Фильтр. Горный институт Уро ран
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
Порядок фильтра Принимая ω 1 =W с , ω 2 =W s и подставляя в (3.2.1.1.2) значения H(W) с приведенными дан- ными, получим приближенное выражение для определения порядка фильтра по заданному значению К: N = K/6. (3.2.1.1.2') Так, для гарантированного ослабления сигнала в полосе подавления в 100 раз (40 деци- бел) порядок фильтра N = 7. В среднем, при изменении N на единицу коэффициент подавле- ния сигнала изменяется на 6 децибел. Исходные требования к передаточной функции фильтра обычно задаются в виде значе- ний ω p , ω s и коэффициентов неравномерности (пульсаций) A p и A s (см. рис. 3.2.1.1.1). Для определения частоты среза ω c по уровню 0.707 и порядка фильтра введем параметр δ , свя- занный с коэффициентом А р следующим соотношением: (1-А р ) 2 = 1/(1+ δ 2 ). δ = [1/(1-А р )]· 2 ) 1 ( 1 p A − − . (3.2.1.1.3) Для учета деформации частотной шкалы в процессе билинейного преобразования при переходе в дальнейшем к полиномам по Z, выполняем расчет деформированных частот ω dp и ω ds по формулам: ω dp = 2·tg( ω p · Δ t/2)/ Δ t, (3.2.1.1.4) ω ds = 2·tg( ω s · Δ t/2)/ Δ t. При нормированной частоте W = ω / ω dc , где ω dc соответственно также деформированная частота, на границах переходной зоны выполняются равенства: 1/(1+ δ 2 ) = 1/[1+( ω dp / ω dc ) 2N ], (3.2.1.1.5) A s 2 = 1/[1+( ω ds / ω dc ) 2N ]. Отсюда: δ 2 = ( ω dp / ω dc ) 2N , 1/A s 2 - 1 = ( ω ds / ω dc ) 2N . Решая эти два уравнения совместно, находим: N = ln [ δ / 1 / 1 2 − S A ] / ln( ω dp / ω ds ), (3.2.1.1.6) ω dc = ω dp / δ 1/N . (3.2.1.1.7) Функция |H(W)| 2 представляет собой энергетический спектр сигнала (спектральную плотность мощности) и не имеет фазовой характеристики, т.е. является четной веществен- ной, образованной из двух комплексно сопряженных функций H(W)и H*(W), при этом поря- док фильтра N определяет число полюсов функции H(W) и комплексно сопряженных с ними полюсов функции H*(W). Преобразование Лапласа Переводим функцию |H(W)| 2 на координатную ось пространства преобразования Лап- ласа при s = jW, для чего достаточно подставить W = p/j: |H(p)| 2 = 1/[1+(p/j) 2N ]. (3.2.1.1.8) Полюсы функции находятся в точках нулевых значений знаменателя: 1+(p/j) 2N = 0, p = j N 2 1 − . (3.2.1.1.9) Отсюда следует, что полюсы располагаются на единичной окружности в P-плоскости, а их местоположение определяется корнями уравнения (3.2.1.1.9). В полярных координатах: p n = j exp(j π(2n-1)/2N), n = 1,2, ... ,2N. (3.2.1.1.10) p n = j cos[ π(2n-1)/2N] - sin[π(2n-1)/2N]. (3.2.1.1.10') При переходе от нормированных частот W (P-плоскость) к реальным ω (S-плоскость) корни (3.2.1.1.10) следует умножить на частоту среза ω c Как следует из формулы (3.2.1.1.10) и наглядно видно на рис. 3.2.1.1.3, все полюсы с n ≥ N являются комплексно сопряженными с полюсами n плоскости: H(p) = G/B(p), (3.2.1.1.11) где G – масштабный множитель, B(p) – полином Баттерворта: B(p) = B 1 (p) B 2 (p) ... B N (p), (3.2.1.1.12) B B n (p) = p-p n . (3.2.1.1.13) Практическая реализация фильтра Баттерворта при четном значении N производится в виде последовательной каскадной схемы биквадратными блоками, т.е. составными фильтра- ми второго порядка. Для этого множители B(p) в (3.2.1.1.12) объединяются попарно с обоих концов ряда по n (от 1 до N) по комплексно сопряженным полюсам, при этом для каждой па- ры получаем вещественные квадратичные множители: В m (p) = B n (p)·B N+1-n (p) = = [p+j exp(j π (2n-1)/2N)][p+j exp(j π (2(N+1)-2n-1)/2N)] = = [p+j exp(j π (2n-1)/2N)][p-j exp(j π (2n-1)/2N)] = = p 2 +2p sin( π (2m-1)/2N)+1, n = 1,2, ..., N/2; m = n. (3.2.1.1.14) Общее количество секций фильтра M=N/2. При нечетном N к членам (3.2.1.1.14) добав- ляется один линейный множитель с вещественным полюсом p (N+1)/2 = -1, пример положения которого на P-плоскости можно видеть на рисунке 3.2.1.1.3 для N=5: В (N+1)/2 (p)= p+1. (3.2.1.1.15) Машинное время фильтрации на один оператор фильтра первого или второго порядка практически не отличаются, поэтому использование операторов первого порядка можно не рекомендовать и при установлении порядка фильтра по формуле (3.2.1.1.6) округлять рас- четное значение N в сторону большего четного числа, что создает определенный запас по крутизне среза частотной характеристики. Таким образом, передаточная функция ФНЧ Баттерворта в P-области при четном N: H(p) = G 1/B M m 1 = ∏ B m (p) = G 1/(p +a M m 1 = ∏ 2 m p+1), (3.2.1.1.16) a m = 2sin( π (2m-1)/2N), m = 1,2, ... ,N/2. (3.2.1.1.17) При нечетном N: H(p) = (G/p+1) 1/(p 2 / ) 1 ( 1 − = ∏ N m 2 +a m p+1), (3.2.1.1.16') Билинейное преобразование Для перевода передаточной функции фильтра в Z-область производится билинейное преобразование, для чего в выражение (3.2.1.1.16) подставляется параметр p: p = γ ·(1-z)/(1+z). (3.2.1.1.18) С учетом автоматического возврата к нормальной (недеформированной) шкале частот в главном частотном диапазоне Z-преобразования значение коэффициента γ : γ = 2/( Δ t·ω dc ). (3.2.1.1.19) После перехода в Z-область и приведения уравнения передаточной функции в типовую форму, для четного N получаем передаточную функцию из М=N/2биквадратных блоков: H(z) = G G M m 1 = ∏ m (1+z) 2 /(1-b m z+c m z 2 ). (3.2.1.1.20) G m = 1/( γ 2 + a m γ + 1). (3.2.1.1.21) b m = 2·G m ( γ 2 - 1). (3.2.1.1.22) c m = G m ( γ 2 - a m γ + 1). (3.2.1.1.23) Сами полюсы на Z-плоскости получаются из полюсов на P-плоскости с помощью пре- образования, обратному (3.2.1.1.18) p p z + − = γ γ , (3.2.1.1.18') при этом в числителе на Z-плоскости появляется N одинаковых нулей на (z n =-1). При любом нечетном N добавляется один постоянный линейный блок первого порядка, который можно считать нулевым блоком фильтра (m=0): H(z) = G 1) 1)/( - ( - 1 1) /( ) 1 ( + + + γ γ γ z z 2 / ) 1 ( 1 − = ∏ N m G m (1+z) 2 /(1-b m z+c m z 2 ), (3.2.1.1.24) при этом, естественно, в выражении (3.2.1.1.24) используются значения коэффициентов G m , b m и c m , вычисленные по (3.2.1.1.21-3.2.1.1.23) для данного нечетного значения N. При z=exp(-j ω )главный диапазон функций H(z)от - π до π . Для получения передаточ- ной функции в шкале физических частот достаточно вместо z в выражения (3.2.1.1.20, 3.2.1.1.24) подставить значение z=exp(-j ωΔ t), где Δ t – физический интервал дискретизации данных, и проверить соответствие расчетной передаточной функции заданным условиям. Особенностью ФНЧ на Z-плоскости является то, что в его числителе имеется только вещественные корни-нули, равные (-1 + j0). Если порядок фильтра нечетный, то один нуль с таким значением будет непарным, что оказывает влияние на передаточную функцию – она будет иметь сдвиг на величину π от аналогичной функции, заданной на S-плоскости. Для то- го чтобы избежать этого, в передаточной функции при нечетном порядке фильтра следует использовать отрицательное значение G. Фильтрация во временной области Во временной области фильтрация выполняется последовательной сверткой входного сигнала с операторами ячеек фильтра: y k = x k * {h 0 (i)} * h 1 (i) * … * h М (i), i = 0,1,2. Уравнение рекурсивной фильтрации для m-го оператора фильтра: y k = G m (x k +2x k-1 +x k-2 ) + b m y k-1 - c m y k-2 . (3.2.1.1.25) Уравнение рекурсивной фильтрации для дополнительного h 0 (i) линейного оператора фильтра при нечетном N: y 0 = (x k +x k-1 )/( γ +1) + y k-1 ·( γ -1)/( γ +1). (3.2.1.1.26) Значение множителя G в общем случае находится нормировкой к 1 коэффициента пе- редачи фильтра при ω = 0. Для ФНЧ и ФВЧ при использовании вышеприведенных формул значение G равно 1. Пример расчета Рассмотрим последовательность расчета конкретного фильтра низких частот с приме- нением приводимых формул. Для расчета примем следующие исходные параметры фильтра: – Шаг дискретизации данных Δ t = 0.0005 сек. – Частота Найквиста f N = 1/2 Δ t = 1000 Гц, ω N = 6.283·10 3 рад. – Граничная частота полосы пропускания: f p = 300 Гц, ω p = 1.885·10 3 рад. – Граничная частота полосы подавления: f s = 500 Гц, ω s = 3.142·10 3 рад. – Коэффициенты неравномерности: А р = А s = 0.1. Расчет дополнительных параметров: 1. Значение δ по формуле (3.2.1.1.3) или по ее эквиваленту δ = A p 1 / 2 − p A /(1-A p ): δ = 0.484. 2. Деформированные частоты по формуле (3.2.1.1.4): ω dp = 2.038·10 3 рад. ω ds = 4·10 3 рад. 3. Порядок фильтра по формуле (3.2.1.1.6): N = 4.483. Для пояснения дальнейшего порядка расчетов при четном и нечетном порядке фильтра, принимаем N1=4, N2=5. 4. Частота среза фильтра по формуле (3.2.1.1.7): ω dc (N1) = 2.443·10 3 рад (389 Гц), ω dc (N2) = 2.356·10 3 рад (375 Гц). Частота среза фильтра на недеформированной шкале частот по формуле (3.2.1.1.1') ω c (N1) = 2.193·10 3 рад (349 Гц), ω c (N2) = 2.129·10 3 рад (339 Гц). 5. По формуле H(w) = ) w 1/(1 2N + , w = ω/ω dc , для контроля строим графики переда- точных функций (рис. 3.2.1.1.2). Рис. 3.2.1.1.2 6. Вычисляем значения полюсов фильтра по формуле (3.2.1.1.10). Значения полюсов и их расположение на P-плоскости приведены на рис. 3.2.1.1.3. Положение первого полюса отмечено. Нумерация полюсов идет против часовой стрелки. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p n , N=4 -0.383 +0.924j -0.924 +0.383j -0.924 -0.383j -0.383 -0.924j 0.383 -0.924j 0.924 -0.383j 0.924 +0.383j 0.383 +0.924j p n , N=5 -0.309 +0.951j -0.809 +0.588j -1 -0.809 -0.588j -0.309 -0.951j 0.309 -0.951j 0.809 -0.588j 1 0.809 +0.588j 0.309 +0.951j Рис. 3.2.1.1.3. Положение полюсов на P-плоскости Соответствующие значения полюсов фильтра на S-плоскости будут больше представ- ленных выше в ω c раз. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 s n , N=4 -840 +2026j -2026 +840j -2026 -840j -840 -2026j 840 -2026j 2026 -840j 2026 +840j 840 +2026j s n , N=5 -658 +2025j -1722 +1252j -2129 -1722 -1252j -658 -2025j 658 -2025j 1722 -1252j 2129 1722 +1252j 658 +2025j 7. Вычисляем значения коэффициентов a m по формуле (3.2.1.1.17): - N=4: a 1 = 0.765, a 2 = 1.848. - N=5: a 1 = 0.618, a 2 = 1.618. 8. Вычисляем значения коэффициентов G m , b m и c m : - N=4: γ = 1.637, G 1 = 0.203, G 2 = 0.149, b 1 = 0.681, b 2 = 0.501, c 1 = 0.492, c 2 = 0.098. - N=5: γ = 1.698, G 1 = 0.203, G 2 = 0.151, b 1 = 0.763, b 2 = 0.568, c 1 = 0.574, c 2 = 0.171. 9. Подставляем вычисленные коэффициенты в выражения (3.2.1.1.20, 3.2.1.1.24) и вы- числяем значения передаточных функций при z = exp(-j ωΔ t). Графики полученных функций приведены на рис. 3.2.1.1.4а. На рис. 3.2.1.1.4б приведена фазочастотная характеристика фильтра (сплошная кривая) и групповое время задержки (пунктир) при N=4. Нелинейность ГВЗ в полосе пропускания, в принципе, не так велика, но начинает расти при увеличении по- рядка фильтра. а) б) Рис. 3.2.1.1.4 10. Каждый оператор фильтра имеет определенную передаточную функцию, что можно видеть на рис. 3.2.1.1.5. Порядок последовательной свертки сигнала с операторами фильтра значения не имеет. Рис. 3.2.1.1.5 11. Для оценки длительности импульсной реакции фильтра подаем на вход фильтра импульс Кронекера на отсчете k = 3, и начинаем фильтрацию со второго отсчета (что обеспе- чивает начальные условия фильтрации на точках k=0 и k=1). Сигналы на выходе первой и второй секции фильтра приведены на рис. 3.2.1.1.6. Рис. 3.2.1.1.6 Каждая секция фильтра дает определенный сдвиг фазы сигнала, но их значение для секций не является одинаковым и устранение сдвига фазы сверткой сигнала с последова- тельным изменением направления свертки по секциям результата, как правило, не дает. 12. Коэффициент усиления дисперсии шумов (сумма квадратов значений импульсного отклика) равен 0.341 при N=5, и 0.278 при N=4. 3.2.1.2. Фильтр верхних частот Синтез фильтров методом частотного преобразования Высокочастотные и полосовые фильтры конструируются путем частотной трансформа- ции передаточных функций фильтров низких частот. Если обозначить аргумент передаточ- ных функций ФНЧ через p=jW, a функций ФВЧ и ПФ через p’=jw, то всегда можно найти такую функцию частотного преобразования p=F(p’), которая превращает один тип фильтров в другой. Для преобразования ФНЧ → ФВЧ функция частотного преобразования имеет вид: p = 1/p’, (3.2.1.2.1) В этом нетрудно убедиться сравнением двух видов преобразования. Как известно, пе- редаточная функция ФВЧ может быть получена из ФНЧ разностью между широкополосным фильтром (H( ω )=1) и ФНЧ. Применяя этот метод для функции Баттерворта, получаем: |H(w)| 2 = 1-|H(W)| 2 = 1- 1/(1+W 2N ) = W 2N /(1+W 2N ). (3.2.1.2.2) С другой стороны, при W = p/j: |H(p)| 2 = 1/(1-p 2N ). Выполняя подстановку (3.2.1.2.1) в это выражение, получаем: |H(p’)| 2 = p’ 2N /(p’ 2N -1). Возвратимся из последнего выражения к аргументу w с учетом принятого равенства p’=jw: |H(p’)| 2 = (jw) 2N /((jw) 2N -1) =(w) 2N /(1+(w) 2N ), что полностью повторяет (3.2.1.2.2) при w=W. Подставляя новый преобразованный аргумент p=1/p’ (3.2.1.2.1) непосредственно в вы- ражение H(p) (3.2.1.1.16) для четного значения N, получаем выражение ФВЧ в P’-плоскости: H(p’) = G p’ 2 / 1 N m = ∏ 2 /(p’ 2 +a m p’+1). (3.2.1.2.3) Для нечетного N: H(p’) = [G·p’/(p’+1)] p’ 2 / 1 N m = ∏ 2 /(p’ 2 +a m p’+1). (3.2.1.2.4) После билинейного Z-преобразования выражения с подстановкой p’= γ (1-z)/(1+z), для четного и нечетного значений N соответственно: H(z) = G γ 2 / 1 N m = ∏ 2 ·G m ·(1-z) 2 /(1-b m z+c m z 2 ). (3.2.1.2.5) H(z) = G 1) 1)/( - ( - 1 1) /( ) 1 ( + + − γ γ γ γ z z 2 / 1 N m = ∏ γ 2 ·G m ·(1-z) 2 /(1-b m z+c m z 2 ). (3.2.1.2.6) G m = 1/( γ 2 + a m γ + 1). (3.2.1.2.7) b m = 2·G m ( γ 2 - 1). c m = G m ( γ 2 - a m γ + 1). Значения корней-полюсов на P-плоскости будут равны, согласно (3.2.1.2.1), обратным значениям уравнений (3.2.1.1.10). Их также можно преобразовать к реальным частотам S- плоскости посредством умножения на частоту среза. Появившийся в числителе (3.2.1.2.3) и (3.2.1.2.4) член p’ свидетельствует о наличии в передаточной функции на P- и S-плоскости N нулей, каждый из которых равен 0. На Z-плоскость корни трансформируются согласно (3.2.1.1.18'), при этом все нули, как можно видеть из (3.2.1.2.5), становятся равными 1. Значения коэффициентов G m , b m , c m остаются без изменения (сравнить с (3.2.1.1.21- 3.2.1.1.23)). При задании частотных параметров ФВЧ в том же виде, что и для ФНЧ, формула расчетов N и ω dc получается аналогично ФНЧ, при этом в знаменателе выражения (3.2.1.1.6) отношение ω dp / ω ds заменяется на ω ds / ω dp : N = ln [ δ / 1 / 1 2 − S A ] / ln( ω ds / ω dp ), (3.2.1.2.8) а в (3.2.1.1.7) деление членов правой части меняется на умножение: ω dc = ω dp · δ 1/N . (3.2.1.2.9) |