Электромагнитные волны
 Скачать 1.59 Mb.
|
|
Глава 3. Основные уравнения электромагнитного поля 3.1. Уравнения Максвелла Электромагнитные волновые процессы подчиняются физическим законам, которые впервые были сформулированы и записаны в виде уравнений английским физиком Дж. К. Максвеллом. Основы теории поля опубликованы им в 1873 г. в работе «Трактат об электричестве и магнетизме». Уравнения Максвелла были получены в результате обобщения накопленных к тому времени экспериментальных данных. Уравнения принято представлять в интегральной и дифференциальной формах записи. 1. Первое уравнение Максвелла описывает закон полного тока: циркуляция вектора напряженности магнитного поля → H по произвольному замкнутому контуру l равна полному току, пронизывающему этот контур ∫ ∫ → → → → → → ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + = S dS J t D J l dl H ст . (3.1) Полный ток определяется потоком через поверхность S векторов объемной плотности токов проводимости, токов смещения и сторонних токов. В общем случае плотности токов имеют неравномерное распределение на произвольной поверхности S, опирающейся на контур l. В случае постоянных токов и полей выражение (3.1) представляет собой закон Ампера. Для перехода к дифференциальной форме записи закона полного тока в уравнении (3.1) циркуляцию вектора → H по теореме Стокса заменяем интегралом от по поверхности S → H rot 19 ∫ ∫ → → → → → → ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + = S ст S dS J t D J dS H rot Так как поверхность S произвольная и одна и та же в поверхностных интегралах, то подынтегральные выражения равны ст J t D J H → → → → + ∂ ∂ + = rot (3.2) Равенство (3.2) называется первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме. Изменяющаяся в момент времени t в некоторой точке пространства плотность полного тока порождает в этой точке и в этот момент времени вихревое магнитное поле. Плотность полного тока в уравнении (3.2) содержит три слагаемых, имеющих размерность А/м 2 . Вектор представляет собой плотность тока проводимости, возникающего в проводящей среде под действием электрического поля. Наряду с плотностью тока проводимости Максвелл вводит вектор → → σ = E J cм J t D → → = ∂ ∂ и называет его плотностью тока смещения (вектор имеет еще название вектора электрического смещения). Ток смещения устанавливает внутреннюю взаимосвязь переменных электрического и магнитного полей. Если даже в некоторой точке пространства в момент времени t плотность тока проводимости отсутствует, то вихревое меняющееся в пространстве магнитное поле порождается током смещения с плотностью → D → J t D J см ∂ ∂ = → → , то есть меняющимся во времени электрическим полем. Таким образом, переменное электрическое поле, так же как и ток проводимости, сопровождается появлением магнитного поля. Плотность тока смещения может быть расписана с учетом (2.7) в виде двух слагаемых t P t E t D J см ∂ ∂ + ∂ ∂ ε = ∂ ∂ = → → → → 0 . (3.3) 20 Первое слагаемое в правой части этой формулы представляет собой ток смещения в вакууме и соответствует только изменению электрического поля во времени, ток не сопровождается движением электрических зарядов. Второе слагаемое определяет ток смещения в диэлектрической среде, обусловленный упорядоченным движением связанных зарядов в результате действия переменного электрического поля. Примером электрической системы, в которой существует ток смещения, может служить конденсатор в цепи переменного тока. Ток смещения между обкладками конденсатора, разделенными диэлектриком, осуществляет замкнутость электрической цепи. Третий вектор в плотности полного тока (3.2) – вектор называется плотностью стороннего электрического тока и является первичным возбудителем электромагнитного поля. Сторонние токи берут энергию со стороны, не зависят от возбуждаемого ими поля и считаются заданными функциями координат и времени. Например, сторонние токи в антеннах вызываются внешними источниками (генераторами) и не зависят от возбуждаемых антеннами волн. cm J → Векторное уравнение (3.2) эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые в декартовой системе координат имеют вид z y x , , ; ; ст z z z x y ст y y y z x ст x x x y z J t D J y H x H J t D J x H z H J t D J z H y H + ∂ ∂ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ (3.4) 2. Второе уравнение Максвелла является законом электромагнитной индукции: в замкнутом контуре, пронизываемом переменным магнитным потоком, возникает электродвижущая сила, равная скорости изменения этого потока. → → → → ∫ ∫ ∂ ∂ − = dS B t l dl E S , (3.5) где l – произвольный замкнутый контур в любой среде; S – произвольная поверхность, опирающаяся на контур. 21 Закон (3.5) устанавливает факт возникновения и величину электрического поля под действием переменного магнитного поля. Если на месте воображаемого контура l разместить реальный контур, выполненный из проводника, то наличие электродвижущей силы приведет к протеканию в проводнике электрического тока в направлении вектора → E – это известный закон электромагнитной индукции Фарадея, открытый опытным путем. От интегральной формы записи второго уравнения Максвелла (3.5) перейдем к дифференциальной форме. Циркуляцию вектора → E в (3.5) заменяем по теореме Стокса интегралом от по поверхности S → E rot ∫ ∫ → → → → ∂ ∂ − = S S dS t B dS E rot Так как поверхность S произвольна, то это равенство возможно только при равенстве подынтегральных выражений t B E ∂ ∂ − = → → rot (3.6) Это второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме. Оно справедливо в любой точке пространства в любой момент времени и выражает количественную связь между величинами в законе электромагнитной индукции. Векторное уравнение (3.6) эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые в декартовой системе координат имеют вид z y x , , ; ; t B y E x E t B x E z E t B z E y E z x y y z x x y z ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ (3.7) 22 3. Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса для постоянных и переменных электромагнитных полей: поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S порождается свободным электрическим зарядом Q, находящимся в объеме V, ограниченном поверхностью S → D Q dS D S = ∫ → → (3.8) Заряд может быть произвольно распределен внутри объема V, ограниченного поверхностью S, поэтому он задается объемной плотностью распределения ρ , имеющей размерность Кл/м 3 ∫ ρ = V dV Q (3.9) Подставляем (3.9) в (3.8), получаем ∫ ∫ ρ = → → V S dV dS D (3.10) Равенство (3.10) представляет собой третье уравнение Максвелла в интегральной форме. Преобразуем левую часть выражения (3.10) по теореме Остроградского-Гаусса ∫ ∫ ρ = → V V dV dV D div Это равенство должно выполняться при произвольном объеме, что возможно, если равны подынтегральные выражения ρ = → D div (3.11) Выражение (3.11) называется третьим уравнением Максвелла в дифференциальной форме. Из (3.11) следует, что дивергенция вектора отлична от нуля в тех точках пространства, где имеются свободные электрические заряды. В этих точках линии вектора начинаются на положительных зарядах (источники поля) и заканчиваются на отрицательных зарядах (стоки поля). Уравнение (3.11) скалярное и в декартовой системе координат x, y, z оно записывается в виде → D → D 23 ρ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z D y D x D z y x (3.12) Аналогично сторонним токам вводятся сторонние заряды, объемная плотность распределения которых добавляется в правые части третьего уравнения Максвелла (3.10) и (3.11) cm ρ ∫ ∫ ρ + ρ = → V ст S dV dS D ) ( , . (3.13) ст D ρ + ρ = → div 4.Четвертое уравнение Максвелла называется законом непрерывности магнитных силовых линий: поток вектора магнитной индукции → B через любую замкнутую поверхность равен нулю 0 = ∫ → → S dS B (3.14) Это означает, что не существует линий вектора , которые только входят в замкнутую поверхность S (или, наоборот, только выходят из поверхности S), линии вектора всегда пронизывают ее. Векторное поле → B → B → B не имеет источников, магнитные заряды не существуют. Линии магнитной индукции → B непрерывны, они не имеют ни начала, ни конца. От интегральной формы записи четвертого уравнения (3.14) можно перейти к дифференциальной с помощью теоремы Остроградского-Гаусса ∫ = → V dV B 0 div Поскольку объем произвольный, то это равенство может выполняться только при условии, что 0 div = → B (3.15) Уравнения (3.15) представляет собой четвертое уравнение Максвелла в дифференциальной форме. 24 3.2. Система уравнений электромагнитного поля Анализ электромагнитных волновых процессов возможен только на основе системы уравнений, включающей в себя четыре уравнения Максвелла и материальные уравнения, в которых фиксируется влияние среды на протекающие в ней электромагнитные явления 0 div ; div ; rot ; rot = ρ + ρ = ∂ ∂ − = + ∂ ∂ + = → → → → → → → → B D t B E J t D J H ст ст (3.16) ; → → → → µ = ε = H B E D a a (3.17) Выделим основные выводы относительно свойств электромагнитного поля. Первые два уравнения Максвелла обладают симметрией в следующем смысле: по первому уравнению изменение во времени электрической индукции порождает вихревое магнитное поле, вектор напряженности которого изменяется в пространстве; по второму уравнению изменение во времени магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле, изменяющееся в пространстве. Электрическое и магнитное поля могут существовать, взаимно порождая друг друга. Из этого следует важный вывод: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно вдали от источника. Возмущения электромагнитного поля (изменения его состояния), распространяющиеся в пространстве, называют электромагнитными волнами. Источниками электромагнитного поля являются электрические заряды и токи. Силовые линии магнитного поля всегда непрерывны. Силовые линии электрического поля непрерывны и могут прерываться на электрических зарядах. Применим операцию дивергенции к обеим частям первого уравнения Максвелла, получим 0 div = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + → → → ст J t D J . (3.18) 25 Из (3.18) следует, что линии вектора плотности полного тока непрерывны. Используя третье уравнение Максвелла и (3.18), получаем закон сохранения зарядов: всякое изменение заряда во времени порождает электрический ток t J ∂ ρ ∂ − = → div , t J ст ст ∂ ρ ∂ − = → div . (3.19) Большинство используемых на практике материальных сред являются линейными. В этом случае электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции: поле, созданное несколькими источниками, можно рассматривать как сумму полей, созданных каждым источником. Системы (3.16) и (3.17) описывают любые поля (статические, стационарные, квазистационарные, нестационарные) в любой среде. 3.3. Система уравнений монохроматического электромагнитного поля Большинство реальных источников возбуждают гармонические электромагнитные поля, то есть поля, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону с определенной частотой. Такие поля получили еще название монохроматические, то есть «одноцветные» (термин взят из оптики). Монохроматические поля обладают энергией, но не несут информации. Информация будет передаваться, если в соответствии с заданным законом или случайным образом будут меняться амплитуда, частота и фаза электромагнитных волн. Это эквивалентно использованию группы (спектра) монохроматических волн, определенное суммирование которых дает электромагнитный сигнал, переносящий информацию. Связь составляющих спектра с этим сигналом производится с помощью преобразования Фурье. Знание поведения монохроматических волн с произвольными частотами в реальных условиях (естественные трассы распространения, линии передач, и т.д.) позволяют анализировать поведение сложных сигналов в тех же условиях. При изучении монохроматических полей, подчиняющихся линейным уравнениям Максвелла, эффективно используется метод комплексных амплитуд. Суть метода заключается в том, что 26 векторным и скалярным величинам, входящим в системы (3.16), (3.17), приводятся в соответствие комплексные амплитуды. Связь между физическими величинами и их комплексными амплитудами покажем, например, для вектора напряженности электрического поля → E . Мгновенное значение вектора → E , изменяющегося во времени по гармоническому закону, в некоторой точке пространства записывается так: ( ) ( ) ( ) ( ) z mz y my x mx t E z t E y t E x t E ϕ + ω + ϕ + ω + ϕ + ω = → → → → cos cos cos 0 0 0 (3.20) Здесь – амплитуды и фазы отдельных составляющих вектора i mi t E ϕ + ω , → E , которые все являются действительными величинами. Фазы будут определены далее при решении волновых уравнений и учете особенностей поляризации волн. Запись (3.20) может быть переписана как действительная часть (Re) комплексного вектора z y x ϕ ϕ ϕ , , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ω ϕ → ϕ → ϕ → → t j j mz j my j mx e e E z e E y e E x t E z y x 0 0 0 Re ) ( (3.21) Вектор z y x j mz j my j mx e E z e E y e E x E ϕ → ϕ → ϕ → → + + = • 0 0 0 (3.22) не зависит от времени и называется комплексной амплитудой. Здесь и в дальнейшем комплексные амплитуды будут помечаться точками сверху. Мгновенное значение вектора (3.20), гармонически изменяющегося во времени, выражается через комплексную амплитуду следующим образом: ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = • → → t j e E E ω Re (3.23) Аналогичным образом вводятся комплексные амплитуды для всех физических величин, входящих в уравнения (3.16), (3.17) и 27 колеблющихся с частотой ω. Например, для скалярных функций объемных плотностей свободных и сторонних зарядов имеем ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = • t j e t ω ρ ρ Re , (3.24) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = • t j ст e t ст ω ρ ρ Re ) ( Уравнения Максвелла являются линейными дифференциальными уравнениями. В случае монохроматического поля этим же уравнениям будут удовлетворять соответствующие комплексные векторные и скалярные функции. Возьмем первое уравнение Максвелла из системы (3.16), подставим комплексные векторы , продифференцируем по времени, сократим и получим уравнение для комплексных амплитуд t j ст t j t j e J e H e E ω → ω → ω → • • • , , t j e ω • • • • → → → → + + = ст a J E j E H ωε σ rot (3.25) Преобразуем уравнение (3.25) к следующему виду: • • • • • → → • → → → + ε ω = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω σ − ε ω = ст a ст a J E j J E j j H rot , (3.26) где ω σ − ε = ε • j a a – комплексная диэлектрическая проницаемость среды. Третье уравнение Максвелла для комплексных амплитуд примет вид • • + = • → ст D ρ ρ div (3.27) В теории монохроматических электромагнитных полей свободные заряды в среде обычно не рассматриваются, поскольку в силу уравнения непрерывности (3.19) они однозначно определяются токами проводимости • • → • • → ω σ = ρ ρ ω − = E j j J div , div Последнее соотношение подставляем в (3.27), получаем 28 • • • = − → → ст E j E a ρ ω σ ε div div (3.28) • • = → • ст E a ρ ε div или Второе и четвертое уравнения Максвелла системы (3.16), а также материальные уравнения системы (3.17) без дополнительных преобразований сразу записываются для комплексных амплитуд. Система уравнений для монохроматического электромагнитного поля принимает следующий вид , 0 div div rot rot ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = − = + = • • • • • • • • → → • → → → → • → H E H j E J E j H a ст a a ст a µ ρ ε ωµ ε ω (3.29); (3.30) • ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ µ = ε = • • • • → → → → H B E D a a Такая форма записи уравнений монохроматического поля применима в достаточно широком диапазоне частот и наиболее употребительна для практических расчетов. Уравнения записаны для комплексных амплитуд, являющихся функциями трех пространственных координат и не зависящих от времени. Таким образом, из уравнений исключена временная переменная. Если решением электродинамической задачи найдены комплексные амплитуды векторов поля, то их мгновенные значения восстанавливаются по формуле (3.23). Вернемся к введенной комплексной диэлектрической проницаемости ω σ − ε = ε • j a a Введя этот параметр, можно одновременно учесть диэлектрические (поляризационные) и проводящие свойства среды. Комплексная диэлектрическая проницаемость может быть изображена на комплексной плоскости (рис. 3.1) 29 Рис. 3.1. Угол диэлектрических потерь δ Соотношение между действительной и мнимой частями можно описать тангенсом угла • ε a δ a ωε σ = δ tg (3.31) Величина (3.31) называется тангенсом угла диэлектрических потерь. С другой стороны тангенс угла потерь равен отношению амплитуды плотности тока проводимости к амплитуде плотности тока смещения a см J J ωε σ = = δ • • → → tg (3.32) Для монохроматического поля комплексные амплитуды векторов плотности тока проводимости и плотности тока смещения равны соответственно • • • • → → → → ωε = σ = E j J E J a см , Тангенс угла диэлектрических потерь является критерием деления сред на проводники и диэлектрики. Если , то в веществе плотность тока проводимости намного больше плотности 1 tg >> δ 30 тока смещения, и вещество называется проводником. Если , то в веществе плотность тока смещения намного больше плотности тока проводимости, и вещество называют диэлектриком. Металлы имеют большую удельную проводимость, поэтому у металлов на всех частотах радиодиапазона. У типичных диэлектриков, наоборот, удельная проводимость очень мала, например, у кварца , у стекла Существуют среды, у которых проводимость незначительна: у морской воды 1 tg << δ 1 tg >> δ См/м 10 2 17 − ⋅ = σ м См/ 10 12 − = σ См/м 5 3 ÷ = σ , у влажной почвы . Такие среды на низких частотах проявляют свойства проводников ( См/м 10 10 5 3 − − ÷ = σ a ωε >> σ ), а на высоких частотах – свойства диэлектриков ( a ωε << σ ). При математическом анализе электромагнитных волн применяют понятие идеального диэлектрика и идеального проводника. Если , то среда (вещество) называется идеальным диэлектриком. Идеальный проводник – это среда с бесконечно большой удельной проводимостью ( 0 = σ ∞ → σ ) . Переменное электромагнитное поле не проникает в идеальный проводник, т.е. в нем и . Предположим от противного, что внутри идеального проводника , тогда плотность тока проводимости 0 = → E 0 = → H 0 ≠ → E ∞ → = → → E J σ . Сторонних источников, которые могли бы компенсировать бесконечные потери на нагревание, не существует. Остается предположить, что при ∞ → σ поле . Тогда из второго уравнения Максвелла следует, что 0 = → E 0 = ∂ ∂ → t B , т.е. внутри идеального проводника в отсутствии электрического поля переменное магнитное поле существовать не может. Таким образом, в идеальном проводнике и , поэтому идеальный проводник, находящийся в электромагнитном поле, тепловых потерь в поле не вносит. Понятия идеальных проводников и диэлектриков упрощают решение практически 0 = • → E 0 = • → H 31 |