лекции по Электричеству и Магнетизму. Электричество и Магнетизм. Электрическое поле в вакууме
 Скачать 2.11 Mb.
|
|
Глава 6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 6.1. Магнитное поле тока. Индукция магнитного поля В 1820 г. Эрстед обнаружил, что магнитная стрел- ка, расположенная рядом с проводником отклоняется, когда по проводнику течет ток (рис. 6.1). Магнитная стрелка, как известно, отклоняется в магнитном поле. Следовательно, вокруг проводника с током образуется магнитное поле. Магнитное поле – это форма материи, которая создается движущимися зарядами или токами. Силовой характеристикой магнитного поля является векторная величина – магнитная индукция B Индукция магнитного поля B определяется по действию поля на контур с током (рис. 6.2). За направление вектора магнитной индукции принимается направление положительной нормали n к плоскости контура с током, находя- щегося в равновесии в магнитном поле. Контур должен быть достаточно малых размеров, чтобы поле в его пределах можно было считать однородным. Положительной нормалью n контура называется перпендикуляр, проведенный к его плоскости так, что- бы направление тока в контуре было связано с направ- лением нормали правилом правого винта. Произведение силы тока I и площади контура S называется магнитным моментом контура p m . Направление вектора m p связа- но с направлением тока в контуре правилом правого винта, т.е. совпадает с на- правлением положительной нормали контура (рис. 3.2). Единицей магнитного момента является ампер-квадратный метр (Ам 2 ). Если контур отклонить от положения равновесия, то на него будет дейст- вовать вращающий момент M, стремящийся вернуть контур в положение рав- новесия. Вращающий момент максимален, когда нормаль к плоскости контура S N I Рис. 6.1. Влияние про- водника с током на магнитную стрелку I n p m B Рис. 6.2. Контур с током в магнитном поле Магнитное поле в вакууме 2 перпендикулярна вектору индукции. Модуль индукции магнитного поля определяют как отношение максимального вращающего момента к магнитному моменту контура: m p M IS M B max max Итак, магнитная индукция – это векторная величина, численно равная отношению максимального механического момента, действующего на контур с током в магнитном поле, к его магнитному моменту. Единицей магнитной индукции в СИ является тесла (Тл). 1 Тл – это магнитная индукция такого поля, в котором на контур малых размеров с магнитным моментом 1 Ам 2 действует максимальный вращающий момент 1 Нм. Магнитное поле можно изобразить графически с помощью линий маг- нитной индукции. Линией магнитной индукции (силовой линией магнитного поля) называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с на- правлением вектора индукции B . Линии магнитной индукции всегда замкнуты. 6.2. Закон Био-Савара-Лапласа. Поле прямого и кругового токов Согласно закону Био-Савара-Лапласа индукция магнитного поля B d , созданная элементом тока l d , в точке A, радиус-вектор которой r , равна 3 0 d 4 d r r l I B , (6.1) где 0 410 -7 Гн/м – магнитная постоянная. Направлен вектор B d перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы l d и r , причем так, что враще- ние вокруг l d в направлении B d связано с l d правилом правого винта (рис. 6.3). Полную индукцию в точке A можно найти по прин- ципу суперпозиции – векторным суммированием по всем элементам тока: B B d I dl r Рис. 6.3. Закон Био- Савара-Лапласа dB A Магнитное поле в вакууме 3 Для модуля B d , в соответствии с формулой (6.1), получим выражение 2 0 sin d 4 d r l I B . (6.2) Применим формулу (6.2) для вычисле- ния полей простейших токов. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (рис. 6.4, а). Точка, в которой мы вычисляем магнит- ную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рис. 6.4, а видно, что 2 sin d sin d d , sin b r l b r Подставим эти значения в формулу (6.2): d sin 4 sin sin sin d 4 d 0 2 2 2 0 b I b Ib B Угол для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пре- делах от 0 до . Все B d в данной точке имеют одинаковое направление (в на- шем случае за чертеж). Поэтому сложение векторов B d можно заменить сложе- нием их модулей. Следовательно, 0 0 0 0 2 d sin 4 d b I b I B B Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой b I B 2 0 . (6.3) Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой сис- тему концентрических окружностей, охватывающих провод (рис. 6.4, б). Рассмотрим поле, создаваемое током, текущему по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (круговой ток). Найдем магнитную индукцию в центре тока (рис. 6.5). Каждый элемент тока создает в центре ин- I б) Рис. 6.4. Магнитное поле прямого проводника с током: а) вычисление индукции; б) линии вектора B I r rd b d а) r dl Магнитное поле в вакууме 4 дукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение B d сводится к сложению их модулей. По формуле (6.2) 2 0 d 4 d R l I B ( /2). Проинтегрируем это выражение по всему кон- туру: R I R R I l R I B B 2 2 4 d 4 d 0 2 0 2 0 Итак, магнитная индукция в центре кругового тока равна R I B 2 0 6.3. Магнитное поле движущегося заряда Чтобы найти магнитную индукцию поля, создаваемого одним движу- щимся зарядом, преобразуем формулу (6.1), заменив силу тока произведением плотности тока на площадь сечение проводника, т.е. I jS. Векторы j и l d имеют одинаковое направление. Поэтому можно написать, что l j S l I d d , (6.4) Вектор плотности тока можно представить в виде v n e j , (6.5) где n – число носителей в единице объема, v – скорость упорядоченного дви- жения носителей, e – положительный заряд. Подставим в формулу (6.1) выражение (6.4) и заменим в нем j согласно (6.5): 3 0 d 4 d r r v e n l S B . (6.6) Произведение Sdln – это число носителей заряда, заключенных в элемен- те провода dl. Разделив (6.6) на это число получим магнитную индукцию поля, создаваемого одним зарядом, движущимся со скоростью v dl I dB n R Рис. 6.5. Магнитное поле кругового тока Магнитное поле в вакууме 5 3 0 4 r r v e B . (6.7) Формула (6.7) справедлива при условии, что v << c. Вывод формулы (6.5). Пусть проводник имеет поперечное сечение пло- щадью S (рис.6.6). Заряд каждой частицы равен e. В объеме проводника, огра- ниченном сечениями 1 и 2 содержится nSdl частиц, где n – концентрация час- тиц. Их общий заряд равен dq enSdl. Если частицы движутся слева направо со средней скоростью v, то за время dt dl/v все частицы заключенные в рассматри- ваемом объеме, пройдут через сечение 2. Поэтому сила тока равна nvS e t l nS e t q I d d d d , откуда следует, что nv e S I j . Для положительно заряженных частиц v n e j , т.к. направление вектора плотности тока j совпадает с направлением вектора скорости v . Таким образом, мы пришли к формуле (6.5). 6.4. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора B) Магнитное поле создается электрическим током. Следовательно, пара- метры магнитного поля зависят от тока. Циркуляцией вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру l называется выражение, определяемое формулой l B l d , где dl – малый участок контура, B l – проекция век- тора B на направление dl. Возьмем контур, охватывающий прямой ток, и вычислим для него циркуляцию. Рассмотрим слу- чай, когда контур перпендикулярен к току (рис. 6.7). Ток перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен за чертеж. Пунктирной линией показана линия dl j v S Рис. 6.6. К выводу формулы (6.5) 1 2 I R B d Рис. 6.7. Закон полного тока dl Магнитное поле в вакууме 6 индукции магнитного поля. В каждой точке контура вектор B направлен по ка- сательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим B l dl на Bdl B , где dl B – проекция перемещения l d на направление B . Но dl B можно представить в виде Rd, где R – расстояние от прямого тока до l d , d – угол, на который по- ворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок l d . Поэтому, учтя выражение (6.3), можно написать d 2 d 2 d d 0 0 I R R I l B l B B l Таким образом, выражение для циркуляции имеет вид d 2 d 0 I l B l При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все вре- мя поворачивается в одном направлении, поэтому 2 d . Если ток не охва- тывается контуром, то при обходе по контуру радиальная прямая поворачива- ется сначала в одном направлении, а затем в противоположном. Поэтому 0 d . Учитывая этот результат, можно написать I l B l 0 d , (6.8) где I – ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, то цирку- ляция вектора B равна нулю. Формула (6.8) справедлива и для тока, текущего по проводнику произвольной формы. При этом контур не обязательно должен лежать в плоскости, перпендикулярной к току. Если контур охватывает несколько токов, то циркуляция вектора B равна их алгебраической сумме: I l B l 0 d . (6.9) Формула (6.9) является математическим выражением закона полного то- ка, который читается: циркуляция вектора индукции магнитного поля по замк- нутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Магнитное поле в вакууме 7 Вычисляя сумму токов, положительным нужно считать такой ток, на- правление которого связано с направлением обхода контура правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным. 6.5. Магнитное поле соленоида и тороида Соленоид представляет собой провод, навитый на цилиндрический кар- кас. Если длина соленоида намного больше его диаметра, то соленоид называ- ют длинным (в пределе – бесконечно длинным). В отношении создаваемого им магнитного поля со- леноид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей осью. Витки соленоида создают поле, индукция ко- торого в каждой точке внутри соленоида направлена па- раллельно его оси. Применим закон полного тока для расчета индукции поля бесконечно длинного соленоида (рис. 6.8). В качестве замкнутого контура возьмем прямоугольник 1–2–3–4. По формуле (6.9) запишем: NI l B l B l B l B l B l l l l l 0 1 4 4 3 3 2 2 1 d d d d d , где I – ток в витке, N – число витков, охватываемых контуром. Из четырех ин- тегралов первый и третий равны нулю, так как вектор B перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся. Четвертым интегралом также мож- но пренебречь, поскольку индукция магнитного поля вне соленоида очень мала. Таким образом, NI Bl l B l B l l 0 3 2 d d Если обозначить n N/l число витков, приходящееся на единицу длины, то индукция магнитного поля внутри соленоида nI B 0 . (6.10) Полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) находится отрезок 2–3. Если этот отрезок находится Рис. 6.8. Соленоид 2 3 1 4 l Магнитное поле в вакууме 8 вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, откуда B 0. Таким образом, вне бесконечно длинного соленоида индукция магнитного поля равна нулю, а внутри соленоида поле однородное и имеет величину, определяемую формулой (6.10). Тороид (кольцевая катушка с током) представляет собой соленоид, свернутый в кольцо (рис. 6.9). Пусть R(r 1 +r 2 )/2 – радиус средней линии тороида, а r – радиус произвольного замкнутого контура, охватывающего витки тороида. Вектор B направлен в каждой точке по касатель- ной к контуру. В соответствии с формулой (6.9) можно написать: I l B l B r l 0 2 0 d d Сумма токов, охватываемых контуром RnI I 2 , тогда RnI rB l B l 2 2 d 0 , откуда находим индукция магнитного поля внутри тороида: r R nI B 0 Если радиус средней линии тороида много больше радиуса его витка, то R/r 1 и получается формула, совпадающая с (6.10): nI B 0 . (6.11) В этом случае поле можно считать однородным в каждом из сечений то- роида. В разных сечениях поле имеет различное направление, поэтому поле в пределах всего тороида можно считать однородным только условно, имея вви- ду модуль вектора B R r r 1 r 2 Рис. 6.9. Тороид Глава 7. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТОКИ И ЗАРЯДЫ 7.1. Сила, действующая на ток в магнитном поле. Закон Ампера Согласно закону, установленному Ампером, на элемент тока l d действу- ет в магнитном поле сила B l I F d d , (7.1) где B – магнитная индукция в том месте, где находится элемент l d . Величина силы (7.1) вычисляется по формуле sin d d lB I F , (7.2) где – угол между векторами l d и B (рис. 7.1). Направлена сила перпендику- лярно к плоскости, в которой лежат векторы l d и B Направление силы, действующей на ток, удобно определять с помощью правила левой руки. Если рас- положить левую руку так, чтобы вектор B «вонзался» в ладонь, а четыре сложенные вместе пальца были на- правлены вдоль тока, то отставленный в сторону большой палец покажет направление силы. Пользуясь законом Ампера, найдем силу взаимодействия двух бесконеч- но длинных прямых токов. Если расстояние между токами b (рис. 7.2), то каж- дый элемент тока I 2 будет находиться в магнитном поле, индукция которого, в соответствии с формулой (6.3), равна b I B 2 1 0 1 . Угол между элементами то- ка I 2 и вектором 1 B равен 90 . Следова- тельно, согласно (7.2) на единицу длины тока I 2 действует сила b I I f 2 1 0 21 2 4 . (7.3) Для силы f 12 , действующей на единицу длины тока I 1 , получается анало- гичное выражение. С помощью правила левой руки можно установить, что при I 1 B 2 b f 12 Рис. 7.2. Взаимодействие бесконечно длинных проводников с током I 2 f 21 B 1 I dl dF Рис. 7.1. Закон Ампера B Действие магнитного поля на токи и заряды 2 одинаковом направлении токов проводники притягивают друг друга, а при раз- личном – отталкивают. На основании закона взаимодействия токов (7.3) устанавливается едини- ца силы тока в СИ – ампер. Ампер – сила тока, который, проходя по двум длин- ным прямолинейным параллельным проводникам, расположенным на расстоя- нии 1 м один от другого в вакууме, вызывает силу взаимодействия между этими проводниками, равную 2 10 -7 ньютон на каждый метр длины. 7.2. Сила Лоренца Электрический ток представляет собой совокупность упорядоченного движения заряженных частиц. Поэтому действие магнитного поля на провод- ник с током есть результат действия поля на движущиеся заряженные частицы внутри проводника. Силу, действующую на заряженную частицу со стороны магнитного по- ля, называют силой Лоренца. Эту силу можно найти с помощью закона Ампера. Заменив в формуле (7.1) произведение l I d на l j S d , выражению закона Ам- пера можно придать вид V B j B j l S F d d d , где dV – объем проводника, к которому приложена сила F d . Сила, действующая на единицу объема проводника, равна B j V F F d d ед.об Учитывая, что v n e j , где e – положительный заряд, получим B v n e F ед.об Эта сила равна сумме сил, приложенных к носителям заряда, заключен- ным в единице объема. Таких носителей n, следовательно, на один заряд дейст- вует сила B v e F Л . (7.4) Сила (7.4) и есть сила Лоренца. Направлена сила Лоренца перпендику- лярно к плоскости, в которой лежат векторы v и B . Для положительного Действие магнитного поля на токи и заряды 3 заряда e направление силы Лоренца совпадает с направлением векторного про- изведения B v . В случае отрицательного заряда направления векторов Л F и B v противоположны (рис. 7.3). Модуль силы Лоренца равен sin Л vB e F , (7.5) где - угол между векторами v и B Поскольку сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости частицы, она работы над заряженной частицей не совершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя. Если на заряженную частицу кроме магнитной силы действует и элек- трическая сила, то сумма сил будет равна B v e E e F Л . (7.6) Силу, определяемую уравнением (7.6), называют обобщенной силой Ло- ренца. 7.3. Движение заряженных частиц в магнитном поле Рассмотрим движение частицы с зарядом e в однородном магнитном по- ле с индукцией B , направленном перпендикулярно начальной скорости части- цы (рис. 7.4, а). Сила Лоренца, согласно формуле (7.5) равна vB e F Л . Эта сила направлена перпендикулярно к скорости частицы и сообщает ей центростреми- тельное ускорение a v 2 /R, где R – радиус окружности, по которой движется частица. Согласно 2 закону Ньютона vB e R v m 2 , откуда следует, что v B F Л а) б) F Л v B Рис. 7.3. Направление силы Лоренца: а) положительный заряд; б) отрицательный заряд Действие магнитного поля на токи и заряды 4 B e mv R , (7.7) где m – масса частицы. Итак, в случае, когда вектор скорости v перпендикулярен вектору маг- нитной индукции B , заряженная частица движется по окружности, радиус ко- торой зависит от скорости частицы, индукции магнитного поля и отношения заряда частицы к ее массе. Отношение заряда частицы к ее массе m e называ- ют удельным зарядом частицы. Чтобы найти период обращения частицы T по окружности, разделим дли- ну окружности l 2R на скорость частицы m BR e v : B e m T 1 2 . (7.8) Как видно из формулы (7.8), период обращения частицы не зависит от ее скорости, он определяется только удельным зарядом частицы и величиной ин- дукции магнитного поля. Выясним характер движения частицы в том случае, когда ее скорость об- разует с направлением магнитного поля угол 90. Разложим вектор скоро- сти v на две составляющие: составляющую, перпендикулярную линиям векто- ра магнитной индукции sin v v и составляющую, параллельную линиям индукции cos || v v v F Л B a) R h B v v || v б) Рис. 7.4. Движение заряженной частицы в магнитном поле: а) вектор скорости перпендикулярен вектору индукции, б) вектор скорости составляет угол с вектором индукции Действие магнитного поля на токи и заряды 5 Сила Лоренца перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы v и B , следовательно, ее составляющая в направлении вектора B равна нулю и по- этому составляющая скорости || v не изменяется. Таким образом, движение час- тицы можно представить как наложение двух движений: 1) перемещения вдоль линий вектора B с постоянной скоростью cos || v v и 2) вращения в плоско- сти, перпендикулярной вектору B Радиус вращения равен B e mv R sin . (7.9) Траектория движения представляет собой спираль, ось которой совпа- дает с направлением вектора B (рис. 7.4, б). Шаг спирали равен h v || T, т.е. cos 1 2 v B e m h . (7.10) Формулы (7.9) и (7.10) описывают параметры спирали: радиус витка спи- рали R и ее шаг h. Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы. Если e>0, то спираль закручивается против часовой стрелки, если за- ряд отрицательный, то спираль закручивается по часовой стрелки. Предполага- ется, что мы смотрим на спираль вдоль направления вектора B ; частица при этом летит от нас, если < 90, и на нас, если > 90. 7.4. Эффект Холла Эффектом Холла называется возникновение поперечного электрического поля в проводнике (или полупроводнике) с током при помещении его в магнит- ное поле. Это явление было обнаружено Холлом в 1880 г. для металлической пластины. Пусть носителями тока являются положительные заряды (рис. 7.5). Под действием силы Ампера у задней грани пластины будут скапливаться положи- тельные носители, а у передней грани – отрицательные носители. Перераспре- Действие магнитного поля на токи и заряды 6 деление зарядов будет происходить до тех пор, пока сила со стороны возник- шего электрического поля F e не уравновесит силу Лоренца, т.е. F e F Л , или B v E vB e E e Холловская разность потенциалов равна vBb. Из соотношения для плот- ности тока j env выразим скорость носи- телей: n e j v , тогда получим выражение для холловской разности потенциалов: RbjB bB n e j , (7.11) где n e R 1 – постоянная Холла. Как видно из формулы (7.11) холловская разность потенциалов пропор- циональна магнитной индукции, что позволяет на основе эффекта Холла созда- вать датчики для измерения магнитного поля. Если носители заряда имеют отрицательный знак, то направление силы Лоренца не изменится т.к. одновременно меняются направление вектора скоро- сти v и знак заряда. Поэтому у задней грани будут скапливаться отрицательные заряды, а у передней – положительные заряды. Таким образом, по знаку эффек- та Холла можно определять знак носителей тока. 7.5. Рамка с током в магнитном поле Рассмотрим прямоугольную рамку со сторонами a и b, по которой течет ток I. Рамка находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной ин- дукции B которого составляет угол с нормалью n к плоскости рамки. Рамка может вращаться относительно вертикальной оси OO (рис. 7.6). Силы Ампера, действующие на горизонтальные стороны рамки, равны по величине, противо- положны по направлению и уравновешиваются: + + + + + + + + + v + F Л 1 2 j b B Рис. 7.5. Эффект Холла F e Действие магнитного поля на токи и заряды 7 IBb F F 4 2 Силы, действующие на вертикальные стороны рамки, также по модулю равны друг другу IBa F F 3 1 , противоположно направлены и образуют пару сил. Как известно из механики, пара сил создает вращающий момент sin sin sin m B p IBS IaBb M , (7.12) где S ab – площадь рамки, p m IS – магнитный момент рамки. Формулу (7.12) можно записать в векторной форме: B p M m . (7.13) Под действием момента (7.13) рамка будет пово- рачиваться относительно оси OO и установится в поло- жение равновесия. При этом магнитный момент рамки будет ориентирован в направлении магнитного поля, т.е. в направлении вектора B . В положении равновесия на стороны рамки будут действовать силы Ампера, стре- мящиеся растянуть или сжать рамку. Вычислим потенциальную энергию, которой обладает рамка с током в однородном магнитном поле. Для этого найдем работу, которую нужно совер- шить против сил поля, чтобы увеличить угол между векторами m p и B на d: d sin d d m B p M A Поскольку работа dA идет на увеличение потенциальной энергии рамки, то можно написать d sin d m B p W , или const cos d B p W W m Если const 0, то потенциальная энергия рамки равна B p B p W m m cos . (7.14) F 1 F 2 F 3 F 4 B p m n I O O a b Рис. 7.6. Рамка с током в магнитном поле Действие магнитного поля на токи и заряды 8 Согласно (7.14) потенциальная энергия рамки с током минимальна и рав- на W min p m B тогда, когда ее магнитный момент рамки направлен по направ- лению поля, W min p m B. Максимальной энергией, равной W max p m B, рамка обладает тогда, когда ее магнитный момент направлен против направления по- ля. Когда угол между векторами m p и B равен 90, рамка имеет нулевое значе- ние потенциальной энергии. В неоднородном магнитном поле силы, действующие на стороны рамки попарно не равны друг другу. Кроме вращательного момента возникает резуль- тирующая сила, способная сообщить ей поступательное движение. Рамка будет либо втягиваться в область более сильного поля (если векторы m p и B направ- лены в одну сторону), либо выталкиваться из поля (если векторы m p и B на- правлены в противоположные стороны). 7.6. Работа, совершаемая при перемещении проводника и контура с током в магнитном поле Элементарным магнитным потоком через площадку dS называется фи- зическая величина d, равная cos d d S B , где – угол между нормалью к площадке n и вектором B (рис. 7.7). Магнитный поток через всю поверхность S определяется суммированием (интегрированием) эле- ментарных потоков: S S S S B S B S B d d cos d n , где B n – нормальная составляющая вектора B В системе СИ магнитный поток измеряется в веберах (Вб). 1 Вб – это магнитный поток в однородном поле с индукцией 1 Тл через площадку 1м 2 , перпендикулярную вектору индукции поля. n B dS Рис. 7.7. Элементарный магнитный поток Действие магнитного поля на токи и заряды 9 Пусть проводник с током перемещается в однородном магнитном поле, линии которого перпендикулярны проводнику (рис. 7.8, а). На проводник дей- ствует сила Ампера IBl F , где l – длина проводника. На пути dx эта сила совершит работу d d d d d I S IB x IBl x F A , где dS ldx, d BdS – поток магнитной индукции, пересекаемый проводни- ком при его движении. Следовательно, d пересеч I I A . (7.15) т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна про- изведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся про- водником. Формула (7.15) будет справедливой и в том случае, когда линии магнитной ин- дукции не перпендикулярны проводнику, а также при движении проводника в неод- нородном магнитном поле. Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с током I в магнитном поле. Предположим, что контур пе- ремещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемеще- ния займет положение, изображенное на рис. 7.8, б пунктирной линией. Эле- ментарная работа при этом будет равна ) d d ( d 1 2 I A , где d 1 и d 2 – магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и ко- нечном положении соответственно. Обозначим d d 2 d 1 – изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током. Таким образом, d d I A . (7.16) B F dx l I I B d 1 d 2 а) б) Рис. 7.8. Проводник (а) и контур (б) с током в магнитном поле Действие магнитного поля на токи и заряды 10 Проинтегрировав выражение (7.16), определим работу, совершаемую силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле: 2 1 ) ( d 1 2 I I I A , (7.17) т.е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Формула (7.17) остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле. Отметим, что работа (7.17) совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля (это поле остается неизменным), а за счет источника тока, поддерживающего постоянной силу тока I. 7.7. Теорема Гаусса для магнитного поля Как показывает опыт, линии вектора B не имеют начала или конца, они всегда замкнуты. Если мы рассмотрим поток вектора B че- рез произвольную замкнутую поверхность, то за- метим, что сколько раз линии вектора B входят в поверхность, то столько же раз и выходят из нее (рис. 7.9). Поэтому 0 d d n S S S B S B . (7.18) Соотношение (7.18) выражает теорему Гаусса для магнитного поля: по- ток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. n n n n n n B Рис. 7.9. Магнитный поток через замкнутую поверхность |