лекции по Электричеству и Магнетизму. Электричество и Магнетизм. Электрическое поле в вакууме

• Название: Электрическое поле в вакууме
• Анкор: лекции по Электричеству и Магнетизму
• Дата: 16.04.2023
• Размер: 2.11 Mb.
• Имя файла: Электричество и Магнетизм.pdf
• Тип: Глава; #1065828
• страница: 7 из 7

Глава 10. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
10.1. Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла
Рассмотрим случай электромагнитной индукции, когда контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, а изменения потока магнитной индукции обу- словлены изменениями поля. Так как в контуре возникает индукционный ток, то в контуре действуют сторонние сил. Эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами в контуре; они также не могут быть силами Лоренца, т.к. силы Лоренца работы над зарядом не совершают.
Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающем в контуре электрическим полем.
Обозначим напряженность этого поля
B
E

. ЭДС индукции равна циркуля- ции вектора
B
E

по контуру:



l
B
i
l
E


d . (10.1)
Так как циркуляция не равна нулю, то это поле, в отличие от потенциаль- ного электростатического поля, называется вихревым электрическим полем.
Вихревое электрическое поле не имеет истоков и стоков, на которых бы начи- нались и заканчивались линии напряженности поля.
Согласно закону электромагнитной индукции







S
i
S
B
t
t


d d
d d
d
Так как контур неподвижен, то операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами
S
t
B
S
B
t
S
S




d d
d d





Следовательно,
S
t
B
l
E
S
l
B




d d












(10.2)
Согласно идее Максвелла изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Это поле
B
E

существенно отличается

Электромагнитное поле
2 от порождаемого неподвижными зарядами электростатического поля
q
E

. Элек- тростатическое поле потенциально, его линии начинаются и оканчиваются на зарядах, причем циркуляция вектора напряженности
q
E

равна нулю:
0
d 

l
q
l
E


. (10.3)
Циркуляция вихревого поля отлична от нуля (10.1). Линии напряженности
B
E

замкнуты.
В общем случае электрическое поле представляет собой векторную сум- му (суперпозицию) двух полей:
B
q
E
E
E





. Сложив вместе уравнения (10.2) и
(10.3) получим первое основное уравнение Максвелла в интегральной форме:
S
t
B
l
E
S
l




d d












. (10.4)
Первое уравнение Максвелла (10.4) представляет собой обобщенный на
случай вихревого электрического поля закон электромагнитной индукции Фа-
радея.
10.2. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла
Для установления количественных соотношений между изменяющимися электрическими и возникающими магнитными полями Максвелл ввел в рас- смотрение так называемый ток смещения.
Рассмотрим цепь переменного тока, содержа- щую конденсатор (рис. 10.1). Движение электронов т.е. ток проводимости имеет место во всей цепи, кро- ме зазора между обкладками конденсатора. Следова- тельно, линии тока проводимости терпят на границе обкладок разрыв. Зато в пространстве между обкладками конденсатора имеется переменное электрическое поле, которое характеризуется вектором электриче- ского смещением
D

. Напомним, что
E
D


0


Максвелл предположил, что линии тока проводимости непрерывно пере- ходят на границе обкладок в линии тока смещения.
D
S
i
+q
-q
Рис. 10.1 Конденсатор в цепи переменного тока

Электромагнитное поле
3
Плотность тока проводимости определяется выражением












S
q
t
S
q
j
d d
, где S – площадь обкладки, q – распределенный на ней заряд,  - поверхностная плотность заряда обкладки.
Чтобы линии тока смещения имели такую же густоту, как и линии тока проводимости, должно выполняться равенство:




j
j
см
Выразим ток смещения через параметры электрического поля в зазоре конденсатора:







E
E
0 0
Так как
E
D
0


, то
D


. Откуда следует, что
D




. Таким образом
D
j
см


Последнее соотношение можно записать в векторном виде
D
j
см



. (10.5)
Формулу (10.5) Максвелл распространил на электрические поля любого вида, в том числе и на вихревое электрическое поле. Максвелл приписал току смещения свойство создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Со- гласно Максвеллу при расчетах магнитных полей в формулы нужно подстав- лять полную плотность тока:
t
D
j
j
j
j
см
полн











В частности, циркуляция вектора
H

по любому контуру равна
S
t
D
j
l
H
S
l





d d












. (10.6)
Уравнение (10.6) является вторым основным уравнением Максвелла в интегральной форме. Согласно (10.6) переменное электрическое поле порожда- ет магнитное поле. Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщен-
ный на случай тока смещения закон полного тока: циркуляция вектора напря-
женности магнитного поля по замкнутому контуру равна алгебраической
сумме тока проводимости и тока смещения.

Электромагнитное поле
4
Электрические и магнитные поля непрерывно связаны друг с другом.
Они образуют единое электромагнитное поле.
10.3. Описание свойств векторных полей
Для описания свойств векторных полей используют понятия векторного исчисления, которые мы здесь рассмотрим.
1. Градиент скалярной функции. Эта операция означает дифференци- рование функции по координатам с последующим суммированием:
k
z
j
y
i
x
















grad
Если использовать оператор набла 

(см. раздел 2.6), равный
k
z
j
y
i
x














, то формулу для градиента можно записать в виде





grad
Например,






E
Таким образом, операция вычисления градиента сводится к умножению вектора 

на скаляр.
2. Дивергенция вектора. Как отмечалось в разделе 2.6, дивергенция по- казывает, какой поток вытекает из единичного объема:



S
V
S
A
V
A



d
1
lim div
0
Расчет показывает, что выражение для дивергенции вектора
A

в декарто- вых координатах принимает вид:
z
A
y
A
x
A
A
z
y
x










div
, (10.7) где A
x
, A
y
, A
z
– проекции вектора
A

на соответствующие оси.
Умножим скалярно вектор 

на вектор
k
A
j
A
i
A
A
z
y
x







:
z
A
y
A
x
A
k
A
j
A
i
A
k
z
j
y
i
x
A
z
y
x
z
y
x





























)
(









Электромагнитное поле
5
Мы пришли к уравнению (10.7). Таким образом, дивергенция представ- ляет собой скалярное произведение вектора 

на вектор
A

:
A
A






div
3. Ротор вектора. Ротор вектора представляет собой предел, к которому стремится циркуляция вектора по замкнутому контуру, при стягивании контура в точку:



l
n
P
S
l
A
S
A



d
1
lim
)
(rot
, где
n
A)
(rot

 проекция вектора
A

rot на положительную нормаль к площадке S, охватываемой контуром,
A

 вектор, характеризующий поле.
Выражение для ротора вектора в декартовых координатах имеет вид:
k
y
A
x
A
j
x
A
z
A
i
z
A
y
A
A
x
y
z
x
y
z








































rot
Ротор вектора представляет собой векторное произведение вектора 

на вектор
A

:
A
A






rot
Выражение для ротора можно записать и в виде определителя:
z
y
x
A
A
A
z
y
x
k
j
i
A
A
















rot
В векторном исчислении доказывается теорема Остроградского-Гаусса



V
S
V
A
S
A
d div d



, (10.8) и теорема Стокса



S
l
S
A
l
A




d rot d
. (10.9)
В качестве вектора
A

в электродинамике принимают векторы, характери- зующие электромагнитное поле, например, векторы
E

,
D

,
H

,
B


Электромагнитное поле
6
10.4. Полная система уравнений Максвелла
Максвелл создал единую теорию электрических и магнитных явлений.
Основным следствием теории был вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.
Основу теории составляют уравнения Максвелла.
Первую пару уравнений образуют уравнения закона электромагнитной индукции Фарадея и теорема Гаусса для потока магнитной индукции:
S
t
B
l
E
S
l




d d












, (10.10)
0
d


S
S
B


. (10.11)
Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения закона полного тока и теорема Гаусса для потока электрического смещения:
S
t
D
j
l
H
S
l





d d












, (10.12)




V
S
V
S
D
d d


. (10.13)
Приведенная система четырех уравнений Максвелла дополняется соот- ношениями, характеризующими свойства среды. Для изотропных, неферромаг- нитных и несегнетоэлектрических сред такими уравнениями являются выраже- ния, устанавливающие связь между векторами
D

и
E

,
B

и
H

,
j

и
E

:
E
j
H
B
E
D












,
,
0 0
, (10.14) где 
,
,  – постоянные, характеризующие электрические свойства среды:  – диэлектрическая проницаемость,  – магнитная проницаемость,  – удельная проводимость.
Уравнения (10.10 – 10.13) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме, которые связывают значения
E

или
H

вдоль некоторого контура со значениями производных
B

или
D

в точках, принадлежащих дан- ному контуру.

Электромагнитное поле
7
От уравнений в интегральной форме легко перейти к уравнениям в диф- ференциальной форме, которые связывают значения
E

или
H

в некоторой точ- ке со значениями
B

или
D

в той же точке.
Применив теорему Стокса (10.9) к левой части уравнения (10.10) и пре- образовав, получим
t
B
E






rot
Аналогично,
t
D
j
H







rot
Применив теорему Остроградского-Гаусса (10.8) к левой части формулы
(10.11) и преобразовав, получим


D

div
Аналогично,
0
div

B

Итак, в дифференциальной форме уравнения Максвелла выглядят сле- дующим образом. Первая пара уравнений:
t
B
E






rot
, (10.15)
0
div

B

. (10.16)
Вторая пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме:
t
D
j
H







rot
, (10.17)


D

div
, (10.18) где
k
y
E
x
E
j
x
E
z
E
i
z
E
y
E
E
x
y
z
x
y
z








































rot
,
z
B
y
B
x
B
B
z
y
x










div
Совокупность семи уравнений (10.10 – 10.13) (или (10.15 – 10.18)) и
(10.14) образует основу электродинамики.

Электромагнитное поле
8
Из уравнений Максвелла следует, что электрические поля создаются ли- бо электрическими зарядами, либо переменными магнитными полями. Магнит- ные поля возбуждаются либо движущимися электрическими зарядами (токами), либо переменными электрическими полями. Магнитных зарядов в природе нет.
Для стационарных полей (E  const и B  const) уравнения Максвелла принимают вид
0
d 

l
l
E


,
0
d


S
S
B


,
I
l
H
l




d
,
q
S
D
S
d




,
0
rot

E

,
0
div

B

,
j
H



rot
,


D

div
Уравнения Максвелла выражают основные законы электромагнетизма.
Они также фундаментальны, как законы Ньютона в механике.
10.5. Электромагнитные волны
Из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей
E

и
H

переменного электромагнитного поля и все их проекции на оси декартовых ко- ординат удовлетворяют в однородной, изотропной, непроводящей среде волно- вому уравнению
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
t
s
v
z
s
y
s
x
s











, или
2 2
2 1
t
s
v
s




, где s – физическая величина, которая характеризует волну, распространяю- щуюся в среде со скоростью v, а
















2 2
2 2
2 2
z
y
x
– оператор Лапласа.
Для векторов
E

и
H

имеют место соотношения:
2 2
0 0
2 2
0 0
,
t
H
H
t
E
E
















. (10.19)
Таким образом, переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде волн, фазовая скорость которых равна

Электромагнитное поле
9


c
v
, где м/с
10 3
1 8
0 0





c
– скорость света в вакууме.
Решая систему уравнений (10.19), можно получить уравнение плоской электромагнитной волны
),
cos(
),
cos(
0 0
kx
t
H
H
kx
t
E
E






где E
0
и H
0
– амплитуды векторов
E

и
H

; k  2/ – волновое число; x – теку- щая координата пространства;  – циклическая частота колебаний.
Электромагнитные волны – поперечные волны. Векторы
E

и
H

лежат в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, т.е. к вектору ее скорости
v

в рассматриваемой точке поля. Причем, векторы
E

,
H

и
v

образуют правую тройку векторов (рис. 10.2, а).
Структура электромагнитной волны показана на рис. 10.2, б. Взаимно перпендикулярные векторы
E

и
H

колеблются в одной фазе – они одновре- менно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений.
Модули векторов
E

и
H

связаны соотношением
0 0



H
E
. (10.20)
E
H
v
а)
Рис.10.2 Электромагнитная волна: а) взаимное расположение векторов E, H, и v; б) структура электромагнитной волны
X
Y
Z
б)
E
H
v

Электромагнитное поле
10
Впервые электромагнитную волну в лабора- торных условиях получил Г. Герц в 1888 г. В опы- тах он применил вибратор, состоящий из двух ме- таллических стержней 1 (рис. 10.3), к которым подводилось переменное напряжение высокой час- тоты от индуктора 2. В момент образования искры в искровом промежутке вибратора возникали элек- тромагнитные колебания и в окружающее пространство излучались электро- магнитные волны.
Аналогичные стержни (резонатор 3) были использованы для приема волн. Герц показал, что электромагнитные волны, подобно свету, отражаются металлическими поверхностями и преломляются на границе раздела двух ди- электрических сред.
При наложении электромагнитных волн двух когерентных источников наблюдается явление интерференции, при прохождении их через малые отвер- стия или щели – явление дифракции.
С помощью металлического зеркала Герц получил стоячую волну, что позволило рассчитать скорость электромагнитных волн. Она оказалась равной скорости света.
Распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии электромагнитного поля, что позволяет осуществлять радиосвязь. 7 мая 1895 г.
А. С. Попов на заседании Русского физико-химического общества продемонст- рировал первый в мире радиоприемник, открывший возможность практическо- го использования электромагнитных волн для беспроволочной связи. Первая переданная в мире радиограмма содержала лишь два слова: «Генрих Герц».
Изобретение радио Поповым сыграло огромную роль для распространения и развития теории Максвелла.
10.6. Энергия и импульс электромагнитных волн
Объемная плотность энергии электромагнитного поля  равна
3 3
1 1
2
Рис. 10.3 Вибратор Герца

Электромагнитное поле
11 2
2 2
0 2
0
H
E





, где первое слагаемое представляет собой объемную плотность энергии элек- трического поля, а второе слагаемое – объемную плотность энергии магнитного поля.
Из соотношения (10.20) следует, что
EH
v
EH
1 0
0





, отсюда
v
EH


. Здесь v – фазовая скорость распространения волны. Фазовая скорость представляет собой скорость распространения данной фазы колеба- ний, например, скорость перемещения максимума напряженности электриче- ского поля
E

Обозначив произведение v  S, получим
EH
S 
, (10.21) где S – модуль вектора плотности потока энергии.
Так как векторы
E

и
H

взаимно перпендикулярны, то уравнение (10.21) можно записать в виде векторного произведения:
H
E
S





. (10.22)
Полученное выражение
(10.22) называется уравнением
Умова-
Пойнтинга, а вектор S

- вектором Умова-Пойнтинга. Вектор S

совпадает по направлению со скоростью
v

распространения волны и модуль его равен энер- гии, переносимой волной через единичную площадку, перпендикулярную век- тору
v

, в единицу времени. Единицей измерения вектора плотности потока энергии в системе СИ является ватт на метр в квадрате (Вт/м
2
).
Если электромагнитные волны отражаются и преломляются телами (эти явления подтверждены опытами Г. Герца), то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волн должны оказывать на тела давление. Давление элек- тромагнитных волн объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и под- вергаются со стороны магнитного поля волны действию силы Лоренца. Однако,

Электромагнитное поле
12 значение этого давления ничтожно мало. Оно приблизительно на 10 порядков меньше атмосферного давления. В экспериментах, ставших классическими,
П. Н. Лебедев в 1899 г. доказал существование светового давления на тела.
Существование давления электромагнитных волн приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс, равный
c
W
p 
, где W – энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как p  mc (поле в вакууме распространяется со скоростью c), получим p  mc  W/c, откуда
2
mc
W 
. (10.23)
Это соотношение между массой и энергией является универсальным законом природы. Согласно специальной теории относительности, выражение (10.23) имеет общее значение и справедливо для любых тел.
Свойства электромагнитных волн, вытекающие из теории Максвелла, полностью подтверждены опытами Герца, Лебедева и вводами специальной теории относительности, сыгравшими важную роль для признания этой теории.
10.7. Шкала электромагнитных волн
В зависимости от частоты  (или длины волны в вакууме   с/), а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнит- ных волн: радиоволны, оптическое излучение, рентгеновское излучение и
 - лучи. Условные границы диапазонов электромагнитных волн приведены в таблице 1.
Таблица 1. Шкала электромагнитных волн
Наименование электромагнитных
волн
Диапазон длин
волн, м
Диапазон частот,
Гц
Низкочастотные колебания
>10 4
<310 4
Радиоволны
10 4
–10
-4 3,010 4
– 3,010 12
Инфракрасное излучение
10
-4
– 0,7710
-6 3,010 12
– 3,910 14
Видимый свет
0,7710
-6
– 0,3810
-6 3,910 14
– 7,910 14
Ультрафиолетовое излучение
0,3810
-6
– 10
-8 7,910 14
– 3,010 16
Рентгеновское излучение
10
-8
– 10
-11 3,010 16
- 3,010 19
-лучи
<10
-11
>3,010 19