Фильтр. Горный институт Уро ран
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
Горный институт УрО РАН Лаборатория ПТС DFilter V0.9 Расчет цифровых фильтров и цифровая фильтрация Справочная информация Составил Дягилев Р.А. Май 2008 г. Содержание 1. Общие сведения .............................................................................................................................3 2. Список сокращений .......................................................................................................................4 3. Теоретические представления, используемые в DFilter ............................................................5 3.1. Способы задания цифровых фильтров .................................................................................5 3.2. Рекурсивные фильтры ............................................................................................................6 3.2.1. Фильтры Баттерворта ......................................................................................................6 3.2.1.1. Фильтр нижних частот .............................................................................................6 3.2.1.2. Фильтр верхних частот...........................................................................................12 3.2.1.3. Полосовой фильтр...................................................................................................15 3.2.1.4. Полосовой заградительный фильтр ......................................................................18 3.2.2. Фильтры Чебышева .......................................................................................................19 3.2.3. Режекторный фильтр .....................................................................................................20 3.2.4. Селекторный фильтр .....................................................................................................23 3.2.5. Билинейное Z-преобразование .....................................................................................24 3.3. Уточнение корней полинома ...............................................................................................26 3.3.1. Уточнение частоты среза. .............................................................................................26 3.3.2. Уточнение амплитуды. ..................................................................................................27 3.3.3. Уточнение полюсов и нулей. ........................................................................................27 4. Порядок работы............................................................................................................................28 4.1. Описание элементов приложения .......................................................................................28 4.1.1. Главное меню .................................................................................................................28 4.1.2. Панель инструментов ....................................................................................................30 4.1.3. Панель параметров.........................................................................................................31 4.1.3.1. Расчет фильтров ......................................................................................................31 4.1.3.2. Передаточная функция ...........................................................................................32 4.1.3.3. Аппроксимация .......................................................................................................34 4.1.3.4. Настройки ................................................................................................................35 4.1.3.5. Калькулятор.............................................................................................................35 4.1.4. Диаграммы......................................................................................................................36 4.1.4.1. Диаграмма графиков...............................................................................................36 4.1.4.2. Комплексная плоскость..........................................................................................37 4.1.5. Строка статуса................................................................................................................38 4.2. Расчет элементарных фильтров...........................................................................................38 4.3. Аппроксимация .....................................................................................................................39 4.3.1. Аппроксимация элементарными фильтрами ..............................................................39 4.3.2. Аппроксимация каскадом фильтров ............................................................................40 4.3.2.1. Формирование каскада ...........................................................................................41 4.3.2.2. Использование готового каскада...........................................................................42 4.4. Фильтрация............................................................................................................................42 4.5. Трансформации передаточных функций ............................................................................42 4.5.1. S-ZP → FAP, Z-ZP → FAP, S-C → FAP и Z-C → FAP...............................................44 4.5.2. S-ZP → Z-ZP...................................................................................................................44 4.5.3. Z-ZP → S-ZP...................................................................................................................45 4.5.4. S-ZP → S-C, Z-ZP → Z-C ..............................................................................................45 4.5.5. S-C → S-ZP, Z-C → Z-ZP ..............................................................................................46 4.5.6. АЧХ → ФЧХ...................................................................................................................46 4.5.7. FAP → ZP, C...................................................................................................................47 4.5.8. Другие виды преобразований .......................................................................................47 5. Литература....................................................................................................................................49 1. Общие сведения Назначение: Создание и подбор рекурсивных цифровых фильтров (РЦФ) с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Цифровая фильтрация произвольных временных рядов. Решаемые задачи: • создание простых фильтров Баттерворта (ФНЧ, ФВЧ, РФ, СФ, ПФ, ПЗФ); • представление передаточной функции цифровых фильтров в виде полюсов и нулей (ZP) и в виде каскада (С) биквадратных блоков как на Z-, так и на S-плоскости, а так- же в виде дискретных значений частотной характеристики (FAP); • преобразование передаточной функции из S-плоскости в Z-плоскость и наоборот; • преобразование передаточной функции из полюсов и нулей в коэффициенты каскада биквадратных блоков; • аппроксимация передаточной функции, заданной в виде FAP, любым аналитическим представлением для элементарных типов фильтров; • формирование сложных полиномов посредством кусочной аппроксимации FAP; • цифровая фильтрация произвольного временного ряда. Версии Сентябрь 2007 г. возникновение идеи проекта. 0.1.0.0, 22 марта 2008 г. реализация основных возможностей создания фильтров, разработ- ка формата хранения ЧХ, реализация аппроксимации ЧХ и разра- ботка инструкции по аппроксимации. 0.8.0.0, 16 мая реформа интерфейса, реализация сложной аппроксимации ЧХ. 0.9.0.0, 4 июня разработка справочной системы. 2. Список сокращений C передаточная функция, заданная в виде каскада (Cascade) биквадратичных блоков. S-C передаточная функция, заданная в виде каскада (Cascade) биквадратичных блоков на S-плоскости. Z-C передаточная функция, заданная в виде каскада (Cascade) биквадратичных блоков на Z-плоскости. FAP передаточная функция, заданная в виде набора дискретных точек в частотной области: частота (Frequency), амплитуда (Amplitude) и фаза (Phase). ZP передаточная функция, заданная в виде полюсов и нулей (Zeroes and Poles). S-ZP передаточная функция, заданная полюсами и нулями на S-плоскости. Z-ZP передаточная функция, заданная полюсами и нулями на Z-плоскости. АЧХ амплитудно-частотная характеристика. БИХ бесконечная импульсная характеристика. ГВЗ групповое время задержки. КИХ конечная импульсная характеристика. ПЗФ полосовой заградительный фильтр. ПФ полосовой фильтр. ПФФ передаточная функция фильтра. РФ режекторный фильтр. РЦФ рекурсивный цифровой фильтр. СФ селекторный фильтр. ФВЧ фильтр верхних частот. ФНЧ фильтр нижних частот. ФЧХ фазо-частотная характеристика. ЧХ частотная характеристика. 3. Теоретические представления, используемые в DFilter 3.1. Способы задания цифровых фильтров Цифровые фильтры можно задать четырьмя способами: 1. Корнями (полюсами и нулями) на S-плоскости (плоскость преобразования Лап- ласа) ∏ ∏ = = − − = p n Ns i pi Ns i ni S s s s s G s H 1 1 ) ( ) ( ) ( , (3.1.1) где s n – нули, s p – полюсы, Ns n – количество нулей, Ns p – количество полюсов, G S – нормирующий коэффициент, s = j ω – комплексная переменная частоты в S-плоскости, где ω = 2 π f. Аналогом S-плоскости может выступать ее разновидность P-плоскость в которой пере- менные меньше в k раз. k является нормой для приведения частот к относительной шкале. На такой шкале частота среза (для ФВЧ и ФНЧ, k = ω c ) или средняя геометрическая частота (для ПФ, k= ω 0 ) всегда равны 1, и все корни-полюсы лежат на единичной окружности. P-плоскость непосредственно не используется и нужна только как промежуточное пространство для на- хождения корней уравнения (3.1.1), что будет продемонстрировано в главе 3.2. 2. Корнями (полюсами и нулями) на Z-плоскости (Z-преобразование) ∏ ∏ = = − − = p n Nz i pi Nz i ni Z z z z z G z H 1 1 ) ( ) ( ) ( , (3.1.2) где z n – нули, z p – полюсы, Nz n – количество нулей, Nz p – количество полюсов, G Z – нормирующий коэффициент, ω j e z = – комплексная переменная частоты на Z-плоскости, где ω = 2 π f Δ t. 3. Полиномом на S- или Z-плоскости с вещественными коэффициентами a и b ∑ ∑ = = + = p n Nz i i i Nz i i i z a z b G z H 1 0 1 ) ( . (3.1.3) Коэффициенты a и b полинома на Z-плоскости можно использовать для фильтрации во временной области: ∑ ∑ = − = − − = p n Nz i i k i Nz i i k i k y a x b y 1 0 , (3.1.4) где x – исходный временной ряд, y – временной ряд после фильтрации. 4. Дискретным набором точек в частотной области Это самый простой способ представления фильтра, в котором его частотная характери- стика задана непосредственно через параметры амплитуды и фазы для некоторого набора частот (FAP). Простота и наглядность способа представления сочетается с некоторыми сложностями его практического использования (необходимость интерполяции между точка- ми, неопределенность значений за пределами заданного диапазона, ресурсоемкость фильтра- ции длинных рядов, невозможность потоковой фильтрации). Любой фильтр можно представить в виде произведения N секций: ∏ = = N i i z h z H 1 ) ( ) ( , (3.1.5) ∏ = = N i i s h s H 1 ) ( ) ( , (3.1.5') что позволяет упростить расчет корней и коэффициентов, сводя секции к полиномам низших порядков (например, 1-го или 2-го порядка). Корни полиномов – полюсы и нули – обычно являются либо комплексно- сопряженными либо вещественными величинами, поэтому их можно группировать, получая секции 1-го или 2-го порядка. Правила группировки могут быть следующими: 1) комплексно-сопряженные пары корней при группировке образуют полином 2-го порядка; 2) два вещественных корня при группировке образуют полином 2-го порядка; 3) один вещественный корень образует полином 1-го порядка. Таким образом, передаточную функцию H(z) с комплексной переменной z – не важно, в Z- или S-плоскости она задана – можно представить как: ∏ ∏ = = + + + + = − − − − = N i i i i i i N i pi pi ni ni z a z a z b z b b z z z z z z z z G z H 1 2 2 1 2 2 1 0 1 * * 1 ) )( ( ) )( ( ) ( . (3.1.6) Используя форму представления (3.1.5), любую передаточную функцию можно пред- ставить в виде произведения более сложных секций, являющихся функциями вида (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3) или (3.1.6). 3.2. Рекурсивные фильтры Синтез рекурсивных цифровых фильтров (РЦФ) непосредственно в Z-области возмо- жен только для фильтров простого типа (режекторных и селективных) с ограниченным ко- личеством полюсов и нулей (особых точек). В общем случае, процесс проектирования рекур- сивного частотного фильтра обычно заключается в задании необходимой передаточной ха- рактеристики фильтра в частотной области и ее аппроксимации с определенной точностью какой-либо непрерывной передаточной функцией, с последующим Z-преобразованием для перехода в Z-область. Первые две операции хорошо отработаны в теории аналоговой фильт- рации сигналов, что позволяет использовать для проектирования цифровых фильтров боль- шой справочный материал по аналоговым фильтрам ( Давыдов, 2005 ). Последняя операция является специфичной для цифровых фильтров. Для алгебраического преобразования непрерывной передаточной функции в многочлен по z используется билинейное преобразование, известное в теории комплексных переменных под названием дробно-линейного преобразования. 3.2.1. Фильтры Баттерворта 3.2.1.1. Фильтр нижних частот Передаточная функция Гладкий вид амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттерворта (рис. 3.2.1.1.1) задают квадратом передаточной функции вида: |H(W)| 2 = H(W)H*(W) = 1/(1+W 2N ). где W = ω / ω c – нормированная частота, ω c – частота среза АЧХ фильтра, на которой |H( ω )| 2 = 1/2 (соответственно H( ω ) = 0.707), N – порядок фильтра, определяющий крутизну среза АЧХ. Рис. 3.2.1.1.1. АЧХ фильтра Баттерворта При W → 0 коэффициент передачи фильтра стремится к 1. Учитывая, что результаты вычислений будут относиться к цифровым фильтрам и при Z-преобразовании с переходом в главный частотный диапазон произойдет искажение частот, до начала расчетов фактические значения задаваемых частотных характеристик (значения ω c , ω p и ω s ) следует перевести в значения деформированных частот по выражению: ω д = (2/ Δ t)tg( ωΔ t/2) = γ tg( ωΔ t/2), - π / Δ t< ω < π / Δ t. (3.2.1.1.1) Обратное преобразование имеет вид ω =(2/ Δ t)arctg( ω д Δ t/2). (3.2.1.1.1') Крутизна среза Наклон частотной характеристики фильтра при переходе от области пропускания к об- ласти подавления можно характеризовать коэффициентом крутизны среза фильтра K в деци- белах на октаву: K = 20lg|H( ω 2 )/H( ω 1 )|, (3.2.1.1.2) где ω 1 и ω 2 – частоты с интервалом в одну октаву, т.е. ω 2 = 2 ω 1 Длительность импульсной реакции фильтра в пределах ее значимой части также зави- сит от крутизны среза: чем больше крутизна, тем больше длительность импульсного отклика фильтра. |