Электромагнитные волны
 Скачать 1.59 Mb.
|
|
4.3. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде с проводимостью, отличной от нуля При распространении в реальных средах электромагнитные волны испытывают затухание, происходит потеря энергии, переносимой этими волнами. Основные потери в среде связаны с проводимостью, отличной от нуля. Электромагнитная волна вызывает в такой среде токи проводимости с плотностью , на поддержание которых расходуется часть энергии волны, в результате чего выделяется тепло (джоулевы потери). Тепловые потери в среде могут быть также обусловлены инерционностью процессов поляризации и намагниченности сред. Но в большинстве практических случаев при рассмотрении электромагнитных волн радиодиапазона среды безинерционны и эти потери не приходится учитывать. → → σ = E J Рассмотрим однородную изотропную среду с параметрами а µ и комплексной диэлектрической проницаемостью ( ) δ − ε = ω σ − ε = ε • tg 1 j j а а а (4.42). В однородной изотропной среде при наличии потерь поле плоской волны так же описывается формулами (4.34), (4.35), если в них учесть, что волновое число становится комплексной величиной α + β = δ − ε µ ω = µ ε ω = • • j j k а а а a ) tg 1 ( . (4.43). В выражении (4.43) за β обозначена реальная часть комплексного волнового числа, за α – мнимая часть. Для дальнейшего анализа необходимо определить β и α и обосновать 74 знак перед мнимой частью. Возведя в квадрат обе части равенства (4.43), разделяя вещественную и мнимую части, получаем систему двух алгебраических уравнений относительно β и α ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ δ µ ε ω − = βα µ ε ω = α − β tg а а а а 2 2 2 2 2 (4.44). Из (4.44) следует, что ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ δ + ± µ ε ω = β 2 2 2 tg 1 1 2 а а . (4.45). Так как реальная часть комплексного волнового числа не может быть отрицательной величиной, то в формуле (4.45) нужно выбрать знак «+». Для коэффициента фазы β, характеризующего изменение фазы бегущей волны, получаем расчетную формулу ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + δ + µ ε ω = β 1 tg 1 2 2 а а (4.46). Отметим, что коэффициент фазы β в среде с 0 ≠ σ больше коэффициента фазы а а k µ ε ω = в среде без потерь ( ) с теми же значениями 0 = σ а а µ ε , . Из системы (4.44) получаем выражение для коэффициента затухания α, характеризующего уменьшение амплитуды бегущей волны ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − δ + µ ε ω = α 1 tg 1 2 2 а а (4.47) Далее, нужно учесть, что из второго уравнения системы (4.44) следует, что β и α имеют разные знаки, т. е. возможны равенства α + β − = α − β = • • j k , j k . (4.48). Рассмотрим волновой множитель (оператор бегущей волны) е -jkz в выражениях (4.34), (4.35). В среде с потерями, учитывая (4.48), функция может быть записана одним из двух способов z k i e • − z j z z j z е е е е β α β − α − , (4.49) По предположению (раздел 4.2) источник находится со стороны отрицательных значений координаты z и волна 75 распространяется вдоль оси z. Этому условию соответствует первое выражение (4.49), в котором множитель учитывает экспоненциальное уменьшение амплитуды из-за потерь на нагревание среды при e z α − 0 ≠ σ . В соответствии с этим выбором комплексное волновое число записывается α − β = • j k (4.50). В выражении (4.50) коэффициент фазы β вычисляется по формуле (4.46), коэффициент затухания α по (4.47), обе формулы справедливы при любой проводимости среды. Комплексная диэлектрическая проницаемость (4.42) входит в характеристическое сопротивление среды, которое становится также комплексной величиной. В рассматриваемом случае с j с а а с e Z j Z ϕ • • = δ − ε µ = ) tg 1 ( , (4.51) где δ = ϕ ε δ µ = • 2 1 , cos с а а с Z Подставляя выражения (4.50), (4.51) в формулы (4.34), (4.35), получаем поле плоской однородной волны, распространяющейся вдоль оси z в среде с проводимостью, отличной от нуля z j z my z j z mx е е E y е е E x E β − α − → β − α − → → + = • 0 0 ; (4.52) с с j z j z c mx j z j z c my е е е Z E y е е е Z E x H ϕ − β − α − • → ϕ − β − α − • → → + − = • 0 0 . (4.53) При изменении удельной проводимости σ от нуля до бесконечности фаза φ с увеличивается от нуля до 4 / π , а модуль с Z • убывает от а а ε µ до нуля. Наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной величины характеристического сопротивления, то есть 76 к увеличению → H при заданном значении → E . Это обусловлено тем, что величина → H определяется как током проводимости, так и током смещения. В среде с σ = 0 существуют только токи смещения, которые при одинаковых значениях → E и остаются прежними и в среде с потерями (σ ≠ 0), а возникшие токи проводимости увеличивают лишь магнитное поле. а ε Для дальнейшего анализа плоской волны в среде с потерями рассмотрим случай, когда вектор • → E (4.52) имеет одну составляющую, например, , а вектор x E • • → H (4.53) имеет соответственно . Перейдем к мгновенным значениям этих составляющих y H • ( z t е E x E z mx β − ω = α − → → cos 0 ) , (4.54) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ δ β − ω = α − • → → 2 - z t е Z E y H z с mx cos 0 . (4.55) Амплитуды векторов → E и → H экспоненциально убывают вдоль оси z, вектор → H опаздывает по фазе относительно вектора → E на величину , равную половине угла потерь ( с ϕ 2 δ = ϕ с ). На рис. 4.5 приведена зависимость мгновенных значений векторов → E и → H от времени t в некоторой фиксированной точке пространства z = z 0 , а на рис. 4.6 – зависимость мгновенных значений векторов → E и → H от координаты z в некоторый момент времени t = t 0 77 ω δ 2 x y t → E → H x E y H 0 ≠ σ const 0 = = z z Рис. 4.5. Изменение поля плоской волны во времени β δ 2 x y → E → H x E y H 0 ≠ σ ) exp( z α − ) exp( z α − t = t 0 = c o n s t z Рис.4.6. Изменение поля плоской волны в пространстве Фазовая скорость плоской волны определяется по общей формуле, как отношение частоты к коэффициенту фазы 1 tg 1 2 1 Re 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + δ + µ ε = β ω = ω = • а а ф k V (4.56) 78 Фазовая скорость плоской волны в среде с потерями меньше чем фазовая скорость плоской волны в среде без потерь ( σ = 0) с теми же параметрами и а ε а µ . Как видно из (4.56) фазовая скорость зависит от частоты ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ωε σ = δ а tg , с увеличением частоты она возрастает и стремится к фазовой скорости в среде без потерь а а ф V µ ε = 1 . Кроме того, величина V ф зависит от проводимости среды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью. Длина волны в среде с потерями f V f k ф а а = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + δ + µ ε = β π = π = λ • 1 tg 1 2 1 2 Re 2 2 (4.57) Длина волны при фиксированной частоте убывает с увеличением проводимости σ Коэффициент затухания α (4.47) это действительная величина, которая, подобно коэффициенту фазы, имеет размерность 1/м. Экспонента показывает во сколько раз уменьшаются амплитуды векторов z e α → E и → H по прохождению расстояния в z (м). Поскольку величина затухания может меняться в больших пределах в разных средах, то удобно ввести логарифмический масштаб представления коэффициента затухания. Для этого используется отношение амплитуд напряженности электрического поля по прохождению расстояния в один метр м m m е м z E z E 1 ) 1 ( ) ( • α = + . (4.58). Натуральный логарифм (4.58) определяет коэффициент затухания в неперах на метр (Нп/м) ) 1 ( ) ( ln 1 1 м z E z E м м Нп m m + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α В технических расчетах часто используют другую логарифмическую единицу – децибелы на метр (дБ/м), которую 79 определяют как двадцать десятичных логарифмов того же отношения амплитуд (4.58) ) м 1 ( ) ( lg 20 1 1 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ z E z E м м дБ m m α Поскольку ln 10=2,303, а lg e=0,4343, то 1Нп = 8,868 дБ и 1 дБ=0,1151 Нп. В названии коэффициента затухания использованы имена известных ученых – Непера и Белла (д – децимальная приставка). Если плоская волна распространяется в однородной среде и проходит расстояние l(м), то общее затухание (потери) на трассе рассчитываются в логарифмических единицах следующим образом: или ) ( ) ( м l м Нп Нп L ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α = ) м ( l м дБ ) дБ ( L ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α = Расстояние, по прохождению которого электромагнитная волна ослабевает в е = 2.718 раз, называется глубиной проникновения волны в среду и определяется как ∆ = α 1 (∆ – заглавная буква дельта греческого алфавита). Распространение волны сопровождается переносом энергии. В среде с 0 ≠ σ комплексный вектор Пойнтинга в общем случае, когда векторы • → E и • → H имеют по две составляющие (4.52), (4.53) рассчитывается следующим образом: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Π • • → • • → → → → → → • • x y y x y x y x H E H E z H H E E z y x H E * * 0 * * 0 0 0 2 1 0 0 2 1 , 2 1 * . (4.59) В рассматриваемом случае, когда вектор • → E имеет одну составляющую, а вектор x E • • → H – одну , комплексный вектор Пойнтинга равен y H • 80 2 2 2 0 2 1 δ α − • → → = Π • j z с mx е е Z E z (4.60) и содержит как действительную, так и мнимую части. Это означает, что имеется как активный, так и реактивный поток мощности. Средняя за период плотность потока мощности экспоненциально убывает вдоль оси z 2 cos Re 2 2 0 δ = Π = Π α − • → → → • z с mx ср е Z E z (4.61) Возникновение плотности потока реактивной энергии в среде с ≠ 0 может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с плотностью , на поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические токи излучают электромагнитное поле, создают вторичную электромагнитную волну, которая складывается с первичной и происходит непрерывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к возникновению потока реактивной мощности. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ • → П Im σ → → σ = E J Скорость распространения энергии вычисляется по формуле (3.65) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + δ + µ ε = Π = → → → 1 tg 1 2 1 2 0 а а ср ср Э z w V . (4.62) Как видно из (4.62) скорость распространения энергии зависит от частоты. Основное отличие параметров плоской волны, распространяющейся в среде с конечной проводимостью и в среде с = 0 состоит в том, что в среде без потерь параметры волны ( и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость фазовой скорости волны от частоты называется дисперсией. Следует σ с ф Z э V V , , 81 отметить, что если есть необходимость учесть другие потери, например, магнитные, то следует воспользоваться изложенным способом определения коэффициента фазы, коэффициента затухания и характеристического сопротивления среды и всеми последующими преобразованиями. Рассмотрим два частных случая реальных сред: диэлектрики с малыми потерями и хорошо проводящие среды (проводники). 4.3.1. Плоские однородные волны в диэлектрических средах с малыми потерями Диэлектрики с малыми потерями широко используются в аппаратуре радиоэлектроники и связи. Обычно это немагнитные диэлектрики с µ = 1. Выведем приближенные формулы для расчета основных параметров плоской электромагнитной волны в таких материалах. Воспользуемся абсолютной комплексной диэлектрической проницаемостью (4.42) 1 tg << δ ) tg 1 ( δ − ε = ε • j а а и комплексным волновым числом (4.43) δ − ε µ ω = δ − ε µ ω = • tg 1 ) tg 1 ( 0 j j k а o а (4.63) Поскольку , то корень 1 tg << δ δ − tg 1 j можно разложить в ряд Тейлора, сохранив два первых члена разложения δ − ≈ δ − tg 2 1 1 tg 1 j j (4.64) Выражение (4.64) подставляем в (4.63) и выделяем реальную и мнимую части комплексного волнового числа α − β = ε µ σ − ε µ ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ δ − ε µ ω = • j j j k а а а 0 0 0 2 tg 2 1 1 . (4.65) Получаем приближенные выражения для коэффициента фазы и коэффициента затухания ε λ π = ε ω = µ ε ε ω = ε µ ω = β 0 0 0 0 2 C а , (4.66) δ β = ε λ π δ = ε µ σ = α tg 2 1 tg 2 0 0 а . (4.67) Для характеристического сопротивления среды 82 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ δ + ε π = δ − ε π = δ − ε µ = • tg 2 1 1 120 tg 1 120 tg 1 0 j j j Z а с (4.68). Комплексный характер показывает на небольшую несинфазность векторов с Z → E и → H , которой на практике можно пренебречь. Длина волны вычисляется по обычной формуле β π = λ 2 (4.69) Фазовая скорость и скорость распространения энергии рассчитываются как в среде с σ = 0 a а ф э V V µ ε = = 1 (4.70) Из полученных результатов следует, что параметры волны ( ) с ф Z э V V , , , , λ β , распространяющейся в реальном диэлектрике в первом приближении совпадают с параметрами волны в среде без потерь. Коэффициент затухания α является малой величиной, не зависит от частоты, дисперсионные свойства проявляются незначительно. 4.3.2. Плоские однородные волны в хорошо проводящих средах В хорошо проводящих средах (например, в металлах) tgδ >> 1, относительная магнитная проницаемость µ = 1 (µ а = µ 0 ). При tgδ >> 1 в общих выражениях коэффициента фазы (4.46) и коэффициента затухания (4.47) можно пренебречь единицей по сравнению с tgδ. В результате получаем σ µ π = σ ωµ = β 0 f 2 0 , (4.69) σ µ π = σ ωµ = α 0 f 2 0 (4.70) Постоянные β и α нелинейно зависят от частоты, следовательно, свойства волны на разных частотах будут существенно различаться. Формулы для фазовой скорости, длины волны и характеристического сопротивления в таких средах принимают вид 83 ; 2 2 0 0 σ µ π = σ µ ω = = f э V V ф (4.71) ; 2 2 2 0 0 σ µ π = σ µ π π = β π = λ f f (4.72) ( ) σ ω µ + = σ ω µ = π • 2 1 0 4 0 j е Z j с (4.73) Сравним параметры плоских волн, распространяющихся в вакууме и меди ( См/м) на частоте 1 МГц: 7 10 ⋅ = σ 5,65 в вакууме в металле (медь) м/c 10 3 8 ⋅ = = э V V ф м/c 421 = = э V V ф м 300 0 = λ м 10 21 , 4 4 − ⋅ = λ π = 120 0 Z Ом ≈ 377 Ом 4 10 74 , 3 − • ⋅ ≈ с Z Ом. Коэффициент затухания волны, распространяющейся в меди при частоте 1 МГц равен α = 14935 1/м. Глубина проникновения волны в медь на частоте 1 МГц составляет 67 мкм. Приведенные примеры показывают, что электромагнитная волна на частотах радиодиапазона практически не проникает вглубь проводника. 4.4. Поляризация электромагнитных волн Поляризацией электромагнитной волны называют изменения величины и ориентации векторов → E и → H в фиксированной точке пространства в течение периода колебания волны. Волна, у которой в фиксированной точке пространства в любой момент времени величина и ориентация векторов и → E → H являются детерминированными (точно определенными), называется поляризованной. Поляризация волны ориентационная характеристика. В плоской однородной волне векторы → E и → H взаимосвязаны (4.36), характер их поведения в пространстве одинаков, поэтому ограничиваются рассмотрением одного вектора 84 → E . Плоскость, проходящую через вектор → E и направление распространения волны, называют плоскостью поляризации. Предположим, что волна создается двумя взаимно перпендикулярными элементарными электрическими вибраторами с токами и (рис. 4.7). 1 I 2 I Рис. 4.7. К введению понятия поляризации волны Вектор → E имеет две составляющие Е х и Е у , которые имеют разные амплитуды и изменяются с некоторым фазовым сдвигом в зависимости от соотношения между амплитудами и фазами токов вибраторов. Вектор → H при этом также имеет две составляющие Н х и Н у , связанные с Е х и Е у характеристическим сопротивлением. Таким образом, в общем случае выражение для вектора → E плоской волны в среде без потерь записывается в виде ( ) ( 2 0 1 0 cos cos ϕ + − ω + ϕ + − ω = → → → kz t E y kz t E x E my mx ) . (4.74) Здесь 1 ϕ и – начальные фазы составляющих Е 2 ϕ х и Е у в точке z = 0 при t = 0. Волну (4.74) можно рассматривать как суперпозицию(сумму) двух плоских волн одинаковой частоты с взаимно перпендикулярной ориентацией векторов и , распространяющихся в одном направлении (вдоль оси z). Определим ориентацию суммарного вектора x E → y E → → E (4.74) углом Θ (рис. 4.8). 85 x E θ y E → E Рис. 4.8. Мгновенное положение вектора → E Угол отсчитывается по часовой стрелке, если смотреть вдоль направления распространения волны и определяется соотношением Θ ( ) ( ) 1 2 cos cos tg ϕ + − ω ϕ + − ω = = Θ kz t E kz t E E E mx my x y (4.75) Характер изменения вектора → E (4.74) с течением времени в фиксированной точке пространства зависит от сдвига фаз и от равенства или неравенства амплитуд и В общем случае угол может изменяться во времени. Конец вектора 1 2 ϕ − ϕ = ϕ ∆ mx E my E Θ → E с течением времени в фиксированной точке пространства будет описывать линию, называемую годографом. По форме годографа выделяют три вида поляризации. 1. Линейная поляризация.Составляющие Е х и Е у синфазны или противофазны π = ϕ − ϕ = ϕ ∆ n 1 2 , где n = 0, ± 1, ± 2,… (4.76). Для простоты возьмем n = 0, то есть начальные фазы и 1 ϕ 2 ϕ совпадают. Полагая в формуле (4.75) ϕ = ϕ = ϕ 2 1 , получаем постоянное значение угла ориентации ( ) ( ) const cos cos tg = = ϕ + − ω ϕ + − ω = Θ mx my mx my E E kz t E kz t E . (4.77) Величина вектора → E (4.74) меняется во времени 86 ( ϕ + − ω + = + = → kz t E E E E E my mx y x cos 2 2 2 2 ) (4.78) В фиксированной точке пространства вектор → E , не меняя ориентации ( Θ = const) изменяется по модулю, конец вектора → E с течением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, составляющей с осью х угол Θ ( ) mx my n E E arctg 1 − = Θ (4.79) При четных значениях числа n (Е х и Е у синфазны) угол Θ величина положительная; при нечетных n (Е х и Е у противофазны) угол величина отрицательная. Таким образом, волна (4.74) при выполнении условия (4.76) имеет линейную поляризацию. Отметим, что если вектор Θ → E плоской волны имеет одну составляющую, волна линейно поляризована. 2. Круговая поляризация. Амплитуды составляющих Е х и Е у равны, а фазы отличаются на 2 π ± 2 , 1 2 0 π ± = ϕ − ϕ = ϕ ∆ = = E E E my mx (4.80) Подставляя эти значения в (4.75), получаем равенство ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 0 cos sin cos 2 cos tg ϕ + − ω ϕ + − ω = ϕ + − ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ± ϕ + − ω = Θ kz t kz t kz t E kz t E m . (4.81) Из (4.81) следует, что ( ) 1 ϕ + − ω + = Θ kz t , если 2 1 2 π − ϕ = ϕ , (4.82) ( ) 1 ϕ + − ω − = Θ kz t , если 2 1 2 π + ϕ = ϕ (4.83) Равенства (4.82), (4.83) означают, что угол Θ в фиксированной точке пространства изменяется линейно во времени и происходит периодическое изменение ориентации вектора Величина вектора → E → E при этом остается неизменной 87 0 2 2 E E E E y x = + = → Таким образом, в фиксированной точке пространства вектор , оставаясь неизменным по величине, вращается с угловой частотой вокруг направления . Число оборотов вектора → E ω → 0 z → E за секунду равно частоте колебаний. В рассматриваемую точку в разные моменты времени приходит вектор → E разной ориентации. Конец вектора при этом описывает окружность (рис. 4.9). → E Рис. 4.9. Годограф вектора при круговой поляризации → E Волна (4.74) при условии (4.80) имеет круговую поляризацию. В зависимости от направления вращения вектора различают волны с правой и левой поляризацией. Волна имеет правую круговую поляризацию, когда вектор → E → E вращается по часовой стрелке, если смотреть вдоль направления распространения волны ( >0). Волна имеет левую круговую поляризацию, когда вектор Θ → E вращается против часовой стрелки, если смотреть вдоль направления распространения волны ( Θ <0). Согласно условиям (4.82), (4.83) вектор вращается в сторону к отстающей по фазе составляющей. На рис. 4.10 показана ориентация вектора → E → E в 88 пространстве в фиксированный момент времени для плоской волны с круговой поляризацией, распространяющейся вдоль оси z в среде без потерь λ 0 t t = Рис. 4.10. Ориентация вектора → E в пространстве при круговой поляризации Линия, соединяющая концы векторов, представляет собой правовинтовую спираль с шагом, равным длине волны. Ее проекция на плоскость образует окружность с вращением вектора XOY → E против часовой стрелки, глядя вдоль направления распространения волны. Отметим, что винтовая линия, соответствующая волне с правой круговой поляризацией, имеет левую намотку, и, наоборот, в случае волны с левой круговой поляризацией винтовая линия имеет правую намотку. Очевидно, такой же анализ для вектора → H привел бы к аналогичным результатам. Запишем для примера поле плоской однородной волны левой круговой поляризации, распространяющейся вдоль оси z в среде без потерь. В записи электрического поля используем условие круговой поляризации (4.80), а взаимосвязанное с ним магнитное поле определяем по формуле (4.32). Комплексные амплитуды векторов → E и → H рассматриваемой волны принимают вид jkz jkz e E y j e E x E − → − → → + = • 0 0 0 0 , (4.84) 89 jkz C jkz C e Z E y e Z E x j H − → − → → + − = • 0 0 0 0 (4.85) При записи этой волны использовано известное соотношение j e j ± = π ± 2 . На основании последних выражений (4.84), (4.85) находим среднее за период значение плотности потока мощности C C C y x y x ср Z E z Z E Z E z H H E E z y x H E 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 , 2 1 Re Re * → → ∗ ∗ • • → → → → → → → = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Π = Π • • .(4.86) Среднее значение вектора Пойнтинга волны круговой поляризации равно сумме средних плотностей мощности двух волн с ортогональными линейными поляризациями. Любая волна круговой поляризации является суперпозицией двух волн с ортогональными линейными поляризациями при условии (4.80). В свою очередь, всякую линейно поляризованную волну можно представить в виде суммы двух волн с правой и левой круговой поляризацией. Вновь воспользуемся комплексным представлением вектора → E волны линейной поляризации jkz e E x E − → → = • 0 0 (4.87) Прибавим и вычтем в правой части (4.87) дополнительный вектор и перегруппируем слагаемые jkz jkz jkz jkz e E y j x e E y j x e E y j e E x E − → → − → → − → − → → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ± = • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 5 0 (4.88) Первое слагаемое в правой части (4.88) описывает волну с левой круговой поляризацией, а второе слагаемое описывает волну с правой круговой поляризацией с равными амплитудами. 3. Эллиптическая поляризация. Составляющие E х и Е у (4.74) имеют произвольные соотношения амплитуд и фаз. Суммарный вектор → E 90 в фиксированной точке пространства с течением времени изменяется по величине и вращается вокруг направления , его конец описывает эллипс (рис. 4.11). → 0 z 0 z z = → E → H Рис. 4.11. Годографы векторов → E и → H при эллиптической поляризации Волны такого типа принято называть эллиптически поляризованными. Вращение вектора → E происходит в сторону составляющей, отстающей по фазе. Если это вращение происходит по часовой стрелке, глядя вдоль направления распространения волны, то волна имеет правую эллиптическую поляризацию, если вращение против часовой стрелки – волна левой эллиптической поляризации. Степень эллиптичности волны оценивают по коэффициенту эллиптичности, равному отношению малой оси эллипса к большой. Ориентация эллипса задается углом между большой осью эллипса и осью х (или осью у). Такой же анализ для вектора → H привел бы к аналогичным результатам. Конец вектора → H в фиксированной точке пространства в течение периода колебаний также описывает эллипс, подобный эллипсу вектора , но повернутый относительно него на угол → E 2 π (рис. 4.11). Введем понятие ортогонально поляризованных волн. Две волны ортогонально поляризованы, если их поляризационные эллипсы взаимно перпендикулярны в пространстве, равны коэффициенты эллиптичности, а вращение вектора в эллипсах → E 91 противоположное. Волну одного вида поляризации можно представить как сумму двух волн с ортогональными поляризациями и разными амплитудами. Так эллиптически поляризованную волну можно представить как сумму двух волн с ортогональными линейными поляризациями, как сумму двух волн круговой поляризации с разными амплитудами и разным направлением вращения, либо как сумму двух волн эллиптической поляризации с ортогональными осями эллипсов, с разными амплитудами и разным направлением вращения. Приемная антенна извлекает из падающей на нее электромагнитной волны максимальную мощность, если поляризованные эллипсы передающей и приемной антенны совпадают. Прием будет отсутствовать, если антенны имеют ортогональные поляризации. В промежуточных случаях происходит уменьшение принятой мощности. Отметим, что понятие эллиптической, круговой и линейной поляризации применимо не только для плоских однородных волн, но и других типов волн. Поляризационные свойства электромагнитных волн имеют большое значение в прикладной радиотехнике. Например, штыревая антенна, размещенная в поле волны с круговой поляризацией перпендикулярно оси распространения, будет создавать выходной сигнал неизменной амплитуды независимо от ориентации в поперечной плоскости. Это обстоятельство делает волны с круговой поляризацией предпочтительными для организации радиосвязи с подвижными объектами, которые могут занимать в пространстве любые положения. 4.5. Плоские волны, распространяющиеся в произвольном направлении При анализе распространения плоской электромагнитной волны в неограниченной однородной среде была использована прямоугольная система координат, одна из осей которой (ось z) совпадала с направлением распространения волны. Для изучения волновых явлений на плоской границе раздела двух сред прямоугольную систему координат обычно вводят таким образом, чтобы поверхность раздела совпадала с одной из координатных поверхностей. При этом в общем случае направления 92 распространения падающей, отраженной и преломленной волн не совпадают ни с одной из координатных осей. Рассмотрим случай, когда плоская электромагнитная волна распространяется в произвольном направлении, не совпадающем ни с одной из координатных осей. Ограничимся записью линейно поляризованной волны, так как волны круговой и эллиптической поляризации можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных плоских волн. Предположим, что волна распространяется в однородной среде вдоль оси ' , образующей с осями x,y,z прямоугольной системы координат углы , z x ϕ y ϕ и соответственно (рис. 4.12). z ϕ Рис. 4.12. Произвольные направления распространения плоской волны Поле плоской однородной волны в среде без потерь запишем через комплексные амплитуды ; 0 z jk e E E ′ − → → = • . (4.89). z jk e H H ′ − → → = • 0 Векторы и лежат в плоскости перпендикулярной оси , причем → 0 E → 0 H ' z 93 C Z z H E ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ′ = → → → 0 0 0 , , (4.90) где – координатный орт переменной z y x z y x z ϕ + ϕ + ϕ = ′ → → → → cos cos cos 0 0 0 0 z′ Поверхность равных фаз (фронт волны) является плоскостью, перпендикулярной оси , и удовлетворяет уравнению ' z const , 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ = ′ → → z r z , (4.91) где → r – радиус вектор, проведенный из начала координат до произвольной точки, лежащей на рассматриваемой поверхности равных фаз. Для перехода к координатам x, y, z нужно вычислить скалярное произведение вектора → r на вектор (4.91). Учитывая, что радиус вектор равен → ′ 0 z z z y y x x r → → → → + + = 0 0 0 , из (4.91) запишем z y x z y x z ϕ + ϕ + ϕ = ′ cos cos cos . (4.92). Подставляем (4.92) в (4.89), получаем запись комплексных амплитуд векторов поля волны, произвольное направление распространения которой расписано в системе x, y, z через направляющие косинусы вектора → ′ 0 z ( ) z y x z y x jk E E e ϕ + ϕ + ϕ − → → = • cos cos cos 0 , (4.93) ( ) z y x z y x jk H H e ϕ + ϕ + ϕ − → → = • cos cos cos 0 . (4.94) Частными случаями формул (4.93), (4.94) являются записи плоских волн, распространяющихся вдоль какой-либо координаты x, y, z. 94 |