Электромагнитные волны
 Скачать 1.59 Mb.
|
|
3.4. Уравнение баланса мгновенных значений мощностей в электромагнитном поле Электромагнитные поля способны переносить энергию в пространстве, при этом часть энергии может преобразовываться в другие виды энергии. Электромагнитная энергия подчиняется закону сохранения энергии, заложенному в уравнениях Максвелла. Сформулируем уравнение баланса для мгновенных значений мощностей в электромагнитном поле применительно к некоторому объему среды V, ограниченному поверхностью S (рис. 3.2) Рис. 3.2. К выводу уравнения баланса В объеме V, заполненном линейной однородной и изотропной средой, находится сторонний источник поля. Для вывода возьмем два первых уравнения Максвелла rot ; rot t B E J t D J H ст ∂ ∂ − = + ∂ ∂ + = → → → → → → 32 Умножим первое уравнение скалярно на вектор , второе – на вектор → E → H , а затем почленно вычтем из первого равенства второе. В результате получим соотношение → → → → → → → → → → → → + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = − E J E J t B H t D E E H H E ст rot rot (3.33) Левую часть уравнения (3.33) преобразуем на основании известной формулы векторного анализа ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = − → → → → → → H E E H H E , div rot rot . (3.34) Далее, используя материальные уравнения , видоизменим два первых слагаемых правой части (3.33) → → → → ε = µ = H D H B a a и → → → → → → → → ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ B H t t B H D E t t D E 2 1 , 2 1 . (3.35) С учетом (3.34), (3.35) уравнение (3.33) примет вид → → → → → → → → → → − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ E J E J B H D E t H E ст 2 1 2 1 div . (3.36) Это уравнение называется уравнением баланса мощности в дифференциальной форме. Проинтегрируем почленно уравнение (3.36) по объему V, и к первому слагаемому правой части применим теорему Остроградского-Гаусса для перевода объемного интеграла от в поверхностный интеграл от векторного произведения . В результате получаем ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ → → H E, div ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ → → H E, 33 2 1 2 1 , ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ → → → → → → → → → → → V V V S dV E J dV E J dV B H D E t S d H E ст (3.37) Выражение (3.37) представляет собой уравнение баланса мгновенных значений мощностей электромагнитного поля и определяет закон сохранения энергии электромагнитного поля для выделенного объема среды. Все члены этого уравнения имеют размерность мощности. Выясним смысл выражений входящих в уравнение (3.37) и введем для них обозначения. Объемный интеграл ] ж [Д , 2 1 2 1 М Э V W W dV B H D E W + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫ → → → → (3.38) представляет собой мгновенные значения энергии электромагнитного поля, содержащейся в объеме V и распределенной с объемной плотностью ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = + = → → → → 3 м Дж , 2 1 2 1 М Э w w B H D E w . (3.39) Энергия электромагнитной волны состоит из энергии электрического поля и энергии магнитного поля. Объемный интеграл [ ] Вт , 2 ∫ ∫ → → → σ = = V V n dV E dV E J P (3.40) определяет мгновенное значение мощности тепловых (джоулевых) потерь в объеме V. Интеграл в правой части уравнения баланса (3.37) выражает мгновенное значение мощности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в объеме V [ ] Вт , ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = → → V dV E J P ст ст (3.41) Будем считать положительной мощность, отдаваемую сторонним током электромагнитному полю. Ток отдает энергию полю при торможении заряженных частиц, образующих ток. Для этого необходимо, чтобы вектор напряженности электрического поля → E имел составляющую, ориентированную противоположно 34 направлению тока, то есть чтобы скалярное произведение векторов → E и было отрицательным. Осталось выяснить смысл поверхностного интеграла в уравнении (3.37). Введем обозначение cт J → м Вт , , 2 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = Π → → → H E (3.42) Вектор определяет мгновенное значение плотности потока мощности (то есть энергии в единицу времени) через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения энергии. Вектор → Π → Π называют вектором Пойнтинга. Поверхностный интеграл [ ] Вт , → → Σ ∫ Π = dS P S (3.43) это мгновенное значение потока мощности, проходящего через поверхность S, ограничивающую объем V. Если поток мощности выходит из рассматриваемого объема ( ), то можно считать, что внутри объема находится передающее устройство и поток мощности излучается в окружающее пространство. При 0 > Σ P 0 < Σ P поток мощности входит в объем V и поглощается приемным устройством. Случай 0 = Σ P соответствует экранированию объема идеально проводящей поверхностью S. Символом ∑ в электродинамике и теории антенн принято обозначать параметры, связанные с излучением. Учитывая выше изложенное, перепишем уравнение (3.37) баланса мгновенных значений мощностей в электромагнитном поле (закон сохранения энергии поля) в области V в следующем виде: ст n P P t W P = + ∂ ∂ + Σ (3.44) Согласно (3.44) мощность стороннего источника тратится на нагревание среды в объеме V, на изменение энергии электромагнитного поля в этом объеме и на создание потока мощности через поверхность S, ограничивающую объем V. Отметим, что выражения (3.38) для энергии поля и (3.40) для мощности тепловых потерь не учитывают потери на поляризацию и 35 намагниченность среды. Однако выражение (3.43) для потока мощности справедливо для любых сред. Таким образом, равенства (3.37) и (3.44) представляют собой запись закона сохранения энергии электромагнитного поля, доказанного Дж. Пойнтингом в 1884 г. Ранее в 1874 г. ученым Н. А. Умовым доказан закон сохранения любого вида энергии, при этом впервые введены понятия плотности энергии в данной точке среды и плотности потока энергии. Поэтому вектор Пойнтинга часто называют вектором Умова-Пойнтинга. В случае переменных во времени процессов распределение электромагнитной энергии непрерывно изменяется. Эти изменения в каждой точке можно определить на основе уравнения (3.36), которое удобно представить в виде ст n p p t w = + ∂ ∂ + Π → div , (3.45) где – мгновенное значение объемной плотности мощности потерь; → → = E J p n – мгновенное значение объемной плотности мощности сторонних источников. → → − = E J p ст ст Уравнение (3.45) является дифференциальной формой записи уравнения баланса мгновенных значений мощностей в электромагнитном поле. Отметим, что принцип суперпозиции, которому удовлетворяют векторы напряженностей электрического и магнитного полей, не распространяется на энергию. Пусть энергии двух полей и , имеющих одинаковый закон изменения во времени и существующих по отдельности в области V, равны соответственно и . Рассмотрим энергию суммарного поля 1 1 , → → H E 2 2 , → → H E 1 W 2 W → → → → → → + = + = 2 1 2 1 , H H H E E E ∫ + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + µ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ε = → → → → V a a W W W dV H H E E W 12 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 , (3.46) 36 где – взаимная энергия полей. ∫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ µ + ε = → → → → V a a dV H H E E W 2 1 2 1 12 Увеличение суммарных электрического и магнитного полей вызывает не пропорциональное увеличение энергии суммарного поля, так как энергия связана с квадратом напряженности поля. Если векторы и , а так же и взаимно перпендикулярны, то 1 → E 2 → E 1 → H 2 → H 0 12 = W Уравнение баланса мощностей в электромагнитном поле входит в систему основных уравнений электромагнитного поля и широко используется при решении электродинамических задач. Универсальное значение имеет вектор Пойнтинга, характеризующий не только перенос электромагнитной энергии посредством излучения в свободном пространстве, но и перенос энергии в линиях передачи. 3.5. Уравнение баланса мощностей в монохроматическом электромагнитном поле Уравнение баланса (3.37) записано для мгновенных значений мощностей в электромагнитном поле и выполняется в каждый момент времени. Для гармонических полей практический интерес представляет также и уравнение баланса для средних за период колебаний значений мощностей. Выделим некий объем среды V, ограниченный поверхностью S (рис. 3.2). Объем заполнен линейной, однородной и изотропной средой, внутри объема имеется источник монохроматического поля. Определим средние за период значения энергетических характеристик, полученных в разделе 3.4. Уравнения монохроматического поля уже записаны через комплексные амплитуды, там метод комплексных амплитуд был применен к линейным уравнениям. Уравнение баланса (3.37) это нелинейное уравнение, все энергетические характеристики представляют собой скалярные произведения векторов поля и токов. Теперь придется воспользоваться другим комплексным представлением. Начнем с вектора Пойнтинга. Векторы поля → E и → H выразим как полусуммы 37 комплексных и комплексно-сопряженных величин, где – комплексные амплитуды • • → → H E, 2 1 ; 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ω − → ω → → ω − → ω → → ∗ ∗ • • t j t j t j t j e H e H H e E e E E (3.47) Подставляем эти выражения в мгновенное значение вектора Пойнтинга (3.42) и получим следующее выражение t j t j e Н Е e Н Е Н Е Н Е Н Е ω ω 2 2 * * * * , 4 1 , 4 1 , 4 1 , 4 1 , − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = Π → → → → → → → → → → → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3.48) Перейдем к определению среднего за период колебаний значение вектора Пойнтинга по формуле ∫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Π = Π → → → → ⋅ T ср Н Е dt T 0 * , Re 2 1 1 . (3.49) Таким образом, процесс переноса энергии в гармоническом электромагнитном поле характеризуется вещественным вектором (3.49), равным плотности потока мощности, усредненной за период. Вводится комплексный вектор Пойнтинга, определяемый комплексными амплитудами векторов поля • → E и • → H ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Π → → → ⋅ • * , 2 1 Н Е , (3.50) 38 и обладающий тем свойством, что • → → Π = Π Re ср Согласно (3.49) переход к среднему значению сводится к следующему: одна величина заменяется комплексной амплитудой, другая – комплексно-сопряженной амплитудой, берется реальная часть и результат умножается на 1/2. Запишем средние значения объемных плотностей мощностей и энергий, входящих в уравнение баланса (3.45) ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = = = ⋅ → ∗ → → → → • • • E J p H w E w E p ст ст ср a М ср a Э ср ср n 2 1 Re , 4 1 , 4 1 , 2 1 2 2 2 ε ε σ (3.51) Для последней величины введем объемную плотность комплексной мощности сторонних источников, при этом • = ст ст ср p p Re • → → • ∗ − = E J p cm ст 2 1 (3.52) Уравнение баланса выводится из первого и второго уравнений Максвелла для монохроматического поля. Первое уравнение берем в сопряженном виде rot ; rot • • → → → → → → ωµ − = + ωε − σ = ∗ ∗ ∗ ∗ H j E J E j E H a ст a Первое уравнение скалярно умножаем на , второе на • → E ∗ → H , из первого вычитаем второе и умножаем на 1/2 39 • ∗ • • • • → → ∗ → → → → ∗ → ∗ → → + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − E J H E j E E H H E ст a a 2 1 4 1 4 1 2 2 1 rot rot 2 1 2 2 2 µ ε ω σ . (3.53) Воспользуемся выражениями (3.34), (3.50), (3.51), (3.52) и перепишем (3.53) в следующем виде: ( ) • → = − ω + + Π • ст Э ср M ср ср n p w w j p 2 div (3.54) Равенство (3.54) представляет собой уравнение баланса в дифференциальной форме. Проинтегрируем (3.53) по выделенному объему среды V и применим теорему Остроградского-Гаусса к интегралу от • → Π div dV E J dV E H j dV E dS V V V S cm a a ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + Π ⋅ → → → → → → → • • • • * 2 2 2 2 1 4 1 4 1 2 2 1 ε µ ω σ . (3.55) Это уравнение баланса комплексных мощностей, независящих от времени. Перепишем его в следующем виде ( ) • Σ • = − ω + + ст Э ср М ср ср п P W W j P P 2 . (3.56) Разделяя в этом соотношении вещественную и мнимую части, получаем два независимых уравнения Re Re • Σ • = + ст ср п P P P (3.57) ( ) Im 2 Im • Σ • = − ω + ст Э ср М ср Р W W P (3.58) Уравнение (3.57) представляет собой уравнение баланса средних за период мощностей, его называют так же уравнением активных мощностей. По известным комплексным амплитудам вычисляются средние значения или «постоянные части» энергетических характеристик электромагнитного процесса. Активная мощность стороннего источника – это мощность, 40 потраченная на излучение и на покрытие потерь в среде (нагрев среды). Уравнение (3.58) называют уравнением баланса реактивных (неактивных) мощностей. Реактивная мощность стороннего источника связана со сдвигом фаз между сторонним электрическим током и напряженностью электрического поля. Реактивная мощность потока электромагнитного поля связана со сдвигом фаз между напряженностями электрического и магнитного полей в проводящей среде ( 0 ≠ σ ) При распространении электромагнитной волны в такой среде возникают электрические токи проводимости с плотностью , которые в свою очередь создают вторичную электромагнитную волну. Происходит непрерывный обмен энергией между первичной волной и средой, что и приводит к реактивному потоку энергии. → → σ = E J Вернемся к комплексному вектору Пойнтинга, использовав представление: , , где и - синфазные комплексные амплитуды E j e E E ϕ • • → → = 0 H j e H H ϕ • • → → = 0 0 • → E 0 • → H ( ) H E j e H E H E ϕ − ϕ ∗ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Π → • → → → → • • * 0 0 , 2 1 , 2 1 . (3.59) В формуле (3.59) фазы H E , ϕ ϕ определяют сдвиг по фазе между комплексными амплитудами • → E и • → H . Если комплексные амплитуды векторов поля синфазны или противофазны ( π = ϕ − ϕ n H E , где ,... 2 , 1 , 0 ± ± = n ), то и вся энергия переносится электромагнитной волной. Если комплексные амплитуды векторов поля имеют сдвиг по фазе 0 Im = Π • → 2 π ± = ϕ − ϕ H E , то и рассматриваемый электромагнитный процесс в среднем за период не переносит энергии. 0 Re = Π = Π → → • ср 41 3.6. Скорость распространения электромагнитной энергии Возбужденное переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве с конечной скоростью, перенося электромагнитную энергию из одной точки пространства в другую. Определение скорости распространения энергии связано с уравнением баланса мощности (3.37) и обусловлено потоком вектора Пойнтинга. Выделим в рассматриваемой части пространства так называемую энергетическую трубку, то есть трубку, на боковой поверхности которой перпендикулярная к ней составляющая вектора Пойнтинга равна нулю (рис. 3.3). Это означает, что через боковую поверхность трубки отсутствует излучение энергии. S ∆ S ∆ l ∆ 1 S ∆ Э V Рис. 3.3. К определению скорости распространения электромагнитной энергии При этом условии средний за период поток энергии через поперечное сечение трубки при отсутствии тепловых потерь не изменится вдоль трубки. Энергия электромагнитного поля W ∆ , прошедшая за время через поперечное сечение трубки t ∆ S ∆ , будет распределена с объемной плотностью (3.39) в объеме w V ∆ , ограниченном боковой поверхностью трубки и поперечными сечениями S ∆ и , находящимися на расстоянии 1 S ∆ l ∆ друг от друга. Эта энергия может быть вычислена по формуле ∫ ∫ ∆ ′ ∆ ∆ = = ∆ V S wdS l wdV W , (3.60) 42 где – некоторое поперечное сечение, расположенное между сечениями и ' S ∆ S ∆ 1 S ∆ Будем называть скоростью распространения энергии предел отношения к при → Э V l ∆ t ∆ 0 → ∆t . При достаточно малых значениях можно считать, что в пределах t ∆ t ∆ вектор Пойнтинга не изменяется, поэтому наряду с (3.60) должно выполняться соотношение , ∫ ∆ → → Π ∆ = ∆ S dS t W (3.61) где , а – единичный вектор, перпендикулярный к и направленный в сторону dS l dS 0 → → = 0 → l S ∆ 1 S ∆ Приравнивая правые части (3.60) и (3.61) и переходя к пределу при , находим 0 → ∆t lim 0 ∫ ∫ ∆ ∆ → → → ∆ → Π = ∆ ∆ = S S t Э wdS dS t l V (3.62) В выражении (3.62) учтено, что в пределе сечение совпадает с . Если 0 → ∆t S ′ ∆ S ∆ → E и → H , а, следовательно, и вектор Пойнтинга → П и объемная плотность энергии не изменяются вдоль сечения w S ∆ , формула (3.62) упрощается. Так как в этом случае направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением распространения энергии, то получаем следующую формулу расчета скорости распространения энергии с м , 2 1 2 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + Π = Π = → → → → → → → B H D E w Э V (3.63) В случае монохроматического поля среднее за период значение скорости распространения энергии 43 Re ∫ ∫ ∆ ∆ → → • Π = → S ср S ср Э dS w dS V (3.64) Если значения вектора Пойнтинга и функции одинаковы во всех точках сечения ср w S ∆ , выражение (3.64) можно записать в виде 4 1 4 1 Re 2 2 • • • → → → → → + Π = Π = H E w a a ср ср ср Э V µ ε (3.65) В дальнейшем будет показано, что в среде без потерь ( 0 = σ ) скорость распространения энергии зависит только от параметров среды , и не зависит от частоты и интенсивности поля. a ε a µ 3.7. Граничные условия для векторов электромагнитного поля на поверхности раздела сред 3.7.1. Введение Уравнения Максвелла, содержащие всю информацию об электромагнитном поле, позволяют определить, как изменяются векторы поля при переходе через границу раздела двух различных сред. На поверхности раздела параметры сред σ µ ε , , a a (или по крайней мере один из них) скачкообразно меняют свои значения. Например, на поверхности раздела вода-воздух происходят скачкообразные изменения проводимости и диэлектрической 44 проницаемости. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме используются в средах, параметры которых либо не зависят от координат, либо являются непрерывными функциями координат. На поверхности раздела сред, где нарушается непрерывность параметров среды, уравнения Максвелла в дифференциальной форме теряют смысл и должны быть дополнены условиями, определяющими поведение векторов поля на границе раздела сред. Эти условия устанавливаются с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме. Соотношения, показывающие связь между значениями составляющих векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела, называются граничными условиями. Задача о граничных условиях ставится следующим образом. Имеется некоторая граница раздела S между первой средой с параметрами и второй средой с параметрами 1 1 1 , , σ µ ε a a 2 2 2 , , σ µ ε a a Среды – линейные, изотропные. На границе раздела отсутствуют сторонние источники. На поверхности S выделяем точку M, предполагая, что в малой окрестности этой точки со стороны первой среды поле задано, а поле со стороны второй среды нужно найти. Векторы поля в окрестности точки M раскладываются на тангенциальные (касательные) и нормальные составляющие к границе раздела. Например, вектор → E на границе раздела можно представить → → τ → τ → → Ε + τ = + = n E E E E n n (3.66) Здесь – единственные векторы (орты) касательного и нормального направлений (рис. 3.4). → → τ n , 45 → n → E n E → τ → E → τ Рис. 3.4. Разложение одного из векторов поля на нормальную и касательную составляющие Эти векторы лежат в плоскости, образованной вектором → E и нормалью к границе раздела, проведенной в точке M. Поведение нормальных и тангенциальных составляющих векторов поля рассматриваются по отдельности. В окрестности точки M выделяется элементарный объем ∆ V и элементарный контур ∆L такие, что часть ∆ V и часть ∆L находятся в первой среде, а другие их части – во второй среде. Тогда с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме можно связать векторы поля в обеих средах. При сжатии ∆ V и ∆L к границе раздела сред предельные выражения уравнений Максвелла дадут граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов электромагнитного поля. 3.7.2. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электромагнитного поля Установим условия, определяющие поведение нормальных к границе раздела сред составляющих векторов поля. На поверхности раздела S в окрестности выбранной точки M выделим элемент поверхности ∆ S. Элемент ∆S должен быть настолько мал, чтобы, во-первых, его можно было считать плоским, во-вторых, чтобы в 46 обеих средах распределение нормальной компоненты вектора можно было считать равномерным в пределах ∆ S. На элементе ∆S строится цилиндр высотой ∆ h так, чтобы его основания (торцы) находились в разных средах (рис. 3.5). → D 1 S ∆ S ∆ 2 S ∆ → 1 n → 2 n → n h ∆ Рис. 3.5. К выводу граничных условий для нормальных составляющих векторов электромагнитного поля Единичные векторы – орты нормали к торцам цилиндра, – орт нормали к границе раздела. Применим третье уравнение Максвелла в интегральной форме к объему цилиндра ∆ V, ограниченного поверхностями торцов ∆ S → → 2 1 , n n → n 1 и ∆ S 2 и боковой поверхностью цилиндра ∆ S б 2 1 ∫ ∫ ∆ ∆ + ∆ + ∆ → → ρ = V б S S S dV S d D (3.67) Сжимаем цилиндр к границе раздела, устремляя . Так как при имеем 0 → ∆h 0 → ∆h 0 → ∆ б S , поэтому интеграл по боковой поверхности цилиндра стремится к нулю. В левой части (3.67) сохраняются интегралы по поверхностям торцов ∆S 1 и ∆S 2 , остающимся в своих средах вблизи границы раздела 47 ∫ ∫ ∫ ∆ ∆ → → ∆ → → ρ = + V S S dV dS D dS D 2 2 1 1 , (3.68) где → → → → ∆ = ∆ = 2 2 2 1 1 1 , n S dS n S dS Учтем, что при ∆h → 0: , , 1 2 1 → → = ∆ = ∆ = ∆ n n S S S h S V n n ∆ ∆ = ∆ − = → → , 2 Поскольку ∆ S мало, то можно вынести и из под знака интеграла. Таким образом, при ∆h 0 из (3.68), сокращая ∆ S, получаем соотношение → → 2 1 , D D ρ → . h n D n D ∆ ρ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → → → → 2 1 (3.69) В случае реальных сред заряды не скапливаются на границе раздела, они сосредоточиваются в тонком приграничном слое, так что объемная плотность зарядов остается конечной величиной и правая часть (3.69) стремится к нулю при 0 → ∆h . Соотношение (3.69) принимает вид 2 1 n n D D = (3.70) Равенство (3.70) представляет собой граничное условие, которое формулируется следующим образом: нормальные составляющие вектора электрической индукции → D на границе раздела двух сред непрерывны. Выражая в уравнении (3.70) и через и 1 n D 2 n D 1 n E 2 n E с помощью материального уравнения , получаем граничное условие для нормальных компонент вектора → → ε = E D a → E 48 2 1 2 1 2 2 1 1 или n n n a n a E E E E ε ε ε ε = = . (3.71) Соотношение (3.71) показывает, что нормальная составляющая вектора E r при переходе через поверхность раздела реальных сред имеет разрыв (скачок), величина которого определяется отношением диэлектрических проницаемостей этих сред. Применим к объему цилиндра ∆ V четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме 0 2 1 S = ∆ + ∆ + ∆ ∫ → → б S S S d B При предельное выражение этого уравнения представляет собой граничное условие для нормальных компонент вектора магнитной индукции 0 → ∆h → B 2 1 n n B B = . (3.72) Нормальные составляющие вектора B r при переходе через поверхность раздела сред непрерывны. Из материального уравнения H B a r r µ = получаем граничное условие для нормальных компонент вектора напряженности магнитного поля H r 2 1 2 1 2 2 1 1 или n H n H n H a n H a µ µ = µ = µ (3.73) Условия (3.73) показывают, что нормальная составляющая вектора → H при переходе через поверхность раздела сред имеет разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей этих сред. Граничные условия (3.70) ÷ (3.73) справедливы для мгновенных значений векторов переменного электромагнитного поля. В случае гармонически изменяющегося поля 49 (монохроматического) граничные условия (3.70) (3.73) записываются для независящих от времени комплексных амплитуд векторов поля ÷ • • • • • • • • = = = = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , n n n n n n n n H H B B E E D D µ µ ε ε . (3.74) 3.7.3. Граничные условия для касательных составляющих векторов электромагнитного поля Установим условия, определяющие поведение касательных к границе раздела сред составляющих векторов поля. На поверхности раздела S двух изотропных сред из произвольной точки M проводится единичная нормаль , направленная из второй среды в первую (рис. 3.6). → n Рис. 3.6. К выводу граничных условий для касательных составляющих векторов электромагнитного поля Через проведем плоскость P. На линии пересечения поверхности раздела S с плоскостью Р выделим малый отрезок → n l ∆ , содержащий точку М. Размеры отрезка должны быть такими 50 малыми, чтобы, во-первых, его можно было считать прямолинейным, а во-вторых, чтобы распределения касательной составляющей вектора → H в пределах l ∆ в обеих средах можно было считать равномерными. В плоскости Р построим прямоугольный замкнутый контур L ∆ (АВСD). Стороны АВ и СD параллельны и находятся в разных средах. В точке М проведем единичную касательную к линии пересечения поверхности раздела S с плоскостью P и единичную нормаль к плоскости Р. Орты составляют правую тройку векторов l ∆ → τ → N → → → τ N n , , ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ τ = → → → , n N , (3.75) Обход контура АВСD образует правовинтовую систему с вектором → N Применим к контуру АВСD первое уравнение Максвелла в интегральной форме → → → → → ∫ ∫ ∆ ∂ ∂ + = dS S t D j ABCD dl H ) ( , (3.76) где S ∆ – площадь, охваченная контуром АВСD, а . Интеграл по замкнутому контуру АВСD в (3.76) представляем в виде суммы по частям контура АВ и СD и двух интегралов по боковым сторонам длиной h l N dS N dS ∆ ∆ = = → → → h ∆ . Устремляем , при этом интегралы по боковым сторонам стремятся к нулю. В левой части (3.76) сохраняются интегралы по сторонам контура АВ и СD, остающимся в своих средах вблизи границы раздела 0 → ∆h h l N t D j dl H dl H S CD AB ∆ ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ∂ ∂ + = + → ∆ → → → → → → ∫ ∫ ∫ ) ( (3.77) 51 Далее при имеем: 0 → ∆h l dl ∆ τ = → → на АВ и на СD. l dl ∆ τ − = → → Поскольку мало, векторы поля и плотности токов можно вынести из под знака интеграла. Таким образом, при из (3.77), сокращая , получаем соотношение l ∆ 0 → ∆h l ∆ h N t D j H H ∆ ⋅ ⋅ ∂ ∂ + = τ ⋅ − τ ⋅ → → → → → → → ) ( 2 1 (3.78) В реальных средах числовые значения параметров сред конечны, следовательно, векторы плотности тока проводимости и тока смещения имеют конечные значения, при этом правая часть (3.78) при стремится к нулю. Соотношение (3.78) принимает окончательный вид граничного условия 0 → ∆h 2 1 τ = τ H H (3.79) Применим к контуру АВСD второе уравнение Максвелла в интегральной форме, проведем аналогичные преобразования и получим граничное условие для тангенциальных составляющих вектора → E 2 1 τ = τ E E (3.80) Условия (3.79), (3.80) формулируются следующим образом: касательные составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного полей остаются непрерывными при переходе через поверхность раздела реальных сред. Воспользуемся материальным уравнением и запишем с учетом (3.80) граничные условия для касательных составляющих вектора → → ε = E D a → D или 1 1 2 2 1 1 τ τ ε = ε D D a a 2 2 1 1 τ τ ε ε = D D (3.81) Касательная составляющая вектора → D претерпевает разрыв, величина которого определяется отношением диэлектрических 52 проницаемостей сред. Из материального уравнения и граничного условия (3.79) имеем → → µ = H B a или 1 1 2 2 1 1 τ µ = τ µ B a B a 2 2 1 1 τ µ µ = τ B B (3.82) Граничное условие (3.82) показывает, что касательная составляющая вектора → B претерпевает разрыв, величина которого зависит от соотношения между магнитными проницаемостями. Граничные условия (3.79) и (3.82) записаны для мгновенных значений векторов переменного электромагнитного поля. В случае монохроматического поля граничные условия записываются для комплексных амплитуд векторов поля 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 , , , τ • τ • τ • τ • τ • τ • τ • τ • µ µ = ε ε = = = B B D D E E H H (3.83) Обратим внимание на тот факт, что граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов электромагнитного поля имеют различия. Причину этих различий покажем на примере вектора → E . Пусть имеются две изотропные среды с общей границей раздела, характеризуемые диэлектрическими проницаемостями 1 a ε и Под воздействием внешнего электрического поля обе среды поляризуются, причем вектор поляризованности будет иметь различные значения, так как 2 a ε → P 2 1 a a ε ≠ ε . Пусть вектор → E , а, следовательно, и вектор → P перпендикулярны границе раздела (рис. 3.7). 53 1 ε 2 ε → E → 1 P → 2 P 1 ε 2 ε → E → 1 P → 2 P Рис. 3.7. Поляризация диэлектриков при нормальной ориентации вектора → E 1 ε 2 ε → 1 P → 2 P Рис. 3.8. Поляризация диэлектриков при касательной ориентации вектора → E На рис. 3.7. показан случай, когда 2 1 a a ε < ε и вторая среда поляризуется легче (символически это отображено на рис. 3.7) тем, что во второй среде больше молекулярных диполей, ориентированных параллельно вектору → E . На границе раздела возникают нескомпенсированные положительные связанные заряды (вторичные источники). Эти заряды создают дополнительное электрическое поле, которое в первой среде складывается с первичным полем, а во второй – вычитается, так что и нормальная составляющая вектора 2 1 n E n E ≠ → E имеет разрыв при переходе через границу раздела. 54 Если векторы → E и параллельны поверхности раздела (рис. 3.8), то нескомпенсированных зарядов на границе раздела не возникает, и тангенциальная составляющая непрерывна. Но при этом тангенциальная составляющая вектора индукции электрического поля → P 2 1 τ τ = E E τ + τ ε τ = P E D 0 испытывает скачок в силу одинаковых τ E в обеих средах, но разных Различие в граничных условиях для нормальных и тангенциальных составляющих векторов магнитного поля τ P → H и → B объясняется разной степенью намагниченности сред, что приводит к появлению поверхностных молекулярных токов, создающих дополнительное магнитное поле. 3.7.4. Граничные условия на поверхности идеального проводника При изучении переменных электромагнитных полей вблизи поверхности металлического тела предполагают, что рассматриваемое тело является идеальным проводником. При этом граничные условия упрощаются, так как в среде с ∞ → σ переменное поле отсутствует. Пусть идеально проводящей является вторая среда, тогда . Первая среда изотропная, непроводящая. Поведение нормальных составляющих векторов поля установим с помощью соотношения (3.69) 0 2 2 2 2 = = = = → → → → H B E D 2 1 h n D n D ∆ ρ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → → → → В присутствии переменного поля заряды идеального проводника сосредотачиваются на его поверхности в бесконечно тонком слое, распределяясь с некой поверхностной плотностью. Представим объемную плотность зарядов в следующем виде: h h S Q V Q S ∆ ρ = ∆ ⋅ ∆ ∆ = ∆ ∆ = ρ , (3.84) 55 где – элемент поверхности проводника; S ∆ S Q S ∆ ∆ = ρ – поверхностная плотность заряда (её часто называют также плотность поверхностных зарядов). Тогда правая часть соотношения (3.69) принимает вид , и, приравняв нулю , получаем граничное условие для нормальной составляющей вектора на поверхности идеального проводника S ρ 2 n D → D S n D ρ = 1 . (3.85) Нормальная составляющая вектора → E определяется из материального уравнения → → ε = E D a 1 1 a S n E ε ρ = (3.86) Нормальные составляющие векторов магнитного поля определяются из (3.72) и (3.73) 0 1 = n B , 0 1 = n H (3.87) Поведение касательных к поверхности S проводника составляющих векторов → E и → H установим с помощью соотношения (3.78) h N t D j H H ∆ ⋅ ⋅ ∂ ∂ + = τ ⋅ − τ ⋅ → → → → → → → ) ( 2 1 Объемная плотность тока смещения величина всегда конечна, так как векторы поля и их производные величины ограниченные, поэтому в правой части (3.78) имеем 0 при 0 → ∆ → ∆ ⋅ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ → h h t D 56 Особый разговор об объёмной плотности тока проводимости в правой части (3.78) h S Q h h j h ∆ ∆ ∆ ∆ = ρ ∆ = ∆ → → → υ υ , (3.88) где – скорость носителей заряда. → υ Поскольку заряд сосредоточен на поверхности, (3.88) примет вид s j S j h → → → = ρ = ∆ υ , (3.89) где – поверхностная плотность тока проводимости (её часто называют плотность поверхностного тока). → S j Поверхностная плотность тока проводимости имеет размерность А/м. Теперь предельный переход в (3.78) даст правую часть, отличную от нуля → S j → → → → = τ ⋅ N j H S 1 (3.90) Заменяем и используем свойства циклической перестановки сомножителей в смешанном произведении, в результате получаем ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = τ → → → n N, → → → → → = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ N j N H n S 1 , Поскольку это равенство выполняется при любом направлении орта , то из этого следует: → N или , 1 → → → = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ S j H n . (3.91) → → τ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ S j H n 1 , Из уравнения (3.80) получаем граничное условие для тангенциальной составляющей вектора → E 0 1 = τ E (3.92) 57 Итак, на поверхности идеального проводника выполняются следующие граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов поля: → → τ → τ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ε ρ = = S n a S n j H n H E E 1 1 1 1 , , 0 , , 0 1 (3.93) Тангенциальная составляющая магнитного поля наводит на поверхности идеального проводника электрический ток с плотностью , который перпендикулярен вектору магнитного поля → S j → H . На поверхности идеального проводника нормальная составляющая вектора → H и касательная составляющая вектора обращаются в нуль. Силовые линии магнитного поля (замкнутые) подходят к идеальному проводнику так, что только касаются его поверхности. Силовые линии электрического поля к идеальному проводнику подходят так, что всегда перпендикулярны его поверхности. → E |