Электромагнитные волны
 Скачать 1.59 Mb.
|
|
5.4. Полное прохождение волны во вторую среду При определенных условиях падающая волна без отражения полностью переходит во вторую среду, мощность падающей волны полностью переходит в мощность преломленной волны. Условия, при которых отсутствует отраженная волна, могут быть установлены путем решения уравнений = 0 и = 0 относительно угла падения ⊥ R || R ϕ . В частном случае, когда обе среды являются немагнитными диэлектриками без тепловых потерь, угол падения, обеспечивающий полное прохождение волны во вторую среду, легко находится из физических соображений. Пусть параллельно поляризованная волна падает на плоскую границу двух немагнитных диэлектриков ( 0 2 1 2 1 , µ = µ = µ ε ≠ ε a a a a ). Под воздействием поля преломленной волны вторая среда поляризуется – дипольные моменты молекул второй среды ориентируются параллельно вектору напряженности электрического поля преломленной волны (рис. 5.4.) 106 падающая волна отраженная волна преломленная волна ? ? z x y ? θ φ φ Рис. 5.4. К явлению полного прохождения Упорядоченно ориентированные молекулярные диполи второй среды излучают электромагнитные волны, суперпозиция которых и образует в первой среде плоскую отраженную волну. Молекулярный диполь (его можно считать элементарным электрическим вибратором) не излучает вдоль своей оси. Следовательно, отраженная волна не сможет возникнуть, если оси диполей будут параллельны направлению, в котором должна распространяться отраженная волна. Указанная ориентация молекулярных диполей имеет место при выполнении условия 2 π = θ + ϕ , из которого следует, что тогда , sin sin sin cos 2 1 2 1 ϕ ε ε = ϕ = θ = ϕ k k 1 2 tg ε ε = ϕ . (5.33) Таким образом, плоская параллельно поляризованная волна целиком проходит во вторую среду при угле падения, называемым углом Брюстера 1 2 arctg ε ε = ϕ Б (5.34) В случае нормальной поляризации молекулярные диполи ориентируются перпендикулярно плоскости падения, т.е. перпендикулярно направлению распространения отраженной волны. Перпендикулярно своей оси молекулярный диполь излучает одинаково во всех направлениях и возникает отраженная волна. В данном случае угла Брюстера не существует: от границы двух 107 немагнитных диэлектриков нормально поляризованная волна отражается при любом угле падения. В более общем случае, когда и коэффициент отражения , если 2 1 a a ε ≠ ε 2 1 a a µ ≠ µ 0 || = R 1 2 2 1 1 2 1 2 2 sin ε ε − ε ε ε ε − µ µ = ϕ Б (5.35) и коэффициент = 0, если ⊥ R 1 2 2 1 1 2 1 2 2 sin µ µ − µ µ µ µ − ε ε = ϕ Б (5.36) Для существования угла Брюстера при нормальной поляризации необходимо, чтобы 2 1 µ ≠ µ . Явление полного прохождения может быть использовано в технике создания неотражающих поверхностей Графики модулей и фаз коэффициентов отражения и прохождения при нормальной (перпендикулярной) и параллельной поляризациях, рассчитанные по формулам (5.21), (5.22), (5.29), (5.30) в диапазоне углов падения ° ≤ ϕ ≤ 90 0 для немагнитных сред приведены на рис. 5.5 108 Рис. 5.5. Зависимость коэффициентов отражения и преломления от угла падения 109 Первой средой служит воздух с параметрами 1 1 = ε и , второй средой является лед с параметрами и на частоте f=10 ГГц. Кривые 0 tg 1 = δ 5 2 2 = ε 4 2 10 6 3 tg − ⋅ = δ ⊥ • R имеют монотонный характер. При параллельной поляризации и угле падения равном углу Брюстера получаем || • R = 0. Следует отметить, что с ростом проводимости второй среды (или обеих сред) явление полного преломления в чистом виде не наблюдается, при угле Брюстера модуль || • R не равен нулю, а лишь имеет минимальное значение. Фаза коэффициентов отражения равна 180 ⊥ Φ 0 , фаза при угле Брюстера резко изменяет свое значение на 180 || Φ 0 . Характер изменения модулей коэффициентов прохождения ⊥ • T и || • T практически один и тот же. И всегда мощность падающей волны равна сумме мощностей отраженной и прошедшей волн. Плоские волны круговой и эллиптической поляризаций можно представить в виде суммы параллельно и нормально поляризованных волн. Так как условия существования угла Брюстера для параллельной и нормальной поляризации различны, то волны с круговой и эллиптической поляризацией будут отражаться при любых углах падения. Однако при этом изменится поляризация отраженной и преломленной волн по сравнению с поляризацией падающей волны. В частности, если плоская волна с круговой поляризацией попадет под углом Брюстера на границу двух немагнитных диэлектриков, то отраженная волна оказывается нормально поляризованной, а преломленная - эллиптически поляризованной. 5.5. Полное отражение от границы раздела двух сред Определим условия, при которых плоская электромагнитная волна в случае наклонного падения на границу раздела двух 110 идеальных диэлектриков полностью отражается. Обратимся вновь ко второму закону Снеллиуса. ϕ = ϕ µ ε µ ε = ϕ = θ sin sin sin sin 2 1 2 2 1 1 2 1 n n k k (5.37) Здесь введена безразмерная величина εµ = n , называемая показателем преломления среды. Считаем, что (например, граница диэлектрик – воздух), при этом говорят, что вторая среда оптически менее плотная, чем первая ( 2 1 k k > 1 2 n n < ). В данном случае угол преломления больше угла падения θ ϕ , и поэтому найдется такое значение угла падения, при котором преломленная волна распространяется параллельно границе раздела под углом ° = θ 90 Данное значение угла падения называется критическим. Полагая в (5.37) угол , получаем ° = θ 90 1 2 sin k k кр = ϕ (5.38) Для немагнитных диэлектриков ( 1 2 1 = µ = µ ) 1 2 sin ε ε = ϕ кр (5.39) Подставляя значение в формулы коэффициентов отражения (5.21), (5.29), получаем ° = θ 90 и 1 = ⊥ • R 1 || = • R (5.39) Наблюдается явление полного отражения, мощность падающей волны полностью отражается внутрь первой среды с большей оптической плотностью. При углах падения больше критического из (5.37) следует, что величина должна быть больше единицы. Этого не может быть при вещественных значениях угла θ sin θ , а возможно лишь при комплексных значениях этого угла. Будем считать, что при угол преломления кр ϕ > ϕ θ , достигший уже значения 2 π при , получает мнимое приращение, так что кр ϕ = ϕ α = α π + α π = α + π = θ • ch sh 2 cos ch 2 sin ) 2 sin( sin j j , 111 α − = α π − α π = α + π = θ • sh sh 2 sin ch 2 cos ) 2 cos( cos j j j , (5.40) где 2 ch , 2 sh α − α α − α + = α − = α e e e e – гиперболические синус и косинус. С другой стороны по второму закону Снеллиуса ϕ ε ε = θ • sin sin 2 1 ,. 1 sin cos 2 2 1 − ϕ ε ε − = θ • j (5.41) Запись поля преломленной волны при использовании выражений (5.40) является компактной. Вычисление гиперболических синуса и косинуса следует проводить через исходные данные , , , 2 1 ϕ ε ε сравнивая (5.40), (5.41) 1 sin sh , sin ch 2 2 1 2 1 − ϕ ε ε = α ϕ ε ε = α Итак, понятия комплексного угла преломления позволяет удовлетворить закон преломления Снеллиуса в области углов падения, превышающих критический угол падения. Так как > 1, то оказывается чисто мнимой величиной. При этом коэффициенты отражения, определяемые формулами (5.21), (5.29), принимают вид выражений ( • θ sin • θ cos jb a + )/( jb a − ), где a и b действительные числа. Следовательно, по абсолютной величине коэффициенты отражения остаются равными единице и могут быть представлены в форме ⊥ Φ ⊥ • = j e R , (5.41а) || || Φ • = j e R Это означает, в частности, что средняя плотность потока мощности одинакова в падающей и отраженной волнах, полное отражение падающей волны сохраняется. Согласно граничным условиям тангенциальные составляющие векторов поля равны в обеих средах, поэтому при полном отражении поле существует и во второй среде в виде преломленной волны при угле падения кр ϕ > ϕ В случае нормальной поляризации поле преломленной волны определяется формулами (5.4), (5.5) при условии (5.40) 112 α − α − • ⊥ • • = ch sh 2 2 2 z jk x k пад y e e E T E ; 0 2 2 = = • • y x E E ; α − = • • ch 2 2 2 C y x Z E H ; α − = • • sh 2 2 2 C y z Z E j H ; 0 2 = • y H (5.42) Формулы для поля параллельно поляризованной волны записываются аналогично. Очевидно, что в случае параллельной поляризации вектор будет иметь две составляющие 2 • → E x E 2 • и , а вектор - только составляющую z E 2 • 2 • → H y H 2 • Перейдем к анализу волны (5.42). Эта волна распространяется вдоль координаты z, то есть вдоль границы, ее амплитуда убывает по экспоненциальному закону вдоль координаты x, то есть в плоскости фронта. Такие волны называются плоскими неоднородными волнами. У этой волны имеется продольная составляющая ( в случае параллельной поляризации), которая сдвинута по фазе относительно поперечных составляющих на z H 2 • z E 2 • 2 π . Комплексный вектор Пойнтинга волны (5.42) имеет вещественную продольную и чисто мнимую поперечную составляющие. Это означает, что во второй среде энергия в среднем за период распространяется только в направлении оси z, то есть вдоль границы. В направлении перпендикулярном границе раздела, существует только реактивный поток энергии. Амплитуды векторов поля экспоненциально убывают с удалением от поверхности раздела. Таким образом, при кр ϕ > ϕ волна во второй среде практически существует лишь в поверхностном слое и распространяется вдоль границы раздела. Такая волна называется поверхностной. Перейдем к анализу свойств волны в первой среде, представляющую собой сумму падающей и отраженной волн. Рассмотрим случай нормальной поляризации. Сложим поля (5.2) и (5.4), (5.3) и (5.5) и учтем, что при кр ϕ > ϕ коэффициент отражения имеет вид (5.41а). Положим в (5.4), (5.5) ϕ = ϕ 1 , 113 вынесем за скобки ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ ⊥ 2 exp j и, используя формулу Эйлера, получаем полное поле в первой среде ϕ − ⊥ Φ ⊥ Φ + ϕ = • • sin 1 2 / ) 2 cos cos( 2 1 1 z jk j e e x k E E пад y , ϕ − = • • sin 1 1 1 C y x Z E H , ) 2 / cos ( cos 1 1 1 1 ⊥ • • Φ + ϕ ⋅ ϕ − = x k tg Z E j H C y z (5.43) Аналогично записывается поле в первой среде в случае параллельно поляризованных волн, при этом вектор будет иметь две составляющие и 1 • → E x E 1 • z E 1 • , а вектор только составляющую 1 • → H y H 1 • Из полученных формул следует, что в первой среде плоская волна (5.43) распространяется вдоль поверхности раздела (вдоль оси z), ее направление распространения определяется (направляется) границей раздела, такая волна получила название направляемой волны. Амплитуды векторов → E и → H направляемой волны зависят от координаты x и угла падения ϕ , изменяясь по тригонометрическим функциям в плоскости фронта. Направляемая волна является неоднородной плоской волной. В отличие от плоской волны, распространяющейся в неограниченной однородной среде и всегда являющейся поперечной, в направляемой плоской волне имеются продольные составляющие векторов поля. В случае нормальной поляризации (5.43) вектор имеет как поперечную , так и продольную составляющие, а вектор целиком лежит в поперечной плоскости. В случае параллельной поляризации, наоборот, вектор имеет и продольную , и поперечную 1 • → H x H 1 • z H 1 • 1 • → E 1 • → E z E 1 • x E 1 • составляющие, а вектор 1 • → H 114 целиком лежит в поперечной плоскости. Поперечные составляющие векторов • → E и • → H в направляемой волне изменяются синфазно. Продольные составляющие векторов поля сдвинуты по фазе относительно поперечных составляющих на 2 π . Комплексный вектор Пойнтинга направляемой волны (5.43) имеет вещественную продольную и чисто мнимую поперечную составляющие. Следовательно, в первой среде так же, как и во второй среде, энергия распространяется только в направлении оси z, то есть вдоль поверхности раздела. В направлении перпендикулярном поверхности раздела, существует реактивный поток энергии. Полученные выше выражения и выводы для направляемых волн позволяют рассмотреть случай, когда первая среда – диэлектрик, а вторая среда – идеальный проводник. Как уже отмечалось, характеристическое сопротивление для идеального проводника равно нулю. Подставляя 0 2 = C Z в формулы Френеля (5.21), (5.22), (5.29) и (5.30), получим при любых углах падения 1 − = ⊥ R и π = Φ ⊥ , 0 = ⊥ T , 1 || = R и 0 || = Φ , 0 || = T (5.44) Равенство нулю коэффициентов прохождения очевидно, т.к. переменное электромагнитное поле в идеально проводящей среде не существует. Полное отражение от поверхности идеального проводника имеет место при любых углах падения. При наклонном падении поле в первой среде представляет собой направляемую волну. Для случая нормальной поляризации поле направляемой волны определяется выражением (5.43) при π = Φ ⊥ Поверхностные и направляемые волны переносят энергию в линиях передачи. 5.6. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на границу раздела сред Решение задачи о падении плоской однородной электромагнитной волны на границу раздела двух разных сред необходимо дополнить практически важным случаем нормального падения. При нормальном падении плоской волны на границу раздела теряет определенность понятие плоскости падения, и, 115 следовательно, исчезает различие между нормально поляризованными и параллельно поляризованными волнами. Так как углы падения и преломления равны нулю, то коэффициенты отражения и преломления (5.21, 5.22, 5.29, 5.30) при нормальном падении принимают вид 1 2 1 2 || C C C C Z Z Z Z R R R + − = − = = • • ⊥ • , (5.45) 1 2 2 || 2 C C C Z Z Z T T T + = − = = • • ⊥ • , (5.46) где – характеристические сопротивления первой и второй сред. 2 1 , C C Z Z Коэффициенты отражения и прохождения полностью определяются характеристическими сопротивлениями граничащих сред. Важный частный случай – нормальное падение волны из воздуха на немагнитный диэлектрик ( 0 ,1 ,1 = σ = µ = ε ) ( ) 0 , 1 , = σ = µ ε Формулы (5.45), (5.46) упрощаются и принимают вид ε + ε − = • 1 1 R ; ε + = • 1 2 T Следует обратить внимание на то, что при 1 > ε коэффициент отражения 0 < R . Это означает, что на границе раздела комплексная амплитуда вектора отраженной волны сдвинута по фазе на 180 → E 0 относительно комплексной амплитуды вектора → E падающей волны. Теперь выразим полные поля в обеих средах. По прежнему считаем, что обе среды не обладают проводимостью и характеризуются параметрами 1 1 , a a µ ε и 2 2 , a a µ ε . Падающая волна распространяется вдоль оси z, то есть по нормали к границе раздела. Отраженная и прошедшая волны также распространяются перпендикулярно к границе раздела. Векторы поля → E и → H трех волн ориентированы в пространстве так, как это показано на рис. 5.6. 116 Рис. 5.6. Нормальное падение волн на границу раздела Полное поле во второй среде представляет собой поле преломленной волны, комплексные амплитуды векторов и → E → H которой имеют вид z jk e Z E T y H e E T x E C пад z jk пад 2 2 2 0 2 0 2 , − • • • • → → − • • → → = = . (5.47) Это плоская однородная волна, обладающая свойствами плоских волн, распространяющихся в неограниченной однородной среде. Займемся анализом полного поля в первой среде. Это поле представляет собой интерференцию падающей и отраженной волн. Интерференцией называется сложение в пространстве двух или нескольких волн, при котором в разных точках пространства получается усиление или ослабление амплитуды результирующей волны. Комплексные амплитуды векторов поля результирующей волны имеют вид ; (5.48) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = • − • → • • → − • → → • z jk z jk пад z jk пад z jk пад e R e E x e E R x e E x E 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 117 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − = • − • → • • → − • → → • z jk z jk C пад z jk C пад z jk C пад e R e Z E y e Z E R y e Z E y H 1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 0 1 1 . (5.49) В записи (5.48), (5.49) учтено, что вектор Пойнтинга отраженной волны направлен в сторону уменьшения координаты z. Модули круглых скобок будут определять периодические изменения амплитуд электрического и магнитного полей (5.48), (5.49) вдоль координаты z в первой среде. В зависимости от величины коэффициента отражения различают три режима распространения волны в первой среде. 1. Режим с частичным отражением. Учтем, что при коэффициент отражения (5.45) величина положительная, при 1 2 C C Z Z > 1 2 C C Z Z < – величина отрицательная. На границе раздела 0 = z амплитуда электрического поля (5.48) имеет максимальное значение ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = • R E E пад m 1 при (при этом амплитуда магнитного поля имеет минимальное значение за счет знака минус в круглой скобке) или минимальное значение 1 2 C C Z Z > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = • R E E пад m 1 при 1 2 C C Z Z < . При смещении по координате z влево от границы на 2 / 1 λ экспонента в круглых скобках равна единице и значения амплитуд будут такими же, что и на границе раздела. Таким образом, период пространственного распределения амплитуд электрического (5.48) и магнитного (5.49) полей равен половине длины волны в первой среде. Это расстояние между соседними максимумами либо минимумами амплитуд в результирующей волне (5.48), (5.49). Напряженности поля принимают максимальные значения, которые в ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + • R 1 раз выше, и минимальные, которые в ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − • R 1 раз ниже, чем в падающей волне. Распределение амплитуды х-ой составляющей электрического поля (5.48) результирующей волны в первой среде в случае показано на рис. 5.7 2 1 C C Z Z > 118 Рис. 5.7. Распределение амплитуды электрического поля при нормальном падении Аналогичное распределение имеет у-я составляющая магнитного поля (5.49) с тем лишь отличием, что периодическое изменение амплитуды начинается с максимального значения на границе раздела (случай ). Распределение амплитуды поля результирующей волны вдоль координаты распространения принято характеризовать коэффициентом бегущей волны (КБВ). КБВ – это отношение наименьшей амплитуды поля к наибольшей вдоль направления распространения 2 1 C C Z Z > • • • • + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = R R R E R E КБВ пад пад 1 1 1 1 (5.50) Величина, обратная КБВ, называется коэффициентом стоячей волны (КСВ) • • − + = R R КСВ 1 1 (5.51) Коэффициент бегущей волны изменяется в интервале от нуля до единицы, коэффициент стоячей волны изменяется от единицы 119 до бесконечности. Вследствие того, что шкала значений КСВ является «растянутой», КСВ чаще применяется при оценке параметров реальных технических устройств. Режим с частичным отражением называют еще смешанным режимом в отличие от других следующих режимов бегущих и стоячих волн. 2. Режим бегущих волн. На границе раздела отсутствует отражение, волна полностью переходит во вторую среду. В первой среде поле представлено бегущей плоской однородной волной, ее амплитуда постоянна вдоль направления распространения и КБВ = 1. Нулевой коэффициент отражения достигается включением между средами дополнительного слоя диэлектрика. Его параметры рассчитываются так, что волны отраженные от обеих границ слоя компенсируют друг друга и в первой среде отражение отсутствует (рис. 5.8). Рис. 5.8. Обеспечение режима бегущей волны с помощью четвертьволнового трансформатора Сдвиг фаз в между этими отраженными волнами обеспечивается толщиной согласующего слоя в четверть длины волны, а равенство амплитуд достигается выбором характеристического сопротивления. Такой дополнительный слой материала называется четвертьволновым согласующим трансформатором. Его параметрами являются характеристическое сопротивление и толщина o 180 тр Z mp l 2 1 C C тр Z Z Z = , 4 mp mp λ = l (5.52) 3. Режим стоячих волн. Примем, что вторая среда, на границу которой нормально падает плоская однородная волна, является идеальным 120 проводником. Характеристическое сопротивление идеального проводника . Из выражений (5.45), (5.46) следует, что 0 2 = C Z 0 , 1 = − = T R , (5.53) то есть происходит полное отражение. При подстановке 1 − = R в (5.48), (5.49) получаем полное поле в среде над идеальным проводником ( ) ( ) ( t z k E x E z k E x j E пад пад ω = − = → → → → • sin sin 2 sin 2 1 0 1 1 0 1 ) . (5.54) ( ) ( ) ( t z k Z E y H z k Z E y H C пад C пад ω = = → → → → • cos cos 2 cos 2 1 1 0 1 1 1 0 1 ) . (5.55) В каждый момент времени мы имеем неподвижную, так называемую стоячую волну. Чисто стоячая волна образуется при наложении двух распространяющихся в противоположных направлениях волн с одинаковыми амплитудами. Отметим свойства стоячей волны. а) Фазы векторов поля и → E → H изменяются лишь во времени, причем → E и → H сдвинуты по фазе на 90 0 . Это означает, что среднее за период значение вектора Пойнтинга равно нулю, и стоячая волна не переносит энергии. б) Пространственные распределения амплитуд векторов → E и → H сдвинуты на четверть длины волны. На поверхности идеального проводника 0 = z амплитуда х-ой составляющей электрического поля (5.54) равна нулю, а амплитуда у-ой составляющей магнитного поля (5.55) удваивается. Распределение амплитуд поля стоячей волны (5.54), (5.55) ( ) ( z k Z E H z k E E C пад m пад m 1 1 1 cos 2 , sin 2 = = ) , (5.56) показано на рис. 5.9. 121 Рис. 5.9. Стоячая волна при полном отражении Таким образом, на поверхности идеального проводника ( 0 ) = z напряженность электрического поля равна нулю, а напряженность суммарного магнитного поля в два раза превышает напряженность магнитного поля падающей электромагнитной волны → → → → → → → = + = = + = пад отр пад отр пад H H H H E E E 2 ; 0 1 1 . (5.57) Векторы поля при нормальном падении плоской волны на поверхность идеального проводника показаны на рис. 5.10. пад П → отр П → пад E → пад H → отр H → Σ → H э пов J → отр → E Рис. 5.10. Поля и токи на границе идеального проводника 122 Очевидно, что выполняются полученные ранее граничные условия: тангенциальная составляющая вектора → E равна нулю и на границе ( ( ) 0 1 = τ E 0 = z ) наведен электрический ток с поверхностной плотностью 1 0 0 2 ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 , C пад пад пад o э пов Z E x H x H z J → → → → → = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = (5.58) Поле, близкое к стоячей волне, возникает при почти полном отражении от границы сред с резко отличающимися сопротивлениями или 2 1 C C Z Z >> 2 1 C C Z Z << |