лекции по Электричеству и Магнетизму. Электричество и Магнетизм. Электрическое поле в вакууме

• Название: Электрическое поле в вакууме
• Анкор: лекции по Электричеству и Магнетизму
• Дата: 16.04.2023
• Размер: 2.11 Mb.
• Имя файла: Электричество и Магнетизм.pdf
• Тип: Глава; #1065828
• страница: 2 из 7

Глава 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
2.1. Полярные и неполярные диэлектрики
Диэлектрики это вещества, не проводящие электрический ток. Диэлек- трики состоят из нейтральных в целом атомов или молекул. Электрические за- ряды атомов или молекул в диэлектрике не могут свободно перемещаться под действием электрического поля по всему объему вещества.
Электрическое поле может существовать внутри диэлектрика и при этом диэлектрик оказывает на него определенное влияние, т.е. соз- дает свое собственное электрическое поле.
Диэлектрики бывают двух видов: полярные и неполярные.
Рассмотрим, например, строение атома водорода (рис. 2.1). Положитель- ный заряд ядра атома находится в центре атома. Электрон движется с большой скоростью и один оборот делает за время 10
-15
с. Поэтому заряд электрона как бы «размазывается» по орбите и центр его распределения приходится на сере- дину атома, т.е. совпадает с положительным зарядом ядра.
Диэлектрики, состоящие из молекул, у которых центры положительных и отрицательных зарядов совпадают, называются неполярными диэлектриками.
К неполярным диэлектрикам относятся инертные газы, кислород, водо- род, полиэтилен и др.
Под действием внешнего электрического поля центры распределения по- ложительных и отрицательных зарядов смещаются, и молекула становится по- добной электрическому диполю с упругой связью между зарядами.
Рассмотрим теперь молекулу NaCl. Атом натрия имеет один валентный электрон. У хлора семь валентных электронов. При образовании молекулы ва- лентный электрон натрия захватывается хлором. Оба нейтральных атома пре- вращаются в систему из двух ионов с зарядами противоположных знаков и не
e
Na
Cl
а)
б)
Рис. 2.1. Атом водорода (а), молекула NaCl (б)

Электрическое поле в диэлектриках
2 совпадающими центрами распределения положительных и отрицательных за- рядов (рис. 2.2).
Диэлектрики, состоящие из молекул, у которых центры положительных и отрицательных зарядов смещены друг относительно друга, называются поляр-
ными диэлектриками.
К полярным диэлектрикам относятся спирты, вода, NaCl и др.
Полярные диэлектрики подобны электрическим диполям с жесткой свя- зью между зарядами.
Поскольку молекулы по электрическим свойствам эквивалентны дипо- лям, рассмотрим, как ведет себя диполь во внешнем электрическом поле.
2.2. Диполь в электрическом поле
В однородном электрическом поле (рис. 2.2) диполь находится под дей- ствием момента сил, равного




sin sin
pE
qEl
M
, (2.1) где p  ql – электрический момент диполя.
Формула (2.1) может быть написана в ви- де векторного произведения
E
p
M





. (2.2)
Момент (2.2) стремится установить ди- поль так, чтобы его момент
p

был направлен по направлению поля. Это будет равновесное по- ложение диполя.
Чтобы увеличить угол между векторами
p

и
E

на малую величину d, нужно совершить работу, против сил поля, действующих на диполь:





d sin d
d
pE
M
A
Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии W диполя



d sin d
pE
W
. (2.3)
Интегрирование выражения (2.3) дает для энергии диполя в электриче- ском поле выражение
F
F
p
q
+q
E

Рис. 2.2 Диполь в однородном электрическом поле
l

Электрическое поле в диэлектриках
3








const cos d
sin
pE
pE
W
Полагая const  0, получаем
E
p
pE
W







cos
Выбрав, таким образом, значение произвольной постоянной, мы полагаем энергию диполя W
0
 0 в том случае, когда диполь устанавливается перпенди- кулярно к полю. Наименьшее значение энергии W
min
 pE получается при ори- ентации диполя по полю, наибольшее значение W
max
 pE будет при ориентации диполя против вектора
E

В неоднородном поле силы, действую- щие на заряды диполя не одинаковы по вели- чине (рис. 2.3). Пусть поле быстрее всего из- меняется в направлении оси X. Положитель- ный заряд диполя смещен относительно от- рицательного заряда в направлении X на ве- личину lcos. Поэтому напряженность поля в точках, где помещаются заряды, отличается на










cos
l
x
E
x
x
E
E
Следовательно, результирующая сил
2 1
F
F



, действующих на диполь, не равна нулю. Проекция этой результирующей сил на ось X равна











cos cos
x
E
p
l
x
E
q
E
q
F
. (2.4)
Таким образом, в неоднородном электрическом поле на диполь кроме вращательного момента (2.2) действует сила (2.4). Под действием этой силы диполь будет либо втягиваться в область сильного поля (когда <90), либо вы- талкиваться из нее (когда >90).
2.3. Поляризация диэлектриков
Если диэлектрик поместить в электростатическое поле, то в нем происхо- дит поляризация атомов (молекул), смещение разноименных зарядов в преде- лах атома или молекулы (рис. 2.4).
F
1
X
E
F
2
Рис. 2.3. Диполь в неоднородном электрическом поле

lcos
+
l

Электрическое поле в диэлектриках
4
Поляризованный атом (молекула) представляет собой электрический ди- поль, в котором заряженные частицы сдвинуты относительно друг друга и оказываются связан- ными друг с другом. Смещение положительных зарядов происходит вдоль направления электри- ческого поля, а отрицательных зарядов – в про- тивоположном направлении. Внутри диэлектрика заряды компенсируются, а на поверхности воз- никает связанный поляризационный заряд. На- пряженность поля, создаваемого внешними пла- стинами равна E
1
 /
0
; поле, обусловленное поляризационным зарядом E
2

/
0
, где  – поверхностная плотность поляризационного заряда (<). По- скольку поля антипараллельны, то суммарное поле E  E
1
 E
2
. Опыт показыва- ет, что суммарное поле ослабляется в диэлектрике в  раз, т.е. E
1
/E  . Величи- на, показывающая во сколько раз напряженность поля в вакууме больше на- пряженности поля в диэлектрике, называется диэлектрической проницаемо-
стью . Итак,






E
E
E
E
E
E
E
2 2
1 1
Отношение напряженности поля поляризационного заряда E
2
к напряженности суммарного поля E называется диэлектрической восприимчивостью :   E
2
/E.
Следовательно,
1




. При расчете поля в среде, нужно в соответствующие формулы, определяющие поле в вакууме, ввести значение . Например:
,
2 2
1
r
q
q
k
F


2 0
4 1
r
q
E



,
r
q




0 4
1
,




0
пл
2
E
,
r
E




0 2
Найдем связь между величинами  и :
E  E
1
 E
2
Так как E
1
 /
0
,
E
2
 /
0
и E  E
1
/ 
/

0
, то
/

0
 /
0
 /
0
Откуда следует, что






1
E
2
E
1
+
-
Рис. 2.4. Явление поляризации диэлектриков
E

Электрическое поле в диэлектриках
5
Поляризованность (или вектор поляризации) характеризует поляризацию еди- ницы объема диэлектрика V:
V
p
P
V
e




, (2.5) где
l
q
p
e



–
дипольный момент отдельной молекулы диэлектрика.
2
Кл/м
]
[

P

Найдем связь между модулем вектора поляризации и поверхностной плотностью поляризационного заряда. Пусть расстояние между металлически- ми пластинами на рис. 2.4 равно d. Тогда объем диэлектрика, находящегося между пластинами, будет равен V

dS, где S – площадь пластины. Сумма всех дипольных моментов молекул диэлектрика (числитель формулы 2.5) будет оп- ределять поверхностную плотность поляризационного заряда  и складываться в суммарный дипольный момент (S)d т.е.
















V
V
V
p
P
V
d
S
d
q
p
V
e
V
e



, т.е.


P

. (2.6)
Учитывая, что 


0
E
2


0
E формулу (2.6) можно записать в виде
E
P





0
. (2.7)
Формула (2.6) дает связь между величиной поляризационного заряда и векто- ром поляризации
P

, а формула (2.7) связывает вектор поляризации и напря- женность электрического поля в диэлектрике.
2.4. Вектор электрического смещения. Теорема Гаусса для потока вектора
электрического смещения
Описание поля в диэлектриках упрощается, если ввести в рассмотрение физическую величину, называемую вектором электрического смещения. Век-
тор электрического смещения равен
E
D


0


. (2.8)
Единица электрического смещения в СИ
2
м
Кл
]
[

D


Электрическое поле в диэлектриках
6
Преобразуем формулу (2.8):
P
E
E
E
E
D


















0 0
0 0
)
1
(
, т.е.
P
E
D






0
(2.9)
Формула (2.9) дает связь между вектором напряженности поля в диэлек- трике и вектором поляризации.
Следует отметить, что линии вектора
E

могут начинаться или оканчи- ваться как на зарядах, создающих внешнее поле (свободных зарядах), так и на связанных поляризационных зарядах. Линии же вектора
D

начинаются и окан- чиваются только на свободных зарядах. По этой причине густота линий век-
тора
D

не изменяется при переходе из одной среды в другую.
Теорема Гаусса для потока вектора D
.
Теорема Гаусса для потока век- тора
E

в диэлектрике может быть записана в виде
0 1
n d





n
i
i
S
q
S
E
, (2.10) где


n
i
i
q
1
– алгебраическая сумма свободных зарядов. Пользуясь соотношением
(2.8) преобразуем формулу (2.10) к виду




S
n
i
i
q
S
D
1
n d
, (2.11) где


n
i
i
q
1
– алгебраическая сумма свободных (не поляризационных) зарядов, за- ключенных внутри замкнутой поверхности и создающих поле в диэлектрике.
Если свободные заряды распределены внутри замкнутой поверхности не- прерывно с объемной плотностью заряда  то формула (2.11) видоизменяется следующим образом:




S
V
S
D
d d
n
. (2.12)
Формулы (2.11) и (2.12) выражают теорему Гаусса для вектора электри- ческого смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую

Электрическое поле в диэлектриках
7 поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхно- сти свободных зарядов.
2.5. Условия на границе раздела двух диэлектриков
Рассмотрим условия, которым удовлетворяют векторы напряженности электрического поля
E

и электрического смещения
D

на границе раздела двух диэлектриков.
Пусть диэлектрическая проницаемость первого диэлектрика 
1
, второго диэлектрика 
2
. Обозначим E
1
– напряженность поля и D
1
– электрическое сме- щение в первом диэлектрике, E
2
и D
2
– напря- женность поля и электрическое смещение соот- ветственно во втором диэлектрике.
Выделим на границе раздела диэлектри- ков небольшой прямоугольный контур abcd
(рис. 2.5), в котором стороны ab и cd пренебрежимо малы по сравнению с l.
Применим теорему о циркуляции вектора
E

(1.13), считая вклад в циркуляцию на участках ab и cd пренебрежимо малыми:
0 2
1





l
E
l
E
Поэтому
2 1


 E
E
. (2.13) где E
1 и E
2
– проекции вектора
E

на направление обхода контура


, показан- ное на рис. 2.5 стрелками (по часовой стрелке).
Из уравнения (2.13) следует, что тангенциальные составляющие векторов
1
E

и
2
E

одинаковы по обе границы раздела диэлектриков.
Заменив, согласно (2.8) проекции E
1 и E
2 проекциями вектора
D

, де- ленными на 
0
, получим
2 1
2 1





D
D
. (2.14)
Выделим на границе раздела диэлектриков замкнутую цилиндрическую поверхность с малой высотой h и площадью основания S (рис. 2.6).
d
a
b
c
l


1

2
Рис. 2.5. Контур abcd. Стрелки показывают направление обхода

Электрическое поле в диэлектриках
8

1

2

2

1
E
1
E
2
E
1
E
2
E
n1
E
n2
Рис. 2.7. Преломление линий вектора напряженности на границе раздела двух диэлектриков (
2
>
1
)
Применим теорему Гаусса для потока вектора
D

(2.11), считая, что сто- ронние заряды в выделенном объеме отсутствуют:
0
n2
n1





S
D
S
D
Поэтому
2
n
1
n
D
D 
. (2.15) где D
n1
и D
n2
– проекции вектора
D

на внешнюю нор- маль
n

. Потоком вектора
D

через боковую поверх- ность цилиндра ввиду малости пренебрегаем.
Из уравнения (2.15) следует, что нормальные составляющие векторов
1
D

и
2
D

одинаковы.
Заменив, согласно (2.8) проекции D
n1 и D
n2
проекциями вектора
E

, ум- ноженными на 
0
, получим
1 2
2
n
1
n



E
E
. (2.16)
Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектриков тангенциальная составляющая вектора
E

(E

) и нормальная составляющая век- тора
D

(D
n
) непрерывны (не претерпевают скачок), а нормальная составляю- щая вектора
E

(E
n
) и тангенциальная со- ставляющая вектора
D

(D

) претерпевают скачок.
Из условий (2.13) – (2.16) для состав- ляющих векторов
E

и
D

следует, что линии этих векторов преломляются. Найдем связь между углами 
1
и 
2
(рис. 2.7). Согласно
(2.13) и (2.16), E
2
 E
1
и 
2
E
n2
 
1
E
n1
. Раз- ложим векторы
1
E

и
2
E

у границы раздела на тангенциальные и нормальные составляющие.
Из рис. 2.7 следует, что
S
h
n
n
Рис. 2.6. Прямоугольный цилиндр малой высоты

1

2

Электрическое поле в диэлектриках
9 1
n
1 2
n
2 1
2
/
/
tg tg
E
E
E
E





Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий на- пряженности
E

(а значит, и линий смещения
D

):
1 2
1 2
tg tg





. (2.17)
Формула (2.17) показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлек- трической проницаемостью, линии
E

и
D

удаляются от нормали.
2.6. Теорема Гаусса в дифференциальном виде. Уравнения Пуассона и
Лапласа
Поделим обе части уравнения (2.12) на величину объема V и устремим объем к нулю:






V
V
S
V
V
V
S
D
V
d
1
lim d
1
lim
0 0


. (2.18)
Предел в левой части уравнения (2.18) представляет собой объемную производную, которая называется дивергенцией вектора
D

(div
D

). Диверген- ция показывает, какой поток вытекает из единичного объема, при условии, что объем стремится к нулю. Левую часть уравнения (2.18) можно представить в следующем виде



S
V
S
D
V
D



d
1
lim div
0
Предел в правой части уравнения (2.18) равен







V
V
V
V
V
V
d
1
lim
0
Следовательно, можно написать


D

div
, (2.19) т.е. дивергенция вектора
D

равна объемной плотности заряда в окрестности
данной точки поля.

Электрическое поле в диэлектриках
10
Формула (2.19) представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме. Она позволяет рассчитать объемную плотность заряда по известному распределению в пространстве электрического смещения или напряженности электрического поля.
Чтобы произвести расчеты по формуле (2.19), ее следует представить в развернутом виде и выбрать подходящую (удобную) систему координат.
Например, в декартовых координатах дивергенция вектора
D

определя- ется соотношением
z
D
y
D
x
D
D
z
y
x










div
, где D
x
, D
y
, D
z
– проекции вектора
D

на соответствующие оси координат.
Тогда формулу (2.19) можно записать в следующем виде:










z
D
y
D
x
D
z
y
x
. (2.20)
В физике часто используется операторная форма записи уравнений. Опе-
ратор – это правило, которое позволяет одной функции сопоставить другую.
Простейшими операторами являются, например, арифметические действия.
Рассмотрим один из операторов – дифференциальный векторный опера-
тор набла (в переводе с греческого языка набла – это арфа).
k
z
j
y
i
x














, где
k
j
i



,
,
– единичные векторы (орты) координатных осей.
Действие этого оператора на функцию заключается в дифференцировании функции по координатам с последующим суммированием.
Используя операторную форму записи, формулу, связывающую напря- женность поля и потенциал


 grad
E

, можно представить в виде






E
. (2.21)
Найдем скалярное произведение векторов 

и
D

:

Электрическое поле в диэлектриках
11
z
D
y
D
x
D
k
D
j
D
i
D
k
z
j
y
i
x
D
z
y
x
z
y
x





























)
(








Следовательно, формулу (2.20) можно записать в операторном виде:



 D


. (2.22)
Учитывая, что
E
D


0


, представим формулу (2.22) в виде:
0




 E


Принимая во внимание формулу (2.21), получим
0 2






, (2.23) где
2 2
2 2
2 2
2
x
y
x
















– скалярное произведение операторов набла.
Это скалярное произведение обозначают символом  и называют оператором
Лапласа:
2 2
2 2
2 2
x
y
x










. (2.24)
Используя оператор Лапласа (2.24) запишем уравнение (2.23) в виде
0






. (2.25)
Уравнение (2.25) называют уравнением Пуассона. Если свободный заряд отсутствует (  0), то
0



. (2.26)
Уравнение (2.26) называют уравнением Лапласа.
Рассмотрим следующий пример. Требуется найти распределение потен- циала внутри плоского конденсатора, если расстояние между его обкладками d, а разность потенциалов равна 
1
 
2
Решение: Направим ось X так, как показано на рис. 2.8, начало координат свяжем с левой пластиной конденсатора.

Электрическое поле в диэлектриках
12
Так как внутри конденсатора свободных зарядов нет, то применим урав- нение Лапласа (2.26). Учтем, что потенциал изменяется только в направлении оси X. Тогда уравнение Лапласа преобразуется к виду
0
d d
2 2


x
Чтобы найти распределение потенциала внутри конденсатора, дважды проинтегрируем уравнение Лапласа:







2 1
1 2
d d
c
x
c
x
c
x
, где c
1
и c
2
– произвольные постоянные интегриро- вания, которые определяются из начальных усло- вий. Пусть при x  0,   
1
, а при x  d,   
2
. Тогда c
2
 
1
и 
2
 c
1
 d + 
1
, откуда
d
c
1 2
1




. Следовательно, закон распределения потенциала внутри конденсатора имеет вид
1 1
2
)
(








x
d
x
2.7. Виды поляризации диэлектриков. Сегнетоэлектрики
Различают следующие виды поляризации диэлектрика:

Упругая электронная поляризация – внешнее поле смещает электрон- ную оболочку атомов относительно ядра. Эта поляризация характерна для всех диэлектриков.

Ионная поляризация – смещение в кристаллической решетке разно- именно заряженных ионов в противоположных направлениях. Поляризация на- блюдается в кристаллах.

Дипольная (ориентационная) поляризация – если молекулы имеют собственный электрический момент, то внешнее поле ориентирует их. Этот вид поляризации присущ полярным диэлектрикам.

Спонтанная (самопроизвольная поляризация) – у диэлектриков, имеющих в объеме большие поляризованные области (домены). Под действием электрического поля произвольно ориентированные электрические моменты
0
X
d

1

2
Рис. 2.8. К выводу формулы распределения потенциала

Электрическое поле в диэлектриках
13 доменов ориентируются в направлении внешнего поля. Спонтанная поляриза- ция наблюдается в сегнетоэлектриках.
Существует группа веществ, которые могут обладать поляризацией в от- сутствие внешнего электрического поля. Эти вещества называются сегнето-
электриками. К таким веществам относятся сегнетова соль, титанат бария и др.
Перечислим свойства сегнетоэлектриков:
 обладают поляризацией в отсутствии внешнего электрического поля;
 имеют нелинейную зависимость диэлектрической проницаемости от напряженности внешнего электрического поля;
 наличие гистерезиса.
При циклических изменениях внешнего поля зависимость P  f(E) сле- дует изображенной на рис. 2.9 кривой, на- зываемой петлей гистерезиса. При пер- воначальном включении электрического поля поляризация P растет с ростом на- пряженности поля E в соответствии с кри- вой 1. Уменьшение поляризации происхо- дит по ветви 2. При обращении напря- женности внешнего поля в нуль вещество сохраняет значение поляризации P
0
, называемое остаточной поляризацией. Только под действием противоположно направленного поля E
c
, поляризация становится равной нулю. Это значение на- пряженности поля называется коэрцитивной силой. При дальнейшем изменении
E получается ветвь 3 и т.д.
Свойства сегнетоэлектриков объясняются их доменной структурой. До-
мены – это области самопроизвольной поляризации. В пределах такой области дипольные моменты молекул отличны от нуля, однако, направления дипольных моментов разных областей различны и результирующий дипольный момент может быть равен нулю. Под действием внешнего поля моменты всех доменов устанавливаются по направлению поля, и сегнетоэлектрик поляризуется.
0
E
c
P
о
E
P
1 2
3
Рис. 2.9. Петля гистерезиса

Электрическое поле в диэлектриках
14
Для каждого сегнетоэлектрика существует температура, выше которой он утрачивает свои свойства и становится обычным диэлектриком. Эта темпе- ратура называется точкой Кюри. Например, для титаната бария точка Кюри со- ставляет 125С.
2.8. Прямой и обратный пьезоэффект
Если на сегнетоэлектрик надавить, то на его поверхности возникает по- ляризационный заряд. Это явление называется прямым пьезоэффектом. Вели- чина поляризации пропорциональна деформации кристалла. При изменении знака деформации знак поляризации меняется также на обратный. Важнейши- ми пьезоэлектриками являются кварц, сегнетова соль, титанат бария.
Если вырезать из кристалла кварца пластинку, перпендикулярную к кри- сталлографической оси a (рис. 2.10, a), и сжать ее вдоль этой оси, то на гранях пластинки появятся связанные заряды (на рисунке пластинка расположена так, что кристаллографическая ось c направлена на нас). То же самое происходит, если пластинку растянуть вдоль оси oo, перпендикулярной к кристаллографи- ческим направлениям a и c.
При изменении знака деформации (т.е. при растяжении вдоль оси a или сжатии вдоль oo) на гранях пластинки появляются поляризационные заряды другого знака.
Для практического использования пьезоэффекта на грани пластинки на- кладывают металлические обкладки. Если эти обкладки включить в электриче- скую цепь, то при изменениях деформации кристалла в цепи будут возникать
c
a
o
o
F
F
F
 U
а)
б)
Рис. 2.10. Прямой пьезоэффект (а); обратный пьезоэффект (б)

Электрическое поле в диэлектриках
15 импульсы напряжения. Такие процессы протекают, например, в пьезоэлектри- ческом микрофоне. Знакопеременная деформация пластинки под действием звуковой волны преобразуется в переменное напряжение той же частоты.
Пьезоэффект имеет следующее объяснение. Решетку всякого кристалла можно представить в виде нескольких образованных разными атомами или группами атомов более простых решеток, вставленных друг в друга. Если кри- сталл не имеет центра симметрии, то при деформации происходит сдвиг про- стых решеток друг относительно друга, который может вызвать появление у кристалла поляризационного заряда.
У пьезоэлектриков наблюдается и обратный пьезоэффект, заключаю- щийся в том, что при подаче на кристалл переменного напряжения, пьезоэлек- трик начинает вибрировать с частотой этого напряжения, т.е. в кристалле воз- никают механические колебания (рис. 2.10, б). Эти колебания будут особенно интенсивными при резонансе. Такие настроенные в резонанс пластинки ис- пользуются для получения ультразвуковых колебаний, для стабилизации часто- ты генераторов электрических колебаний и др.