Фильтр. Горный институт Уро ран
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
Пример расчета фильтра Исходные параметры фильтра: – Шаг дискретизации данных Δ t = 0.0005 сек. – Частота Найквиста f N = 1/2 Δ t = 1000 Гц, ω N = 6.283·10 3 рад. – Граничная частота полосы пропускания: f p = 700 Гц, ω p = 4.398·10 3 рад. – Граничная частота полосы подавления: f s = 500 Гц, ω s = 3.142·10 3 рад. – Коэффициенты неравномерности: А р = А s = 0.1. Расчет дополнительных параметров: 1. δ = A p 1 / 2 − P A /(1-A p ): δ = 0.484. 2. Деформированные частоты по формуле (3.2.1.1.4): ω dp = 7.85·10 3 рад. ω ds = 4·10 3 рад. 3. Порядок фильтра по формуле (3.2.1.2.8): N = 4.483. Для расчетов принимаем N=4. 4. Частота среза фильтра по формуле (3.2.1.2.9): ω dc = 6.549·10 3 рад (1042 Гц), 5. Строим график функции H(w) = ) /(1 2N 2N w w + , w = ω/ω dc , (рис.3.2.1.2.1). Рис. 3.2.1.2.1 6. Полюсы s n фильтра полностью повторяют полюсы ФНЧ (рис. 3.2.1.1.3), а, соответст- венно, повторяются и значения коэффициентов a m 7. γ = 0.611, G 1 = 0.543, G 2 = 0.4, b 1 = -0.681, b 2 = -0.501, c 1 = 0.492, c 2 = 0.098. При сравнении выражений (3.2.1.1.20) и (3.2.1.2.5), а также коэффициентов b m , c m и ко- эффициентов в числителе передаточных функций ФВЧ с соответствующими коэффициента- ми ФНЧ предыдущего примера можно заметить, что в данном фильтре относительно ФНЧ произошла только смена знаков коэффициентов при нечетных степенях z. Это объясняется тем, что заданные в данном примере параметры ФВЧ по частоте соответствуют частотному реверсу ФНЧ: ω ' = π - ω , что приводит к частотному реверсу передаточной функции низко- частотного фильтра и превращению его в высокочастотный фильтр. Этот способ обращения ФНЧ также может использоваться для расчетов ФВЧ. 8. Импульсная реакция фильтра, вычисленная по (3.2.1.2.10) при подаче на вход фильт- ра импульса Кронекера приведена на рис. 3.2.1.2.2. Рис. 3.2.1.2.2. 3.2.1.3. Полосовой фильтр Как известно, полосовой фильтр можно получить непосредственной комбинацией низ- кочастотного и высокочастотного фильтра при перекрытии полосы пропускания фильтров. Аналогичный эффект достигается и частотным преобразованием ФНЧ, которое в этом слу- чае имеет вид: p’ = p+1/p. (3.2.1.3.1) Подставив в (3.2.1.3.1) значения p = jW и p’ = jw, получим: W = [w 2 -1]/w, w 2 -Ww-1 = 0. (3.2.1.3.2) Корни уравнения (3.2.1.3.2): (w) 1,2 = W/2 ± 1 ) 2 / ( 2 + W . (3.2.1.3.3) Расщепление спектра При W=0 имеем w = 1, т.е. центр полосы пропускания ФНЧ (от -W ± с до +W с )расщепля- ется на два (как и положено, для полосовых фильтров) и смещается в точки w = 1. Подста- вив в (3.2.1.3.3) граничную частоту W ± с =1 нормированного ФНЧ, определяем граничные час- тоты нормированного полосового фильтра в виде пары сопряженных частот: w 1 = 0.618, w ± 2 = 1.618 ± Сущность произведенного преобразования наглядно видна на рис. 3.2.1.3.1. Ширина полосы пропускания нормированного ПФ равна 1. Рис. 3.2.1.3.1. Расщепление полосы Полученное преобразование можно распространить на полосовой фильтр с ненормиро- ванными частотами ω н и ω в Введем понятие геометрической средней частоты фильтра ω о : ω о = в н ω ω . (3.2.1.3.4) Ширина полосы пропускания ПФ связана (см. рис.3.2.1.3.1) с граничной частотой ФНЧ соотношением: Δω = ω в - ω н = ω с = ω н . В долях средней геометрической частоты: W н = ( ω в - ω н )/ ω о = W с . (3.2.1.3.5) Заменяя в (3.2.1.3.4-3.2.1.3.5) значение ω в на произвольную частоту ω и подставляя в (3.2.1.3.5) значение ω н = ω о 2 /ω· из (3.2.1.3.4), получаем произвольную частоту W: W = ( ω - ω н )/ ω о = ω / ω o - ω o / ω . (3.2.1.3.6) Отсюда, в выражении (3.2.1.1.1) вместо нормированной частоты W = ω / ω с можно при- менить функцию частоты полосового фильтра w( ω ): w( ω ) = ( ω 2 - ω о 2 )/[ ω ( ω в - ω н )], или, подставляя (3.2.1.3.4) вместо ω о : w( ω ) = ( ω 2 - ω н ω в )/[ ω ( ω в - ω н )]. (3.2.1.3.7) Тем самым передаточная функция ФНЧ выражается в единицах, которые позволяют после применения преобразования (3.2.1.3.1) использовать для задания необходимые гра- ничные частоты ω н и ω в полосового фильтра. Полосовой фильтр на P- и S-плоскости С учетом деформации частот, принимаем p = jw = j( ω 2 - ω dн ω dв )/[ ω ( ω dв - ω dн )], s= jω и за- меняем ω = s/j в выражении р: р = (s 2 + ω dн ω dв )/[s( ω dв - ω dн )], s 2 -p( ω dв - ω dн )s+ ω dн ω dв = 0. (3.2.1.3.8) Корни уравнения (3.2.1.3.8) определяют местоположение полюсов ПФ: s = s* = p( ω dв - ω dн )/2 ± dн dв dн dв p ω ω ω ω − − 2 ] 2 / ) ( [ . (3.2.1.3.9) Уравнение (3.2.1.3.9) показывает расщепление каждого P-полюса, определяемых выра- жением (3.2.1.1.14), на два комплексно сопряженных полюса S-плоскости, произведение ко- торых будет давать вещественные биквадратные блоки в S-плоскости. При этом следует учесть то обстоятельство, что устойчивому рекурсивному фильтру на Z-плоскости должны соответствовать полюса только одной (левой) половины P- или S-плоскости. Передаточная функция При применении преобразования (3.2.1.3.1) к передаточной функции в полиномиальной форме (3.2.1.1.11), получаем: H(p) = G 1/(p-p N m 1 = ∏ m ) Ù G s/(s N m 1 = ∏ 2 -p m s+1) = H(s), (3.2.1.3.10) Выражение (3.2.1.3.10) не требует нахождения полюсов, так как они уже известны и определяются выражением (3.2.1.3.9). С учетом этого функция H(s) может быть записана с объединением в биквадратные блоки комплексно сопряженных полюсов с вещественными коэффициентами: H(s) = G s/[(s-s N m 1 = ∏ m )(s-s* m )] = G s/(s N m 1 = ∏ 2 +a m s+g m ), (3.2.1.3.11) где значения а m и g m могут быть определены непосредственно по полюсам (3.2.1.3.9): a m = -2 s m .Re, g m = s m .Re 2 + s m .Im 2 = |s m | 2 . (3.2.1.3.12) По приведенному примеру можно заметить, что при использовании ненормированных частот ω , достаточно существенных по своей величине, значения S-полюсов и, соответствен- но, величины коэффициентов а m и g m имеют большие порядки, что нежелательно для даль- нейших расчетов и может приводить к появлению погрешностей при ограничении разрядно- сти. Для исключения этого фактора значения полюсов s n рекомендуется пронормировать на среднюю геометрическую частоту: s n = s n / ω o . Коэффициент γ билинейного преобразования для ненормированных значений ω и по- люсов s n имеет классическую форму: γ = 2/ Δ t. Соответственно, для нормированных значе- ний: γ = 2/( Δ t· ω o ). После билинейного Z-преобразования выражения (3.2.1.3.11), получаем: H(z) = G G N 1 m = ∏ m (1-z 2 )/(1-b m z+c m z 2 ). (3.2.1.3.13) G m = 1/( γ +a m +g m γ -1 ). (3.2.1.3.14) b m = 2G m ( γ -g m γ -1 ). (3.2.1.3.15) c m = G m ( γ -a m +g m γ -1 ). (3.2.1.3.16) Разные значения множителей G m в секциях фильтра обычно опускаются и нормировкой H(z) к 1 на геометрической средней частоте фильтра определяют общий множитель G, что ускоряет вычисления: G = 1/H(exp(-j Δ t ω o )). (3.2.1.3.17) При очень малой величине порядка значения G для исключения и накопления аппарат- ных ошибок вычислений можно применять и другой метод: устанавливать для всех секций постоянное значение G m = const, такое, при котором G = 1. Пример расчета фильтра Исходные параметры фильтра: – Шаг дискретизации данных Δ t = 0.0005 сек. – Частота Найквиста f N = 1/2 Δ t = 1000 Гц, ω N = 6.283·10 3 рад. – Нижняя граничная частота полосы пропускания: f н = 340 Гц, ω н = 2.136·10 3 рад. – Верхняя граничная частота полосы пропускания: f в = 470 Гц, ω в = 2.953·10 3 рад. – Крутизна срезов в децибелах на октаву: К р = 45. Расчет параметров: 1. Порядок фильтра по формуле (3.2.1.1.6'): N = К р /6 = 45/6 = 7.5. Для расчетов принимаем N=8. 2. Строим график функции H( ω ) = ) ) ( 1 /( 1 2 N w ω + с использованием выражения (3.2.1.3.7). Передаточная характеристика фильтра приведена на рис. 3.2.1.3.2. Рис. 3.2.1.3.2 3. Деформированные частоты по формуле (3.2.1.1.4): ω dн = 2.366·10 3 рад. ω dв = 3.64·10 3 рад. ω do = 2.934·10 3 4. Полюса фильтра на единичной окружности в р-плоскости: p n = j·exp[j· π (2n-1)/2N], n = 1,2,…,N. Положение полюсов приведено на рис. 3.2.1.3.3. 5. Полюса в левой половине S-плоскости, n = 1,2,…,2N (приведены на рис. 3.2.1.3.4): dн dв dн dв n n dн dв n n p p s ω ω ω ω ω ω − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 1 int 1 2 1 int 2 ) 1 ( 2 Рис. 3.2.1.3.3 Рис. 3.2.1.3.4 6. По полученным значениям полюсов вычисляем коэффициенты a m и g m (3.2.1.3.12), m = n. a m = 196.8, 300.4, 581.2, 834.5, 930.5, 1188, 1196, 1304. g m = 5.64·10 6 , 1.314·10 7 , 5.997·10 6 , 1.236·10 7 , 6.742·10 6 , 1.1·10 7 , 7.895·10 6 , 9.39·10 6 6'. Значения коэффициентов a m и g m (3.2.1.3.12), вычисленные по нормированным зна- чениям s n .(используются в дальнейших расчетах) a m = 0.067, 0.102, 0.198, 0.284, 0.317, 0.405, 0.407, 0.444. g m = 0.655, 1.527, 0.697, 1.436, 0.783, 1.277, 0.917, 1.091. 7. Значения коэффициента γ : γ = 1.363. 8. Значения коэффициентов G m по (3.2.1.3.14): G m = 0.523, 0.387, 0.483, 0.37, 0.444, 0.37, 0.409, 0.384. 9. Значения коэффициентов b m по (3.2.1.3.15): b m = 0.924, 0.188, 0.823, 0.23, 0.7, 0.315, 0.565, 0.432. 10. Значения коэффициентов c m по (3.2.1.3.16): c m = 0.93, 0.921, 0.809, 0.789, 0.719, 0.701, 0.666, 0.659. 11. Общий нормировочный множитель G: G = 1.264·10 -3 12. Заключительная передаточная функция: [ ] ∏ = Δ − + Δ − − Δ − − = N m m m m t j c t j b t j G G H 1 2 2 )) (exp( ) exp( 1 )) (exp( 1 ) ( ω ω ω ω При построении графика данной функции можно убедиться, что она полностью соот- ветствует рисунку 3.2.1.3.2. 13. Уравнение первой секции фильтра: y 1,k = G 1 ·(x k - x k-2 ) + b 1 y k-1 – c 1 y k-2 . Уравнение для последующих секций y m,k = G m ·(y m-1,k - y m-1,k-2 ) + b m y m,k-1 – c m y m,k-2 . 3.2.1.4. Полосовой заградительный фильтр Заградительный фильтр на S-плоскости Если применить обратное частотное преобразование p = s( ω в - ω н )/(s 2 + ω в ω н ), то в результате будет получен полосовой заградительный фильтр (ПЗФ). Запишем уравнение (3.2.1.3.8) в виде: p s 2 - s( ω в - ω н ) +p ω в ω н = 0. (3.2.1.4.1) Корни уравнения (3.2.1.4.1) определяют местоположение полюсов ПЗФ: в н н в н в p p s s ω ω ω ω ω ω − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ± − = = 2 * 2 2 , (3.2.1.4.2) но они полностью идентичны корням (3.2.1.3.9) Передаточная функция Вместо преобразования (3.2.1.3.1) p=s+1/s воспользуемся обратным p=1/(s+1/s), что эк- вивалентно p = s/(s 2 +1). При применении этого преобразования к передаточной функции в полиномиальной форме (3.2.1.1.11), получаем: H(p) = G 1/(p-p N m 1 = ∏ m ) Ù G (1+s N m 1 = ∏ 2 )/(-p m s 2 +s-p m ) = H(s), (3.2.1.4.3) Выражение (3.2.1.4.3) не требует нахождения полюсов, т.к. они уже известны и опреде- ляются выражением (3.2.1.4.2). С учетом этого функция H(s)может быть записана с объеди- нением в биквадратные блоки комплексно сопряженных полюсов с вещественными коэффи- циентами: H(s) = G (1+s N m 1 = ∏ 2 )/[(s-s m )(s-s* m )] = G (1+s N m 1 = ∏ 2 )/(s 2 +a m s+ с m ), (3.2.1.4.4) где значения а m и g m могут быть определены непосредственно по полюсам (3.2.1.4.2): a m = -2 s m .Re, с m = s m .Re 2 + s m .Im 2 = |s m | 2 . (3.2.1.4.5) Для снижения фактора появления погрешностей при ограничении разрядности значе- ния полюсов s n рекомендуется пронормировать на среднюю геометрическую частоту: s n = s n / ω o Коэффициент γ билинейного преобразования для ненормированных значений ω и по- люсов s n имеет классическую форму: γ = 2/ Δ t. Соответственно, для нормированных значе- ний: γ = 2/( Δ t· ω o ). Новое выражение (3.2.1.4.4) отличается от (3.2.1.3.11) множителем (s 2 +1)/s, поэтому после билинейного Z-преобразования выражения (3.2.1.4.4), получаем вы- ражение, которое отличается от (3.2.1.3.13), построенного для полосового фильтра, лишь числителем: H(z) = G (g N m 1 = ∏ m +d m z+g m z 2 )/(1-b m z+c m z 2 ). (3.2.1.4.6) g m = γ + γ -1 , d m =2( γ -1 - γ ). Нули, задаваемые числителем, есть не что иное, как точки на единичной окружности, соответствующие геометрической средней частоте: z n = cos( ω 0 Δ t)± j sin( ω 0 Δ t). |