Электромагнитные волны
 Скачать 1.59 Mb.
|
|
5.7. Приближенные граничные условия Леонтовича. Мощность потерь в проводниках Плоская волна падает под углом ϕ на плоскую границу раздела двух сред, причем вторая среда оптически более плотная, чем первая, то есть ( ). Из второго закона Снеллиуса 1 2 k k >> 1 2 n n >> ϕ = θ sin sin 2 1 k k следует, что угол преломления θ близок к нулю и во второй среде волна распространяется по нормали к границе раздела при любом угле падения. Практически важным является случай, когда вторая среда обладает большой проводимостью или высокой диэлектрической проницаемостью и является намного плотнее первой 1 2 k k >> • (5.59) Частным случаем таких сред являются хорошо проводящие металлы, а так же водная среда на низких частотах. У металлов 2 2 2 σ µ ω = • a k , и так как удельная проводимость велика, то условие (5.59) практически всегда выполняется. Можно показать, что и в случае (5.59) преломленная волна в хорошо проводящей 2 σ 123 среде распространяется практически вдоль нормали к поверхности раздела при любом угле падения. Эта волна является поперечной, причем векторы → E и → H в ней сдвинуты по фазе на 4 / π Амплитуды векторов поля → E и → H преломленной волны в металле быстро убывают с удалением от границы раздела и на высоких частотах волна фактически существует лишь в тонком слое вблизи поверхности раздела. Это явление называется поверхностным эффектом или скин-эффектом (skin – кожа). Явление поверхностного эффекта позволяет использовать на высоких частотах металлические экраны для защиты различных устройств от влияния на них внешнего электромагнитного поля. Следует отметить, что в случае постоянных и низкочастотных полей металлический экран не пропускает электрическое поле, но пропускает магнитное, если экран выполнен из парамагнитного или диамагнитного металла. Вернемся к волне во второй хорошо проводящей среде (металле). Эту волну можно считать плоской однородной, для которой должно выполняться соотношение ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = • • → → • → 2 2 2 , H n Z E C , (5.60) где – единичная нормаль, внешняя ко второй среде. → n Так как предполагается, что волна во второй среде распространяется перпендикулярно границе раздела, то векторы и будут параллельны (касательны) границе • → 2 E • → 2 H • • → τ → = 2 2 E E и (5.61) • • → τ → = ' 2 2 H H Разные индексы и τ ' τ у векторов и подчеркивают, что касательные составляющие векторов поля на плоскости раздела перпендикулярны по направлению. Согласно точным граничным • → 2 E • → 2 H 124 условиям касательные составляющие векторов • → E и • → H непрерывны на границе раздела • • → τ → τ = 2 1 E E и (5.62) • • → τ → τ = ' 2 ' 1 H H С учетом равенств (5.61), (5.62) соотношение (5.60) принимает вид ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = • • → τ → • → τ ' 1 2 1 , H n Z E C (5.63) Если ввести на поверхности проводника декартову систему координат, то (5.63) можно переписать в скалярном виде • • • • • • − = = x C y y C x H Z E H Z E 2 2 , (5.64) Соотношения (5.63), (5.64) называют приближенными граничными условиями Леонтовича. Из (5.63) следует, что на поверхности реального проводника касательная составляющая электрического поля отлична от нуля. В предельном случае граничное условие Леонтовича совпадает с точным граничным условием ∞ → σ 2 0 1 = τ E на поверхности идеального проводника. Так как характеристическое сопротивление в случае хорошо проводящей среды (металла) мало, то и касательная составляющая вектора → E на поверхности такой среды будет мала. В инженерных расчетах ее обычно не учитывают, то есть считают, что структура поля над реальным проводником такая же, как и над идеальным проводником. Но учет касательной составляющей электрического поля на поверхности реального проводника (5.63) необходим при расчете потерь в проводниках. Эта касательная составляющая определяет нормальную к поверхности, направленную вглубь проводника компоненту вектора Пойнтинга, то есть уходящий в металл поток энергии. τ → 1 E Условие (5.63) было получено для плоской границы раздела. При произвольной форме поверхности раздела этим условием можно пользоваться в тех случаях, если радиус кривизны поверхности значительно превышает глубину проникновения поля 125 в проводящую среду, которая, в свою очередь, должна быть малой по сравнению с длиной волны. Граничные условия Леонтовича позволяют не рассматривать электромагнитное поле в хорошо проводящей среде (металле) и учитывать влияние этой среды на поле вне ее лишь через граничные условия на поверхности. В сопротивлении заложена информация о параметрах проводника и поведении электромагнитного поля внутри него. • 2 C Z Вычислим потери энергии в проводнике. Пусть металлический объект(проводник), размеры и минимальный радиус кривизны поверхности S которого велики по сравнению с глубиной проникновения, находится в монохроматическом электромагнитном поле. Под воздействием этого поля в металле наводятся токи проводимости, на поддержание которых расходуется электромагнитная энергия. Вычислим соответствующую этому процессу среднюю за период мощность тепловых потерь, определяемую как поток среднего значения вектора Пойнтинга через поверхность S проводника ∫ → → • Π = S dS P ср пот Re (5.65) Для вычисления мощности (5.65) нет необходимости определять поле внутри объекта (проводника), достаточно вычислить составляющую комплексного вектора Пойнтинга, направленную внутрь проводника. Нормальная составляющая вектора Пойнтинга определяется касательными составляющими векторов поля на поверхности проводника ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Π → τ → τ → • • * ' 1 1 , 2 1 H E n . (5.66) Используя граничное условие Леонтовича (5.63), получаем 2 ' 1 2 ' 1 ' 1 2 2 1 , , 2 1 * • • • → τ • → → τ → τ → • → − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Π H Z n H H n Z C c n . (5.68) 126 Подставляем (5.68) в (5.65) и учтем, что поток энергии направлен внутрь проводника, а – единичная нормаль внешняя к поверхности проводника → n ∫ • → τ • = S C ср пот dS H Z P 2 ' 1 2 2 1 Re (5.69) Характеристическое сопротивление реального проводника определено ранее ( ) ( ) j j Z a C + ∆ σ = + σ ωµ = 1 1 1 2 2 2 & , где 2 2 1 σ µ π = ∆ a f – глубина проникновения поля в проводник. Таким образом, средняя за период мощность тепловых потерь в проводнике равна ∫ • → τ ∆ σ = S dS H P ср пот 2 ' 1 2 2 1 (5.70) Как уже отмечалось, структура поля у поверхности реального проводника близка к структуре поля у такой же поверхности идеального проводника. Поэтому при вычислении мощности потерь амплитуда касательной составляющей магнитного поля берется равной амплитуде касательной составляющей магнитного поля на поверхности идеального проводника. В случае нормального падения амплитуда берется из (5.57) 1 1 2 2 C пад пад Z Е H H = = τ . (5.71) Это предположение существенно упрощает расчеты, обеспечивая достаточную для практики точность результатов. В заключении следует отметить, что рассмотренные выше явления, имеющие место при падении плоской однородной волны на границу раздела двух сред, имеют широкую область приложения. Во-первых, представленные законы отражения и преломления используются и в случаях, когда электромагнитные волны и поверхности раздела не являются плоскими. Правильные результаты будут получены, если радиусы кривизны как 127 поверхности раздела, так и поверхности фронта волны значительно больше глубины проникновения. Во-вторых, законы могут быть применены и для расчета прохождения волн через пластинки и более сложные слоистые среды. В-третьих, эти же законы применимы и к линиям передачи. 128 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Петров Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн / Б.М. Петров. М.: Горячая линия-Телеком, 2003. 558с. 2. Вольман В.И. Техническая электродинамика/ В.И. Вольман, Ю.В. Пименов, А.В. Муравцев. М.: Связь, 2000. 480с. 3. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн/С.И. Баскаков. М.: Высшая школа, 1992. 416с. 4. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны/ Л.А. Вайнштейн. М.: Радио и связь, 1988. 581с. 129 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие…………………………………………………………....3 Глава 1. Общие сведения о волновых процессах……………………4 1.1 . Понятие волнового процесса……………...………………...4 1.2 . Гармоническая волна и её параметры…...…………………6 Глава 2. Векторы электромагнитного поля. Параметры и классификация сред…………………………………………8 2.1. Векторы электромагнитного поля ……… …………………8 2.2. Материальные уравнения электромагнитного поля………10 2.3. Классификация сред … …………………………………...15 Глава 3. Основные уравнения электромагнитного поля…………..19 3.1. Уравнения Максвелла……………………………………....19 3.2. Система уравнений электромагнитного поля..……………25 3.3. Система уравнений монохроматического электромагнитного поля………………………………….…26 3.4. Уравнение баланса мгновенных значений мощностей в электромагнитном поле……………………………………32 3.5. Уравнение баланса мощностей в монохроматическом электромагнитном поле…...………………………………37 3.6. Скорость распространения энергии электромагнитного поля…………………………………………………………42 3.7. Граничные условия для векторов электромагнитного поля на поверхности раздела сред……………………………...44 3.7.1. Введение…………………………………………………...44 3.7.2. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электромагнитного поля………………………46 130 3.7.3. Граничные условия для касательных составляющих векторов электромагнитного поля……………………....50 3.7.4. Граничные условия на поверхности идеального проводника…………………………………………………55 Глава 4. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде………………………………………....58 4.1. Волновые уравнения……………………………………….58 4.2. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде…………...…………………………….62 4.3. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде с проводимостью, отличной от нуля…74 4.3.1. Плоские однородные волны в диэлектрических средах с малыми потерями…………………………………………82 4.3.2. Плоские однородные волны в хорошо проводящих средах…………………………………………………….83 4.4. Поляризация электромагнитных волн………….………..84 4.5. Плоские волны, распространяющиеся в произвольном направлении……………………………………………….92 Глава 5. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела сред………………………………………95 5.1. Введение …………………………………………………...95 5.2. Падение нормально поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред …...…………………………...96 5.3. Падение параллельно поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред …...………………………….103 131 5.4. Полное прохождение волны во вторую среду…………106 5.5. Полное отражение от границы раздела двух сред……..110 5.6. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на границу раздела сред……..………………………………115 5.7. Приближенные граничные условия Леонтовича. Мощность потерь в проводниках………………………..123 Библиографический список………………… ……………….……129 132 Учебное пособие Соловьянова Ираида Павловна Наймушин Михаил Павлович Теория волновых процессов Электромагнитные волны Редактор Н.В. Рощина Компьютерная верстка Сорокин А.К. ИД № 06263 от 12.11.2001 г. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага писчая Печать офсетная Уч.-изд. л. 6,5 Усл. печ. л. 7,44 Тираж Заказ Цена «С» –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, ул. Мира , 19 Ризография НИЧ УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19 133 |