах (Ом). Сопротивление 1 Ом имеет такой проводник, в котором при напряжении 1 В течет ток силой 1 А. Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала, из ко- торого он изготовлен: S l R , где l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения; – удельное со- противление. Удельное сопротивление – это сопротивление проводника единичной длины и единичного сечения. Удельное сопротивление зависит от материала проводника и его температуры. Единицей удельного сопротивления проводни- ка в СИ является (Омм). Для большинства металлов удельное сопротивление растет с температу- рой приблизительно по линейному закону: ) 1 ( 0 t , где 0 – удельное сопротивление при 0С, t – температура по шкале Цельсия, 1/273 К -1 – температурный коэффициент сопротивления. Переходя к абсо- лютной температуре, получаем T 0 Постоянный электрический ток 5 У ряда металлов и сплавов при температуре несколько кельвин, сопро- тивление скачком обращается в нуль (рис. 5.3). Это явление называют сверх- проводимостью. Сверхпроводимость была обнаружена в 1911 г. Камерлинг- Оннесом для ртути. В дальнейшем сверхпроводимость была обнаружена у свинца, олова, цинка, алюминия и других метал- лов и сплавов. Для каждого сверхпроводника имеется своя критическая температура T к , при которой он переходит в сверхпроводящее со- стояние. Сверхпроводимость объясняется тем, что при низких температурах тепловая энергия электрона меньше кванта энергии, и она уже не может перейти в тепло. 5.4. Закон Ома в дифференциальной форме Закон Ома можно написать в дифференциальной форме, т.е. для малой части проводника. Выделим в окрестности данной точки внутри проводника элементарный цилиндри- ческий объем с образующими параллельными векто- ру плотности тока j в данной точке. Через попереч- ное сечение цилиндра течет ток силой jdS. Напряже- ние, приложенное к цилиндру, равно Edl, где E – напряженность поля в данном месте. Сопротивление цилиндра равно S l R d d . Подставим эти значения в формулу закона Ома, тогда l E l S S j d d d d Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора E . По- этому, направления векторов E и j совпадают. Следовательно, E E j 1 , (5.3) 0 T к T Рис. 5.3. Зависимость удельного сопротивления металлического проводника от температуры dl J E dS Рис. 5.4. Элементарный цилиндрический объем Постоянный электрический ток 6 где 1 – удельная проводимость. Формула (5.3) выражает закон Ома в дифференциальной форме. 5.5. Закон Джоуля – Ленца. Работа и мощность тока При прохождении по проводнику тока проводник нагревается. Джоуль и независимо от него Ленц обнаружили экспериментально, что количество выде- ляющегося в проводнике тепла Q пропорционально квадрату силы тока I, его сопротивлению R и времени t: Rt I Q 2 . (5.4) Если сила тока изменяется во времени, то t t R i Q 0 2 d . (5.5) Закон Джоуля – Ленца имеет следующее объяснение. Рассмотрим про- водник, к которому приложено напряжение U. За время dt из одного конца про- водника в другой конец переносится заряд dq idt. При этом силы поля совер- шают работу dA Udq Uidt. Но U iR (в соответствии с законом Ома), следо- вательно, t R i t iU A d d d 2 , (5.6) откуда следует, что t t R i A 0 2 d . (5.7) Выражение (5.7) совпадает с формулой закона Джоуля – Ленца. Таким образом, нагревание проводника происходит за счет работы, совершаемой си- лами электрического поля над носителями заряда. Работа тока, изменяющегося со временем, определяется по формуле (5.7). Для постоянного тока работа равна: IUt Rt I A 2 Единица работы электрического тока – джоуль (Дж). Работа, совершаемая источником ЭДС, равна Постоянный электрический ток 7 It A Мощность P постоянного тока – это физическая величина, равная отно- шению работы, совершаемой током за время dt, к этому интервалу времени: t A P d d . (5.8) Подставив формулу (5.6) в (5.8) и заменив i на I, получим R U R I IU P 2 2 На практике для измерения работы и энергии электрического тока часто используют единицу - киловаттчас (кВтчас); 1 кВтчас = 3,610 6 Дж. 5.6. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме Формулы (5.4) и (5.5) позволяют определить количество тепла, выде- ляющееся во всем проводнике. Получим выражение, характеризующее выделение тепла в различных местах проводника. Рассмотрим элементарный объем внутри проводника (рис. 5.4). Согласно закону Джоуля – Ленца за время dt в этом объеме выделит- ся тепло t V j t S j S l t Ri Q d d d ) d ( d d d d 2 2 2 , где l S V d d d – величина элементарного объема. Количество тепла dQ, отнесенное к единице времени и единице объема называ- ется удельной тепловой мощностью тока w. С учетом этого определения полу- чаем 2 j w . (5.9) Воспользовавшись соотношением (5.3), формуле (5.9) можно придать вид jE w . (5.10) Формулы (5.9) и (5.10) выражают закон Джоуля – Ленца в дифференци- альном виде. Чтобы, исходя из них, найти количество тепла, выделяющееся во всем проводнике за время t, нужно произвести интегрирование выражения t V w Q d d Постоянный электрический ток 8 5.7. Закон Ома для неоднородного участка цепи Ранее мы получили формулу для напряжения на участке цепи 1–2 (5.1). В соответствии с законом Ома для однородного участка цепи U 12 IR, следова- тельно 12 2 1 IR , (5.11) то есть произведение силы тока на сопротивление равно сумме разности по- тенциалов и ЭДС, действующей на данном участке цепи. Это утверждение вы- ражает закон Ома для неоднородного участка цепи. Формула (5.11) может быть записана в виде R I 12 2 1 ) ( . (5.12) На рис. 5.5 показан неоднородный участок цепи. Ус- ловимся считать ток положительным, если он течет в направлении, показанном стрелкой. ЭДС будем счи- тать положительной, если ток внутри источника течет от отрицательного полюса источника к положительному полюсу. На рис. 5.5 ЭДС имеет отрицательный знак. Пусть 1 20 В; 2 15 В; 12 10 В; R 5 Ом. Подставим заданные значения в формулу (5.12): А 1 5 10 15 20 I Для тока получилось отрицательное значение. Это означает, что ток течет в направлении 2–1. Из формулы (5.12) следует закон Ома для однородного участка цепи и закон Ома для замкнутой цепи. Для однородного участка цепи 12 0, R U R I 2 1 Для замкнутой (полной) цепи 0 2 1 , R I 12 , 1 2 12 1 2 R Рис. 5.5 - + (I >0) Постоянный электрический ток 9 где н 0 R r R – суммарное сопротивление цепи (r 0 – внутреннее сопротивление источника, R н – сопротивление нагрузки). 5.8. Правила Кирхгофа С помощью правил Кирхгофа можно рассчитывать сложные разветвлен- ные цепи. Первое правило Кирхгофа относится к узлу цепи. Узлом цепи называется точка, в которой сходится более двух проводников (рис. 5.6). Первое правило Кирхгофа формулируется следующим образом: алгеб- раическая сумма токов, сходящихся в узле цепи, равна нулю. Это правило является следствием того, что при протекании тока по про- воднику, в проводнике не накапливается электрический заряд, проводник оста- ется электрически нейтральным. Формула, выражающая первое правило Кирхгофа, записывается следую- щим образом: 0 k I Чтобы применить первое правило Кирхгофа, нужно задать произвольно направления токов, текущих к данно- му узлу и от узла. Ток, текущий к узлу, считается поло- жительным, а ток, текущий от узла – отрицательным. Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре: k k k R I Контуром называется замкнутый фрагмент цепи. Чтобы написать урав- нение по второму правилу Кирхгофа, нужно задать произвольно направление обхода контура и учесть направления токов, текущих в ветвях контура к узлам (направления токов мы задаем при составлении уравнения по первому правилу Кирхгофа). Если направление обхода контура совпадает с направлением тока, то падение напряжения IR берут со знаком плюс, в противном случае падение напряжения имеет отрицательный знак. ЭДС имеет положительный знак, если I 1 I 3 I 2 Рис. 5.6 Узел цепи Постоянный электрический ток 10 она действует по направлению обхода контура и отрицательный знак в противном случае. Напишем уравнения в соответствии с прави- лами Кирхгофа, для электрической цепи, показан- ной на рис. 5.7. Цепь содержит два узла B и E и три контура: ABED, BCFE, ACFD. ЭДС источников и сопротивления ветвей заданы. Требуется рассчитать токи I 1 , I 2 , I 3 , текущие в ветвях цепи. 3 2 1 3 2 3 3 2 2 2 1 2 2 1 1 3 2 1 0 I I I R I R I R I R I I I I . (5.13) Решив систему уравнений (5.13), например, методом определителей, най- дем значения токов, текущих в ветвях цепи. Если ток имеет отрицательное зна- чение, то это означает, что в действительности ток будет течь противополож- ном направлении. 5.9. Распределение мощности в цепи постоянного тока Электрическая цепь состоит, как правило, из источника ЭДС, соедини- тельных проводов и потребителя тока (нагрузки). Рассмотрим, как распределяется мощность тока между элементами цепи. Если пренебречь сопротив- лением соединительных проводов, то закон Ома для замкнутой цепи, показанной на рис. 5.7, можно запи- сать в виде: R r I , где r – внутреннее сопротивление источника, R – сопротивление нагрузки. Напряжение на нагрузке равно R r R IR U 1 Рис. 5.7. Схема цепи R 1 + - 2 R 2 + - - + 3 R 3 A B C D E F I 1 I 2 I 3 r Рис. 5.7. Замкнутая электрическая цепь R Постоянный электрический ток 11 Поскольку работа, совершаемая над переносимым вдоль цепи зарядом dq, равна dA dq, то мощность P, развиваемая источником ЭДС равна I t q t A P d d d d Подставив в эту формулу значение R r I , получим полную мощность, выделяемую во всей цепи R r P 2 . (5.14) В нагрузке выделяется только часть этой мощности P н : R R r R I IU P 2 2 2 н ) ( , (5.15) которая называется полезной мощностью. Отношение полезной мощности P н к полной мощности P определяет ко- эффициент полезного действия (КПД) цепи: R r R P P н . (5.16) Из формулы (5.16) следует, что КПД будет тем больше, чем больше со- противление нагрузки R по сравнению с сопротивлением источника r. Поэтому внутреннее сопротивление источника стремятся делать как можно меньше. Мощность, развиваемая данным источником ЭДС, зависит от сопротив- ления нагрузки R. Она максимальна в режиме короткого замыкания цепи (R0), но в этом случае вся мощность выделяется в самом источнике и оказывается бесполезной. С ростом сопротивления нагрузки R полная мощность убывает, стремится к нулю при R . Режим цепи, при котором R , называется режимом холостого хода. Найдем соотношение между R и r, при котором полезная мощность бу- дет наибольшей. Для этого найдем производную R P н d d и приравняем ее к нулю: 3 2 ) ( d d R r R r R P н , Постоянный электрический ток 12 r R R r R r 0 ) ( 3 2 Следовательно, чтобы отобрать от источника ЭДС наибольшую полез- ную мощность, нужно взять сопротивление нагрузки R равное внутреннему со- противлению источника r. Режим работы электрической цепи, при котором сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, назы- вают режимом согласования источника и нагрузки. Согласно формуле (1.9) КПД в режиме согласования источника и нагрузки составляет 0,5. На рис.5.8 приведены графики зависимости функций (5.14), (5.15) и (5.16) от отношения сопротивлений R/r. 1 2 3 4 5 0 R/r P 1 2 3 4 5 0 R/r 0,5 1 1 2 3 4 5 0 R/r P н Рис. 5.8 Зависимости полной мощности (а), полезной мощности (б) и КПД цепи (в) от отношения сопротивлений нагрузки R и внутреннего сопротивления r источника а) б) в) |