курсовая работа. курсовая мухаметова. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы
 Скачать 1.53 Mb.
|
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.М.АКМУЛЛЫ» ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики и статистики Направление 44.03.05 ̶ Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки), Направленность (профиль) «Математика, профиль по выбору» Курс II МУХАМЕТОВА ЭЛЬВИРА РАМИЛЕВНА МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ КУРСОВАЯ РАБОТА Научный руководитель: к.п.н.,доцент О.Н. Заглядина № регистрации по журналу учета курсовых работ Дата защиты Оценка подпись руководителя Уфа 2018 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3 ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ……………………………………………………………5 § 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия……….……………..5 § 2. Понятие сечения………………………..…………………………………...6 § 3. Изображение призмы и построение ее сечений …………….….………..7 § 4. Изображение пирамиды и ее плоских сечений….…………....….……..….9 § 5. Методы построения сечений многогранников……………..……..………11 ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ……..…………………..14 § 1. Решение задач на построение сечений различными методами..............................................................................………….……....14 § 2. Задачи для самостоятельного решения……………………………..…....33 ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….36 ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………...……37 ВВЕДЕНИЕ Актуальность: решение задач на построение сечений многогранников формирует пространственные представления учащихся и развивает такие качества личности, как внимание, настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность, дисциплинированность, трудолюбие, конструктивное и логическое мышление, воображение, что дает возможность более тонкого и глубокого понимания картины мира. Кроме того, многократное применение аксиом и теорем в процессе построения сечений многогранников способствует их усвоению и более глубокому пониманию. Задачи на построение сечений многогранников не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна и каждая требует индивидуального подхода для решения. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска учащимися путей решения с помощью своей интуиции и подсознания. Необходимо отметить также, что такие задачи очень часто встречаются в ЕГЭ в 14 задании, где сначала нужно построить сечение фигуры, а затем уже вычислить его площадь, либо объем отсекаемой части фигуры. Однако, в учебном плане задачам на построение сечений многогранников отводится 2 академических часа, что недостаточно для изучения данной темы. В школе плоские сечения многогранников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Поэтому возникает проблема отыскания новых методических путей, позволяющих эффективно решать вопросы подготовки учащихся к решению задач на построение сечений. Столкнувшись с данной проблемой была сформулирована следующая тема курсовой работы – методы решения задач на построение сечений. Целью курсовой работы является изучение различных методов построения сечений многогранников. В связи с поставленной целью необходимо решить следующие задачи: 1) изучить теоретический материал по данной теме; 2) систематизировать методы решения задач на построение сечений; 3) привести примеры задач на применение каждого метода. Из обозначенной выше актуальности мы вышли на объект и предмет исследования. Объект исследования курсовой работы – сечения многогранников. Предмет исследования курсовой работы – методы решения задач на построение сечений. Структура работы: введение, две главы, заключение и список литературы, курсовая работа содержит 37 страниц. Практическая значимость курсовой работы заключается в возможности применения ее при решении задач на построение сечений многогранников для разработки элективных курсов по геометрии, при проведении кружков и факультативов, для подготовки учащихся к олимпиадам, конкурсам, турнирам по математике, для подготовки к ЕГЭ, а также в проектировании строительства, в архитектуре. ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ § 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Определение 1. Плоскость, по обе стороны которой имеются точки данного многогранника, называется секущей плоскостью. Определение 2. Множество общих точек секущей плоскости и грани выпуклого многогранника называется следом секущей плоскости на этой грани [2]. Данные аксиомы, теоремы и определения стереометрии используются при решении задач на построение сечений многогранников. § 2. Понятие сечения Сечением многогранника является плоскость, которая пересекает его грани. В стереометрии в задачах на построение сечений чаще всего используются следующие пространственные фигуры: Куб – это многогранник, у которого шесть граней и все они квадраты; Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и все они прямоугольники; Параллелепипед – многогранник, у которого шесть граней и все они параллелограммы; Пирамида – многогранник, у которого одна грань – какой-либо многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной; Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками [1]. § 3. Изображение призмы и построение ее сечений Сечения призмы плоскостями, параллельным боковым ребрам, являются параллелограммы. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (Рис. 1). При решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований призмы. Это след секущей плоскости на плоскости основания, то есть это прямая пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы, принадлежащая сечению (Рис. 2). Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу g и содержащий данную точку А (Рис. 2, а). Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 2, б. Именно: сначала строится точка D, в которой плоскость грани пересекает заданный след g. Затем проводится прямая через точки А и D. Отрезок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. На рисунке 3 показано построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер [3].  § 4. Изображение пирамиды и ее плоских сечений Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (Рис. 4). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды (Рис. 5). Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы. Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью. Если на грани, не параллельной следу g, известна какая-нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани – точка D на рисунке 6. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды. На рисунке 7 построено сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер [3]. Во многих учебниках по геометрии для средних школ задачи на построение сечений рассматриваются лишь в начале изучения курса стереометрии. На решение этих задач, как правило, отводится 2 – 3 урока. Нами были рассмотрены построение таких сечений в параграфах «Изображение призмы и построение ее сечений» и «Изображение пирамиды и ее плоских сечений». В дальнейшем, хотя эти задачи и появляются эпизодически в некоторых темах курса стереометрии, учителя обходят их стороной, поэтому внешкольные методы построения сечений многогранников мы рассмотрим в следующем параграфе.  |