курсовая работа. курсовая мухаметова. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы
 Скачать 1.53 Mb.
|
|
Задачи на построение сечений по комбинированному методу Задача 1. На ребрах AB и AD пирамиды MABCD заданы соответственно точки P и Q – середины этих ребер, а на ребре MC задана точка R. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R [8]. Решение: Основным следом плоскости PQR является прямая PQ; Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей; Найдем точку N, точку пересечения прямых AC и BD, проведем прямую MN и найдем точку F, точку пересечения прямых KR и MN; Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ – средняя линия треугольника ABD, то PQ параллельна BD, то есть прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, то есть параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD; Таким образом, пятиугольник PB′RD′Q – искомое сечение.  Задача 2.На ребрах BC и MA пирамиды MABC заданы соответственно точки P и Q. Постройте сечение пирамиды плоскостью , проходящей через прямую PQ параллельно прямой AR, точка В принадлежит грани MAB [6]. Решение: Плоскость, проходящая через прямую AB и точку Р прямой PQ, на изображении уже построена. Это плоскость АВС; В плоскости АВС через точку P проведем прямую PD, параллельную прямой AB; Пересекающимися прямыми PQ и PD определяется плоскость α (это плоскость PQD) – плоскость искомого сечения; Ясно, что следом плоскости α на грани МАС является отрезок DQ; Так как прямая PD параллельна прямой AB, то прямая PD параллельна плоскости МАВ. Тогда плоскость α, проходящая через прямую PD, пересекает плоскость МАВ по прямой, параллельной прямой PD, то есть и прямой АВ. Итак, в плоскости МАВ через точку Q проведем прямую QE параллельную АВ. Отрезок QE – это след плоскости α на грани МАВ; Соединим точку Р с точкой Е. Отрезок РЕ – это след плоскости α на грани МВС; Таким образом, четырехугольник PEQD – искомое сечение.  Задача 3. На диагоналях АС и C'E' оснований призмы ABCDEA'B'C'D'E' заданы соответственно точки P и Q. Постройте сечение призмы плоскостью α, проходящей через прямую PQ параллельно АВ [7]. Решение: Плоскость, проходящая через прямую АВ – вторую заданную прямую и точку Р, взятую на первой прямой, уже построена. Это плоскость АВС; В плоскости АВС через точку Р проведем прямую, параллельно прямой АВ, и найдем точки К и L, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые ВС и АЕ; Пересекающимися прямыми PQ и KL определяется плоскость α (плоскость KLQ) – плоскость искомого сечения. Построим это сечение, воспользовавшись, в частности, параллельностью оснований призмы; Ясно, что прямая KL является основным следом плоскости α. Так как плоскости призмы параллельны между собой, то линии пересечения секущей плоскости α с плоскостями АВС и A'B'C' также параллельны между собой; Так как KL параллельна AB и A'B' параллельна АВ, проведем в плоскости А'B'C' через точку Q прямую, параллельную прямой A'B', и найдем точки F и Т, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые C'D' и A'E'; Получаем отрезок TL – след плоскости α на грани AEE'A', точку S' – точку пересечения прямых KL и CD, прямую S'F – след плоскости α на плоскости CDD', отрезок FC'' – след плоскости α на грани CDD'C' и, наконец, отрезок C''K – след плоскости α на грани BCC'B'; Получаем многоугольник KLTFC'' – искомое сечение.  |