Электромагнитные волны
 Скачать 1.59 Mb.
|
|
Глава 5. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела сред 5.1. Введение Ранее рассматривалось распространение электромагнитных волн в однородных неограниченных средах. Однако, при решении многих практически важных задач приходится учитывать влияние границ препятствий, встречающихся на пути распространения волны. На границе препятствия (это среда уже с другими параметрами) волна испытывает отражение. Это значит, что от границы распространяется новая волна, налагающаяся на первичную. Внутри препятствия также возникает волновой процесс. В данной главе рассматриваются волновые явления, наблюдаемые при падении электромагнитных волн на границу раздела сред, обладающих разными параметрами ( σ µ ε , , a a ). Определение поля, возникающего при падении какой-либо электромагнитной волны на поверхность раздела сложной формы, связано с большими математическими трудностями, поэтому начнем с простейшей задачи такого типа. Будем рассматривать гармонический электромагнитный волновой процесс в случае, когда все пространство разделено плоскостью на две однородные среды с разными параметрами. На плоскую границу раздела падает плоская однородная волна. Попадая на границу раздела, электромагнитная волна частично (или полностью) отражается и частично (или полностью) проходит во вторую среду, то есть возникают явления отражения и преломления волны. Для анализа этих явлений введем некоторые определения. Плоскость, проходящая через нормаль к поверхности раздела двух сред и направление распространения падающей волны, называется плоскостью падения. Ограничимся рассмотрением линейно поляризованных волн, так как волны круговой и эллиптической поляризации можно представить в виде суммы двух линейно поляризованных плоских волн. Вектор напряженности электрического поля плоской волны перпендикулярен направлению ее распространения, а по отношению к плоскости падения может быть ориентирован 95 произвольно. Рассмотрим две ориентации вектора → E , то есть две ориентации плоскости поляризации, проходящей через → E и направление распространения волны. Пусть вектор → E перпендикулярен плоскости падения. Назовем такую волну нормально поляризованной. Если вектор → E параллелен плоскости падения (лежит в этой плоскости) – волна параллельно поляризована. Очевидно, что волну с любой другой ориентацией вектора → E , а также волны, имеющие круговую или эллиптическую поляризацию, можно представить в виде суперпозиции двух волн, одна из которых является нормально поляризованной, а вторая – параллельно поляризованной. Проанализируем случай нормальной и параллельной поляризации падающей волны по отдельности. 5.2. Падение нормально поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред Плоская электромагнитная волна нормальной линейной поляризации, распространяясь в первой среде, падает на плоскую бесконечно протяженную границу раздела двух однородных изотропных сред, характеризуемых параметрами 0 , , 1 1 1 = σ µ ε a a и 0 , , 2 2 2 = σ µ ε a a . Введем прямоугольную систему координат x, y, z так, чтобы плоскость yoz совпадала с поверхностью раздела, а плоскость xoz – с плоскостью падения. Угол между направлением распространения падающей волны и нормалью к границе раздела называется углом падения. Геометрия данной задачи и ориентация координатных осей показана на рис.5.1. ϕ 96 падающая волна отраженна я волна преломленна я волна ϕ 1 ϕ ` ϕ ϕ z x y z ` θ отраженная волна преломленная волна Рис. 5.1. Падение нормально поляризованной волны. Направление распространения падающей волны z′ записывается в системе координат x, y, z через направляющие косинусы 0 cos , cos cos = = y x ϕ ϕ ϕ , ϕ = ϕ − π = ϕ sin ) 2 cos( cos z , ϕ ϕ sin cos z x z + = ′ (5.1) Падающая волна нормально поляризована, в этом случае вектор → E параллелен оси y, вектор → H лежит в плоскости падения (рис. 5.2) Рис. 5.2. Ориентация векторов поля 97 Комплексные амплитуды векторов → E и → H падающей волны в системе координат x, y, z принимают вид ; ) sin cos ( 1 0 ϕ + ϕ − • → = • z x jk e E y E пад пад r (5.2) ) sin cos ( 1 1 0 0 ) cos sin ( ϕ + ϕ − • → → → ϕ − ϕ − = • z x jk e Z E z x H C пад пад (5.3) где 1 1 1 a a k µ ε ω = – коэффициент фазы падающей волны в первой среде; 1 1 1 a a C Z ε µ = – характеристическое сопротивление первой среды. Постоянная равна значению комплексной амплитуды y-ой составляющей напряженности электромагнитного поля в начале координат (при x = 0). Падающая волна частично (или полностью) отражается от границы раздела (x = 0) и частично (или полностью) проходит во вторую среду. Формируются отраженная и преломленная волны (последнюю называют также прошедшей волной). Так как поле падающей волны (5.2), (5.3) не зависит от переменной у, то поля преломленной и отраженной волн также не зависят от координаты у. Это означает, что направления распространения отраженной и преломленной волн лежат в плоскости падения xoz и задаются углом отражения и углом преломления пад E • 1 ϕ θ соответственно (рис5.1). Отраженную и преломленную волны, возбуждаемые падающей волной, ищем аналогично (5.2), (5.3) в виде нормально поляризованных плоских однородных волн (рис 5.2.). ϕ Выражения для векторов поля отраженной волны могут быть получены из формул (5.2), (5.3), если в последних заменить на и угол на угол пад E • отр E • ϕ ' ϕ ,где ' ϕ – угол между положительной 98 осью x и направлением распространения отраженной волны (рис. 5.1.). Угол связан с углом отражения простым соотношением ϕ′ 1 ϕ 1 ϕ − π = ϕ′ При этом комплексные амплитуды векторов поля отраженной волны принимают вид ) 1 sin 1 cos ( 1 0 ϕ + ϕ − − • • → → = z x jk e E y E отр отр ; (5.4) ) sin cos ( 1 1 1 1 1 0 1 0 ) cos sin ( ϕ + ϕ − − • → → → ϕ + ϕ − = • z x jk e Z E z x H c отр отр (5.5) Поле преломленной волны, распространяющейся во второй среде, записывается также с использованием формул(5.2), (5.3) при следующих заменах: заменяется на , угол падения пад E • пр E • ϕ - на угол преломления , - на , на θ 1 k 2 k 1 C Z 2 C Z ) sin cos ( 2 0 θ + θ − • → → = • z x jk e E y E пр пр , (5.6) ) sin cos ( 2 2 0 0 ) cos sin ( θ + θ − • → → → θ − θ − = • z x jk e Z E z x H C пр пр , (5.7) где 2 2 2 a a k µ ε ω = – коэффициент фазы преломленной волны во второй среде; 2 2 2 a a C Z ε µ = – характеристическое сопротивление второй среды. Теперь задача состоит в том, чтобы при заданной падающей волне (5.2), (5.3) подобрать такие направления и комплексные амплитуды отраженной и преломленной волн, при которых поля в первой и во второй средах удовлетворяли бы обязательным граничным условиям – касательные (тангенциальные) составляющие векторов → E и → H остаются непрерывными (равными) на границе раздела, то есть в плоскости х = 0 99 τ • τ • = 2 1 E E (5.8) τ • τ • = 2 1 H H (5.9) Поле в первой среде складывается из полей падающей и отраженной волн, а поле во второй среде совпадает с полем преломленной волны. Для записи условия (5.8) используем выражения (5.2), (5.4) и (5.6) при х=0 θ − • ϕ − • ϕ − • = + sin sin sin 2 1 1 1 z jk пр z jk отр z jk пад e E e E e E (5.10) Поскольку от значений z зависят лишь экспоненты, то равенство (5.10) может удовлетвориться только при условии, если θ = ϕ = ϕ sin sin sin 2 1 1 1 k k k (5.11) Значит 1 ϕ = ϕ ; (5.12) θ = ϕ sin sin 2 1 k k (5.13) Равенство (5.12) представляет собой первый закон Снеллиуса (Снелля) – угол отражения равен углу падения. Из соотношения (5.13) определяем угол преломления ϕ = θ sin sin 2 1 k k (5.14) Равенство (5.14) выражает второй закон Снеллиуса. Поскольку коэффициенты фазы в обеих средах вычисляются по одной и той же формуле вида a a k µ ε ω = соотношение (5.14) можно записать так, что в него войдут лишь параметры сред, а рабочая частота будет исключена. Закону (5.14) можно придать вид 1 2 sin sin ф ф V V = ϕ θ , (5.15) где – фазовые скорости плоской однородной волны для обеих сред. 2 1 , ф ф V V Отметим, что законы Снеллиуса (5.12), (5.14) справедливы при любой ориентации векторов поля относительно плоскости 100 падения. Они определяют направления распространения отраженной и преломленной волн при наклонном падении плоской однородной волны на границу раздела различных сред. Соотношения (5.12), (5.14) остаются верными и в случае сред с потерями, когда проницаемости сред, а с ними и волновые числа и в (5.14) становятся комплексными величинами и при вещественном угле падения 1 k 2 k ϕ величина угла преломления будет комплексной. Комплексным значениям угла преломления отвечает определенное физическое содержание (см., в частности, раздел 5.4). θ Теперь требуется ответить на вопрос, каковы будут комплексные амплитуды векторов поля отраженной и прошедшей волн при заданной падающей волне, которая может нести любой поток энергии. Вернемся к граничным условиям (5.8), (5.9). На границе раздела касательные составляющие векторов трех волн представляют собой у-е составляющие (рис. 5.2.), а касательные составляющие векторов → E → H – z-е составляющие. Берем эти составляющие из выражений полей трех волн (5.2) (5.7), подставляем в них x = 0 (это граница раздела) и учитываем равенство (5.11). При этом граничное условие (5.8) примет вид ÷ пр отр пад E E E • • • = + (5.16) а граничное условие (5.9): θ = ϕ − ϕ • • • cos cos cos 2 1 1 C пр C отр C пад Z E Z E Z E (5.17) Введем коэффициент отражения как отношение комплексных амплитуд напряженности электрического поля отраженной и падающей волн на границе раздела пад отр E E R • • ⊥ • = (5.18) Аналогично определяется коэффициент прохождения (преломления) 101 пад пр E E T • • ⊥ • = (5.19) Коэффициенты и называют еще коэффициентами Френеля. Символ означает, что рассматриваются нормально (перпендикулярно) поляризованные волны. Поделив обе части уравнений (5.16), (5.17) на первое слагаемое каждого уравнения, получаем систему двух алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов , ⊥ • R ⊥ • T ⊥ ⊥ • R ⊥ • T ⊥ • ⊥ • = + T R 1 ; ⊥ • ⊥ • ϕ θ = − T Z Z R C C cos cos 1 2 1 (5.20) Решая эту систему, находим значения коэффициентов отражения и прохождения для случая нормальной поляризации θ + ϕ θ − ϕ = ⊥ • cos cos cos cos 1 2 1 2 C C C C Z Z Z Z R ; (5.21) θ + ϕ ϕ = + = ⊥ • ⊥ • cos cos cos 2 1 1 2 2 C C C Z Z Z R T . (5.22) Формулы (5.21), (5.22) справедливы и в том случае, если одна из сред (или обе среды) обладают проводимостью. При этом комплексными будут волновые числа при определении угла преломления θ и характеристические сопротивления сред в формулах (5.21), (5.22). Как видно из формулы (5.18) модуль коэффициента отражения (5.21) представляет собой отношение амплитуд напряженностей электрических полей отраженной и падающей волн на границе раздела, а фаза (5.21) равна разности фаз этих напряженностей. Аналогично трактуются модуль и фаза коэффициента прохождения, в этом случае нужно вместо отраженной волны рассматривать преломленную волну. Чтобы пользоваться формулами (5.21), (5.22) необходимо, задавшись конкретным значением угла падения ϕ , предварительно вычислить угол преломления θ на основании закона Снеллиуса (5.14). На практике часто приходиться вычислять коэффициенты отражения и преломления плоских волн для случая, когда первой 102 средой служит воздух ( 1 , 1 = µ = ε ), а второй средой – немагнитный ( 1 = µ ) диэлектрик без потерь с относительной диэлектрической проницаемостью ε . При этом формулы (5.21), (5.22) удается объединить с законом Снеллиуса (5.14), записав их в виде ϕ − ε + ϕ ϕ − ε − ϕ = ⊥ • 2 2 sin cos sin cos R (5.23) ϕ − ε + ϕ ϕ = ⊥ • 2 sin cos cos 2 T (5.24) Далее будет проведен подробный анализ выведенных формул законов Снеллиуса и коэффициентов отражения и прохождения. 5.3. Падение параллельно поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред Плоская однородная волна, падающая на границу раздела, является параллельно поляризованной. В этом случае векторы напряженности электрического поля • → E падающей, отраженной и преломленной волн лежат в плоскости падения xoz, а векторы напряженности магнитного поля • → H этих трех волн перпендикулярны плоскости падения (рис. 5.3) Рис. 5.3. Ориентация векторов поля. 103 Геометрия этой задачи (рис. 5.3.) совпадает с геометрией задачи падения плоской нормально поляризованной волны (рис. 5.2), если в последней заменить • → E на • → H , а • → H заменить на минус . Учитывая смену ориентации векторов поля по аналогии с формулами (5.2) ÷ (5.7), можно записать поля падающей, отраженной и преломленной волн. Направления распространения этих волн остаются прежними и подчинены тем же законам Снеллиуса (5.12), (5.14). Комплексные амплитуды векторов поля отраженной и преломленной волн определяются из граничных условий (5.8), (5.9), запись которых в данной задаче будет отличаться от случая нормальной поляризации. Касательными к границе раздела составляющими векторов • → E → E трех волн будут теперь z-е составляющие, а касательными векторов → H – у-е составляющие. Граничные условия (5.8), (5.9) принимают вид θ = ϕ − ϕ • • • cos cos cos пр отр пад E E E ; (5.25) 2 1 1 C пр C отр C пад Z E Z E Z E • • • = + (5.26) Введем коэффициенты отражения и преломления как отношение комплексных амплитуд напряженности электрического поля отраженной и прошедшей волн к комплексной амплитуде напряженности электрического поля падающей волны на границе раздела сред пад отр E E R • • • = || , пад пр E E T • • = || (5.27) Нижний значок указывает, что эти коэффициенты Френеля относятся к случаю параллельной поляризации волн. Разделив обе части равенств (5.25), (5.26) на первое слагаемое каждого уравнения, получим следующую систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов и || • R || • T 104 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + ϕ θ = − • • • • 2 1 || || || || 1 cos cos 1 C C Z Z T R T R (5.28) Решая систему (5.28), находим значения коэффициентов отражения и преломления для параллельно поляризованных волн θ + ϕ θ − ϕ = • cos cos cos cos 2 1 2 1 || C C C C Z Z Z Z R ; (5.29) θ + ϕ ϕ = • cos cos cos 2 2 1 2 || C C C Z Z Z T ; (5.30) Если первой средой является воздух ( 1 , 1 = µ = ε ), а второй средой – немагнитный 1 ( = µ ) диэлектрик без потерь с относительной диэлектрической проницаемостью , то формулы (5.29), (5.30) приводятся к виду более удобному для расчетов ε ϕ − ε + ϕ ε ϕ − ε − ϕ ε = • 2 2 || sin cos sin cos R (5.31) ϕ − ε + ϕ ε ϕ ε = • 2 || sin cos cos 2 T (5.32) Как видно, коэффициенты Френеля и существенно отличаются от коэффициентов и , то есть отражение волны от границы раздела и прохождение во вторую среду зависят от вида поляризации волны. || • R || • T ⊥ • R ⊥ • T Пусть на поверхность раздела сред падает волна, имеющая произвольную линейную поляризацию. Вектор разложим на сумму двух синфазных векторов, один из которых параллелен, а другой перпендикулярен плоскости падения. В общем случае модули пад E → || • ⊥ • ≠ R R и фазы ⊥ Φ и || Φ коэффициентов отражения неодинаковы. Следовательно, в отраженных нормально и 105 параллельно поляризованных волнах соотношения амплитуд и фаз будут отличаться от соотношений амплитуд и фаз в нормально и параллельно поляризованных падающих волнах. Поэтому результирующее отраженное поле имеет эллиптическую поляризацию. Суммарное прошедшее поле также будет эллиптически поляризовано. При падающей волне круговой или эллиптической поляризации в отраженной и преломленной волнах изменяются параметры поляризационного эллипса. Отметим, что формулы (5.29), (5.30) справедливы и в том случае, если одна из сред (или обе среды) обладают проводимостью. При этом диэлектрические проницаемости сред будут комплексными величинами, соответственно комплексными будут волновые числа в (5.14) и характеристические сопротивления сред в формулах (5.29), (5.30). |