Фильтр. Горный институт Уро ран
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
3.2.2. Фильтры Чебышева Фильтры Чебышева в отличие от фильтров Баттерворта при одном и том же порядке имеют более крутой спад. Платой за это становятся пульсации АЧХ в полосе пропускания. Для расчета фильтров Чебышева достаточно представлений, уже описанных в главе 3.1. Фильтры Баттерворта. Основное отличие чебышевских фильтров наглядно можно описать на комплексной P-плоскости, где изначально находятся полюсы передаточной функции для ФНЧ, ФВЧ, ПФ и ПЗФ. Полюсы фильтра Баттерворта на P-плоскости располагаются на еди- ничной окружности, тем самым обеспечивая плавное изменение АЧХ. Если окружность, на которой они лежат сжать таким образом, чтобы она превратилась в эллипс, то фильтр станет чебышевским. Степень сжатия эллипса определяет величину флуктуаций в полосе пропуска- ния. Если полюс на окружности имеет координаты σ и ω ( σ + j ω ), то их трансформация в полюс фильтра Чебышева с координатами σ ' и ω ' описывается следующими уравнениями ( Smith, 1999 ): k v k v / ) cosh( ' / ) sinh( ' ω ω σ σ = = , (3.2.2.1) где ( ) 2 / 1 2 1 1 1 1 1 / ) / 1 ( cosh cosh ) / 1 ( sinh ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = = − − p A Np k Np v ε ε ε Параметры v, k и ε не несут никакого физического смысла и используются лишь для упрощения описания данного преобразования. Величина Np представляет количество полю- сов, Ap – коэффициент неравномерности, описанный ранее в главе 3.2.1.1 3.2.3. Режекторный фильтр Режекторный фильтр (фильтр-пробка) подавляет определенную частоту во входном сигнале. Он может быть спроектирован непосредственно по Z-диаграмме. Комплексная Z-плоскость Простейший режекторный фильтр имеет один нуль на единичной окружности в Z- плоскости в точке с частотой, которую необходимо подавить. Так, например, если из входно- го сигнала требуется исключить постоянную составляющую (нулевая частота), то импульс- ная реакция фильтра имеет вид: H(z) = 1-z. (3.2.3.1) Нуль функции (3.2.3.1) равен n 1 =1. Как можно видеть на рис. 3.2.3.1, коэффициент пе- редачи сигнала H( ω )на любой частоте ω i от 0 до ω N = π / Δ t – частоты Найквиста, определяе- мый выражением (3.2.3.1), будет равен длине вектора V n1 , проведенного из нуля функции H(z)– точка n 1 на действительной оси, до соответствующей частоты ω i – точки z( ω i )на еди- ничной окружности. На частоте ω = 0 длина этого вектора равна нулю. Амплитудно- частотная характеристика фильтра, приведенная пунктиром на рисунке 3.2.3.2 для переда- точной функции (3.2.3.1), далека от идеальной для фильтра-пробки. Рис. 3.2.3.1. Синтез фильтров Рис. 3.2.3.2. АЧХ фильтров Режекторный фильтр постоянной составляющей сигнала Сконструируем простейший РЦФ, добавив к оператору (3.2.3.1) один полюс вне еди- ничной окружности на малом расстоянии от нуля: H п (z) = G(1-z)/(1-az), z p = 1/a. (3.2.3.2) Допустим, что полюс помещен в точке p 1 = 1.01, при этом, а=0,99. Масштабный коэф- фициент G получим нормировкой H(z) к 1 на частоте Найквиста. Для приведенных условий G=0.995. Отсюда, при Δ t=1: H п (z) = 0,995(1-z)/(1-0.99z), y(k) = 0.995[x(k) –x(k-1)]+ 0.99y(k-1). Отображение нуля n 1 и полюса р 1 на Z-плоскости и АЧХ фильтра для исключения по- стоянной составляющей приведены на рис. 3.2.3.1. Коэффициент передачи сигнала на произвольной частоте ω i равен отношению длин векторов V n1 (z) и V p1 (z) соответственно из нуля и полюса до точки z( ω i )на единичной окруж- ности и близок к единице для всех частот, за исключением нулевой: |H п (z)| = G V n1 (z)/V p1 (z). Фазочастотная характеристика фильтра приведена на рис. 3.2.3.3 и определяется разно- стью фазовых углов векторов V n1 (z) и V p1 (z): ϕ п ( ω ) = ϕ n1 - ϕ p1 . Рис. 3.2.3.3 Режекторный фильтр произвольной частоты При проектировании на подавление любой другой частоты ω v нули и полюсы распола- гаются на соответствующем радиусе Z-плоскости. Радиальный угол направления на нуль и полюс определяются выражением: ϕ v = π · ω ± v / ω N . (3.2.3.3) Наличие двух знаков в выражении (3.2.3.3) отражает тот факт, что для получения веще- ственной функции фильтра нули и полюсы должны быть комплексно-сопряженными парами (их произведение дает вещественную функцию), т.е.: H v (z) = G(z-z n )(z-z n *)/[(z-z p )(z-z p *)]. (3.2.3.4) Нули фильтра располагаются на единичной окружности: z n = cos ϕ v + j sin ϕ v = z n .Re + j z n .Im. (3.2.3.5) Полюсы – на полярном радиусе R: z p = R cos ϕ v + j R sin ϕ v = z p .Re + j z p .Im. (3.2.3.6) Пример положения нулей (n 2 и n 2 *) и полюсов (р 2 и р 2 *) приведен на рис. 3.2.3.1. Под- ставляя (3.2.3.5-3.2.3.6) в (3.2.3.4), получаем: H v (z) = 2 2 2 / ) Re 2 ( 1 ) 1 Re 2 ( R z z z z z z G p n − + + − , (3.2.3.7) G = [1+(1+2 z p .Re)/R 2 ] / (2+2 z n .Re). (3.2.3.8) При приведении уравнения (3.2.3.7) в типовую форму: H v (z) = 2 2 1 2 2 1 0 1 ) ( z a z a z b z b b G + + + + , (3.2.3.7') b 0 = 1, b 1 = -2·z n .Re, b 2 = 1. (3.2.3.9) a 1 = - (2·z p .Re)/R 2 , a 2 = 1/R 2 . Соответственно, алгоритм вычислений во временной области: y(k) = G·[x(k) +b 1 ·x(k-1)+x(k-2)] – a 1 ·y(k-1) – a 2 ·y(k-2). (3.2.3.10) Пример расчета фильтра Проведем расчет режекторного фильтра на частоту питания приборов f s = 50 Гц, кото- рая очень часто попадает в измеренные данные. Частотные характеристики такого фильтра (ось абсцисс в радианах) показаны на рис. Рис. 3.2.3.4 Исходные параметры фильтра: – Шаг дискретизации данных Δ t = 0.001 сек. – Частота Найквиста: f N = 1/2 Δ t = 500 Гц. Расчет параметров: Радиальный угол на нули и полюса фильтра в Z-плоскости: ϕ = π ·f s /f N = 0.1π. Радиус полюса фильтра примем равным R = 1.01. Значения нуля и полюса: z n = cos ϕ + j sin ϕ = 0.951 + 0.309 j, z p = R·cos ϕ v + j R·sin ϕ v = 0.961 + 0.312 j. Значение масштабного множителя G по (3.2.1.2.8): G = 0.99. Значения коэффициентов передаточной функции: b 1 = -2·z n .Re = -1.902, a 1 = -(2·z p .Re)/R 2 = -1.883, a 2 = 1/R 2 = 0.98. Частотная передаточная функция фильтра при подстановке коэффициентов в уравнение (3.2.3.7') и замене z = exp(-jω): H( ω ) = 0.99[1-1.902·exp(-jω)+exp(-2jω)] / [1-1.883·exp(-jω)+0.98·exp(-2jω)]. Алгоритм фильтра: y(k)= 0.99[x(k) - 1.902 x(k-1) + x(k-2)] + 1.883 y(k-1) – 0.98 y(k-2). Для проверки вычисленного в примере фильтра на рис. 3.2.3.5 приведен модельный входной сигнал, состоящий из суммы двух равных по амплитуде гармоник с частотой 50 и 53 Гц, и сигнал на выходе фильтра (смещен вверх). Справа на рисунке приведены спектры входного и выходного сигналов. Спектр выходного сигнала зарегистрирован после интерва- ла установления реакции фильтра, который хорошо заметен на начальной части графика вы- ходного сигнала. После установления сигнал на выходе фильтра практически полностью ос- вобожден от гармоники 50 Гц. Рис. 3.2.3.5 При R → 1 ширина полосы подавления фильтра становится все более узкой, но при этом увеличивается длительность импульсной реакции фильтра и, соответственно, время ус- тановления фильтра при изменении спектра входного сигнала. В первом приближении зна- чимая часть импульсной реакции режекторных фильтров равна (4÷5)/(R-1). Пример им- пульсной реакции для фильтра, вычисленного выше, приведен на рис. 3.2.3.6. Рис. 3.2.3.6 Отклик фильтра получен при подаче на вход РЦФ импульса Кронекера. На графике не показан начальный пик отклика (отсчет на нулевой точке), амплитуда которого равна значе- нию G. 3.2.4. Селекторный фильтр Если в уравнении ( 3.2.3.4 ) опустить нули, то получим селекторный фильтр, выделяю- щий сигналы одной частоты ω s – частоты селекции, с передаточной функцией: H s (z) = G/[(z-z p )(z-z p *)] = G 1 /(1+a 1 z+a 2 z 2 ). (3.2.4.1) Характер передаточной функции (3.2.4.1) можно представить непосредственно по Z- плоскости (рис. 3.2.3.1). При расположении полюсов фильтра за пределами единичного круга (например, в точках р 2 и р 2 *) значение коэффициента передачи фильтра на произвольной частоте ω на единичной окружности будет обратно пропорционально величине векторов из этих точек окружности на полюса фильтра. При изменении ω от нуля до ±π (движение по единичной окружности на Z-плоскости по или против часовой стрелки) один из векторов (на полюс противоположной полуплоскости) изменяется в достаточно небольших пределах (не превышая значения 2), в то время как второй из векторов (на полюс в своей полуплоскости) будут сначала уменьшаться, достигает минимума при расположении ω на полярном радиусе полюса (на частоте селекции ω s ), а затем снова начинает увеличиваться. Соответственно, значение H s (ω) максимально на частоте селекции ±ω s и при R→1 может быть очень высоким. При необходимости фильтр может быть пронормирован к 1 на частоте селекции опре- делением значения G 1 по условию H s (ω) = 1 при ω = ω s , т.е.: G 1 = 1+a 1 z( ω s )+a 2 z( ω s ) 2 . Фильтр (3.2.4.1) в принципе не может иметь нулевого коэффициента передачи на дру- гих частотах главного диапазона. Если последнее является обязательным, то фильтр выпол- няется методом обращения режекторного фильтра H v (z): H s (z) = 1-H v (z). H s (z) = 2 2 1 2 2 1 0 1 z a z a z c z c c + + + + , (3.2.4.2) где с 0 = 1-G, c 1 = a 1 -Gb 1 , c 2 = a 2 -G. Особенностью селекторного фильтра является то, что в его числителе имеется 2 веще- ственных корня-нуля, один из которых равен (-1 + j0). Наличие непарного нуля с таким зна- чением оказывает влияние на передаточную функцию в виде сдвига фаз на величину π от аналогичной функции, заданной на S-плоскости. Для того чтобы избежать этого, к переда- точной функции следует добавить множитель (-1). Пример передаточной функции фильтра приведен на рис. 3.2.4.1. Рис. 3.2.4.1 Пример применения фильтра для выделения гармонического сигнала на уровне шумов, мощность которых больше мощности сигнала, приведен на рис. 3.2.4.2. Рис. 3.2.4.2. Фильтрация сигнала селекторным РЦФ 3.2.5. Билинейное Z-преобразование Принцип преобразования При стандартном Z-преобразовании передаточной функции используется замена пере- менной вида: z = exp(-s Δ t), (3.2.5.1) где Δ t – шаг дискретизации данных, s – комплексная переменная, s = σ +j ω . Уравнение (3.2.5.1) можно записать в виде ln z = -s Δ t и разложить ln z в ряд: ln z = -2[(1-z)/(1+z)+(1-z) 3 /(3(1-z) 3 )+ ....], z > 0. Первый член этого разложения и представляет собой билинейное Z-преобразование: s = (2/ Δ t)(1-z)/(1+z). (3.2.5.2) По сути, оно представляет собой отображение точек комплексной S-плоскости в точки комплексной Z-плоскости, и наоборот. В общем виде: s = γ (1-z)/(1+z), (3.2.5.3) z = ( γ -s)/( γ +s). (3.2.5.4) Значение множителя γ не меняет формы преобразования, в связи с чем обычно прини- мают γ = 1. Подставим s = j ω в (3.2.5.4) и выразим z в показательной форме: z = r exp(j ϕ ( ω )), r = |z| = 1. ϕ ( ω )= 2arctg( ω / γ ), В частности: ω = 0, z = exp(j0) = 1, ω = ∞, z = exp( ± j π ) = -1 ± При изменении ω от - ∞ до ∞ фазовый угол ϕ ( ω ) монотонно изменяется от - π до π (см. рис. 3.2.5.1), т.е. мнимая ось S-плоскости (s = j ω , - ∞ < ω < ∞ ) отображается в единичную ок- ружность Z-плоскости, правая половина S-плоскости – внутрь единичной окружности, а ле- вая половина с полюсами устойчивых аналоговых фильтров – снаружи единичной окружно- сти. Рис. 3.2.5.1 Деформация частотной шкалы Реальное отображение передаточных функций фильтров является непрерывным (в силу своей физической сущности) и для упрощения дальнейших расчетов обычно задается в ана- литической форме в комплексной S-плоскости по частотному аргументу ω от - ∞ до +∞. При билинейном Z-преобразовании происходит нелинейное искажение шкалы частот: полный частотный диапазон от - ∞ до ∞ непрерывных функций в S-плоскости сжимается до главного частотного диапазона от - π / Δ t до π / Δ t дискретных функций в Z-плоскости. При задании уравнений непрерывных передаточных функций в частотной области это должно сопровож- даться соответствующей обратной деформацией частотной шкалы, которая будет скомпен- сирована при билинейном Z-преобразовании. Подставляя в (3.2.5.2) z = exp(-j ωΔ t) и умножая числитель и знаменатель правой части полученного уравнения на exp(j ωΔ t/2), получим: s = (2/ Δ t)[exp(j ωΔ t/2)-exp(-j ωΔ t/2)] / [exp(j ωΔ t/2)+exp(-j ωΔ t/2)], s = (2/ Δ t)th(j ωΔ t/2). (3.2.5.5) Обозначим новую шкалу частот в S-области через индекс ω д (деформированная) и, по- лагая s = j ω д , с учетом тождества th(x) = - jtg(jx), получаем: ω д = (2/ Δ t)tg( ωΔ t/2) = γ tg( ωΔ t/2), - π / Δ t< ω < π / Δ t. (3.2.5.6) Выражение (3.2.5.6) позволяет осуществлять переход от фактических частот ω главного частотного диапазона, которым должен соответствовать оператор РЦФ, к деформированным частотам ω д комплексной p-плоскости, на которой можно задавать требуемую форму переда- точной функции проектируемого фильтра, при этом аппроксимация передаточных функций, учитывая область существования ω от - ∞ до ∞, может производиться многочленами и рацио- нальными функциями. Связь частот приведена на рис. 3.2.5.2 (в начальной части π пространства деформированных частот). ± |