Фильтр. Горный институт Уро ран
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
3.3. Уточнение корней полинома Существует множество итеративных способов улучшить аппроксимацию эксперимен- тальных данных какой-либо детерминированной функцией с неизвестными коэффициента- ми, при этом вид функции не имеет особого значения. Для улучшения качества аппроксима- ции экспериментальной АЧХ R(s) имеющейся передаточной функцией H(s) в приложении используется способ возможных направлений, который является наиболее устойчивым при минимизации функционала погрешности аппроксимации, имеющего достаточной сложный рельеф в пространстве его переменных. Сам функционал, представляет собой сумму квадра- тов отклонений теоретических значений передаточной функции от экспериментальных ( ∑ − = − = 1 0 2 ) ( ) ( n i i i s H s R E ) , (3.3.1) при этом H(s) имеет вид (3.1.1). Абсолютная ошибка аппроксимации будет определяться выражением n E / = ε . (3.3.2) Относительная ошибка – ∑ − = − = 1 0 ) ( ) ( ) ( 1 n i i i i s F s H s F n δ . (3.3.3) Способ возможных направлений заключается в оценке значений, принимаемых функ- ционалом (3.3.1) при изменении одной из его переменных на некоторый шаг в одну и в дру- гую сторону. То направление, которое дает наименьшее значение Е, является новым при- ближением переменной, и следующие итерации производятся относительно него. При дос- тижении локального минимума возможно уменьшение шага, для того чтобы определить его координату более точно. Данный способ может быть применен поочередно к нескольким переменным. Рассмот- рим подробнее все виды возможных уточнений, которым соответствуют различные пере- менные. 3.3.1. Уточнение частоты среза. Поскольку зависимость передаточной функции от частоты среза фильтра (Fc) имеется только в каноническом виде, при ее уточнении корни H(s) находятся заново (при неизменном порядке фильтра и количестве полюсов и нулей) согласно выражениям, представленным в главе 3.2 . Какое именно выражение используется для расчета H(s), зависит от типа фильтра. При уточнении делается 100 итераций, при которых частота меняется с шагом 0.001 Гц, то есть прочесывается диапазон шириной 0.1 Гц. Если минимум Е(Fc) достигается ранее, то итеративный процесс прекращается досрочно. Обычно одной попытки уточнения бывает достаточно, если аппроксимируемая кривая достаточно гладкая и свободна от значительных ошибок, но все-таки возможна ситуация, когда с первой попытки не удастся достичь локаль- ного минимума Е(Fc). В этом случае рекомендуется уточнение проводить до тех пор, пока значение погрешности ε не стабилизируется. 3.3.2. Уточнение амплитуды. При уточнении амплитуды фильтра нет необходимости решать все канонические урав- нения заново, чтобы найти корни. В данной ситуации предполагается, что форма АЧХ уже достаточно хорошо подобрана и остается найти только подходящий коэффициент Gs в вы- ражении ( 3.1.1 ) или Gz в ( 3.1.2 ), или G в ( 3.1.3 ). На самом деле достаточно определить лишь один из этих коэффициентов, а остальные привести к нему пропорционально внесенным из- менениям. При уточнении амплитуды делается 100 итераций, при которых коэффициент фильтра меняется на 0.1 % от текущего значения, таким образом прочесывается диапазон с уровнями 0.9-1.1 от первоначального. Если минимум Е(G) достигается ранее, то итеративный процесс прекращается досрочно. Обычно одной попытки уточнения бывает достаточно, однако при желании всегда можно процесс повторить, чтобы убедиться, что значение погрешности ε стабилизировалось. 3.3.3. Уточнение полюсов и нулей. Данный вид уточнения производится в двумерной плоскости комплексных корней, при этом переменными выступают их вещественные (Re) и мнимые части (Im). Особенностью данного вида уточнения является то, что корни могут быть комплексно сопряженными, и их изменение следует проводить парами, обеспечивая физическую реализуемость фильтра. Для осуществления итеративного процесса уравнение ( 3.1.1 ) приводится к виду ∏ ∏ ∏ ∏ − − + + − = − − − − = ≠ ≠ i pi j i ni nj nj nj S i pi j i ni nj nj S s s s s s s s s s G s s s s s s s s G s H ) ( ) ( ) Im Re Re 2 ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( 2 2 2 * (3.3.4) – для нулей или к виду ∏ ∏ ∏ ∏ ≠ ≠ − − + + − = − − − − = j i pi i ni pj pj pj S j i pi i ni pj pj S s s s s s s s s s G s s s s s s s s G s H ) ( ) ( ) Im Re Re 2 ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( 2 2 2 * (3.3.5) – для полюсов. В таком представлении часть H(s), отвечающая за вклад одной пары сопря- женных корней, выражена отдельным множителем, что удобно для внесения в них пошаго- вых изменений. При уточнении пары сопряженных корней передаточной функции сравниваются значе- ния функционала (3.3.1), соответствующие величинам их вещественной и мнимой части, от- личающихся изначально на шаг равный 1. Всего для одной пары корней выполняется 10 ите- раций, после чего осуществляется переход к следующей паре. Поочередным перебором всех пар корней постепенно находится минимум функционала, который в дальнейшем продолжа- ет уточняться с шагом, уменьшенным вдвое. Этот процесс продолжается до тех пор, пока шаг не станет меньше 0.01 или погрешность аппроксимации не уменьшится до заданной по- роговой величины. Итерации также прекратятся, если изменение погрешности станет мень- ше 1% от этой же пороговой величины. Дальнейшие попытки уточнения, как и в предыдущих случаях возможны, но, как пока- зывает опыт, к значительному уменьшению погрешности аппроксимации они не приводят. Подробно порядок уточнения описан в главе Аппроксимация элементарными фильтрами 4. Порядок работы 4.1. Описание элементов приложения Вся работа приложения реализована в его главном окне, обеспечивающих все необхо- димые функции для расчета и визуализации фильтров. Главное окно состоит из главного ме- ню, панели инструментов, панели параметров, визуальной части и строки статуса. 4.1.1. Главное меню Загрузить – группа команд для загрузки файлов ЧХ. Тестовый свип-сигнал загрузка тестового сигнала с переменной частотой. Сигнал из файла загрузка сигнала из файла для дальнейшей фильтрации. ЧХ (частота, амплитуда, фаза)загрузка файла с ЧХ, заданной в виде дис- кретных значений амплитуд и фаз на разных частотах (FAP). ЧХ (полюсы и нули) загрузка файла с ЧХ, заданной на комплекс- ной S-плоскости в виде полюсов и нулей (ZP). Сохранить – группа команд для сохранения файлов ЧХ. Полюсы и нули сохранение (дополнение) файла с переда- точной функцией, заданной на комплексной S-плоскости в виде полюсов и нулей (ZP). Частота, амплитуда, фаза сохранение (дополнение) файл с ЧХ в виде дискретных значений амплитуд и фаз на разных частотах (FAP). Коэффициенты сохранение (дополнение) файла с переда- точной функцией, заданной в виде коэффи- циентов каскада биквадратных блоков. Конвертеры – меню, объединяющее команды преобразования ЧХ. Текущий фильтр -> Частота, амплитуда, фаза расчет ЧХ в виде FAP из передаточной функции фильтра в текущем представлении. Полюсы и нули -> Коэффициенты расчет ЧХ в виде C из передаточной функ- ции текущего фильтра, заданной на ком- плексной Z- или S-плоскости в виде полю- сов и нулей. Коэффициенты -> Полюсы и нули расчет ЧХ в виде ZP из передаточной функ- ции текущего фильтра, заданной на ком- плексной Z- или S-плоскости в виде коэф- фициентов. S-полюсы -> Z-полюсы преобразование полюсов, заданных на S- плоскости, в полюсы на Z-плоскости. Z-полюсы -> S-полюсы преобразование полюсов, заданных на Z- плоскости, в полюсы на S-плоскости. АЧХ -> ФЧХ (см. затухание) расчет ФЧХ из АЧХ с помощью преобразо- вания Гильберта (имеет смысл только для физически реализуемых фильтров). Затухание на бесконечности задание типа затухания ЧХ на бесконечно- сти (используется при расчете интеграла Гильберта) Билогарифмическое затухание является линейным в билога- рифмическом масштабе визуализации Обратное затухание является линейным при заме- не x на 1/x Фильтрация – группа команд для фильтрации загруженного сигнала. Фильтровать текущим фильтрация текущим фильтром. Фильтровать каскадом фильтрация составленным каскадом. Направление фильтрации выбор направления фильтрации (влияет на фазовые искажения). В одну сторону фильтрация в один проход (имеются фа- зовые искажения). Туда и обратно фильтрация в два прохода (фазовые ис- кажения компенсируются). Аппроксимация – группа команд для аппроксимации текущего диапазона загружен- ной ЧХ ФНЧ аппроксимация фильтром нижних частот. ФВЧ аппроксимация фильтром верхних частот. Режекторный аппроксимация режекторным фильтром. Селекторный аппроксимация селекторным фильтром. Полосовой аппроксимация полосовым фильтром. Заградительный аппроксимация заградительным фильтром. Уточнение – группа команд для уточнения аппроксимации. Амплитуда уточнение амплитуды фильтра. Частота среза слева уточнение частоты среза слева. Частота среза справа уточнение частоты среза справа. Полюсы уточнение местоположения полюсов пере- даточной функции. Нули уточнение местоположения нулей переда- точной функции. Каскад – команды для работы с каскадом фильтров. Добавить секцию добавление текущего фильтра в каскад. Удалить секцию удаление выделенной секции фильтра из каскада. Очистить каскад удаление всех секций фильтра. Показать объединение всех секций каскада и выбор его в качестве текущего фильтра. Обновить секцию замена выделенной секции текущим фильт- ром. Аппроксимировать секцию аппроксимация выделенной секции каскада. Аппроксимировать каскад поочередная аппроксимация всех секции каскада. ? – команды доступа к справочной информации. Справка вызов справочной системы. О программе вызов сведений о программе. Для большинства команд главного меню имеются иконки, символизирующие суть ко- манды. Эти же иконки используются для аналогичных команд, вынесенных на панель инст- рументов. 4.1.2. Панель инструментов Панель инструментов дублирует основные и наиболее часто используемые команды, представленные в главном меню. Инструменты (кнопки) панели разделены на группы в со- ответствие с пунктами главного меню. Группа команд для загрузки файлов ЧХ загрузить файл с ЧХ, заданной в виде дискретных значений амплитуд и фаз на разных частотах (FAP). загрузить файл с ЧХ, заданной на комплексной S-плоскости в виде полюсов и нулей (ZP). Группа команд для сохранения (дополнения) файлов ЧХ сохранить файл с ЧХ в виде дискретных значений амплитуд и фаз на разных частотах (FAP). сохранить файл с передаточной функцией, заданной на комплексной S-плоскости в виде полюсов и нулей (ZP). сохранить файл с передаточной функцией, заданной в виде коэффициентов каскада по- линомов 2-го порядка. Группа команд для преобразования ЧХ из одного вида в другой расчет ЧХ в виде FAP из передаточной функции фильтра в текущем представлении. расчет коэффициентов каскада биквадратных блоков из передаточной функции текуще- го фильтра, заданной на комплексной Z- или S-плоскости в виде полюсов и нулей. расчет полюсов и нулей из передаточной функции текущего фильтра, заданной на ком- плексной Z- или S-плоскости в виде коэффициентов каскада биквадратных блоков. расчет ФЧХ из АЧХ с помощью преобразования Гильберта (имеет смысл только для физически реализуемых фильтров). преобразование полюсов, заданных на S-плоскости, в полюсы на Z-плоскости. преобразование полюсов, заданных на Z-плоскости, в полюсы на S-плоскости. Группа команд для аппроксимации элементарными фильтрами аппроксимация АЧХ фильтром нижних частот. аппроксимация АЧХ фильтром верхних частот. аппроксимация АЧХ режекторным фильтром. аппроксимация АЧХ селекторным фильтром. аппроксимация АЧХ полосовым фильтром с одинаковой крутизной слева и справа. аппроксимация АЧХ заградительным фильтром с одинаковой крутизной слева и справа. аппроксимация АЧХ каскадом фильтров. Группа команд для уточнения результатов аппроксимации уточнение амплитуды фильтра. уточнение частоты среза слева. уточнение частоты среза справа. уточнение полюсов фильтра. уточнение нулей фильтра. Группа команд для работы с каскадом добавление текущего фильтра в качестве секции каскада. удаление выделенной секции каскада. обновление выделенной секции каскада (замена параметрами текущего фильтра). очистка каскада (удаление всех секций). объединение всех секций каскада и выбор его в качестве текущего фильтра. 4.1.3. Панель параметров Панель параметров расположена под панелью инструментов и позволяет менять тип и параметры того, что отображается на диаграмме графиков и диаграмме корней передаточной функции. Панель состоит из нескольких вкладок, разделяющих параметры на основные группы. 4.1.3.1. Расчет фильтров Вкладка содержит параметры, используемые при расчете элементарных фильтров. Тип фильтра. Переключатель, с помощью которого выбирается тип элементарного фильтра, который необходимо рассчитать. Смена типа сопровождается расчетом новых кор- ней передаточной функции фильтра и визуализации всех его параметров. Разновидность. Переключатель между двумя разновидностями фильтров: фильтров Баттерворта и фильтров Чебышева. Выбор разновидности фильтра доступен только для ФНЧ, ФВЧ, ПФ, и ПЗФ. Параметры фильтра. Группа объединяет основные параметры фильтра. Частота среза, Гц. Параметр устанавливает частоту среза рассчитываемого фильтра Fc. На частоте среза значение квадрата АЧХ равно половине максимального значения в по- лосе пропускания. Если фильтр имеет только одну частоту среза (ФНЧ, ФВЧ), то доступно только одно поле: снизу Fc1 – для ФВЧ и сверху Fc2 – для ФНЧ. Порядок фильтра. Параметр устанавливает порядок фильтра. Чем больше порядок, тем круче спад АЧХ на граничной частоте. Важно иметь в виду, в каком способе фильтрации будет использоваться данный фильтр. Если фильтрация будет проходить в обе стороны вре- менного ряда, то результат будет сопоставим с однократной фильтрацией фильтра, порядок которого в 2 раза больше. Если фильтр имеет только частоту среза слева от полосы пропус- кания (ФВЧ), то доступно левое поле, если справа (ФНЧ), то правое. Для фильтров, имею- щих две частоты среза (полосовой и заградительный) доступно только одно левое поле, так как крутизна спада слева и справа у элементарного фильтра принимается одинаковой. Для режекторного и селекторного фильтров крутизна регулируется близостью частот среза. Коэф. неравномерности. Коэффициент устанавливает величину относительных пуль- саций ЧХ фильтра в полосе пропускания и полосе подавления. Величина параметра задается в долях размаха фильтра (возможные значения от 0,01 до 0,5). Для простоты принято, что коэффициент неравномерности для полосы пропускания (Ap) всегда равен коэффициенту не- равномерности для полосы подавления (As). Если фильтр имеет только частоту среза слева от полосы пропускания (ФВЧ), то доступно левое поле, если справа (ФНЧ), то правое. Для фильтров, имеющих две частоты среза (полосовой и заградительный) доступно только одно левое поле, так как неравномерность АЧХ слева и справа у элементарного фильтра принима- ется одинаковой. Для режекторного и селекторного фильтров коэффициент неравномерности не используется. Частота дискретизации. Задайте частоту дискретизации сигнала, который предстоит фильтровать рассчитываемым фильтром. Коэффициенты фильтров, заданных на Z-плоскости и виде каскада полиномов второй степени, имеют связь с частотой дискретизации и могут быть применены только к рядам с соответствующей оцифровкой. При расчете фильтров на S- плоскости величина данного параметра значения не имеет. |