Фильтр. Горный институт Уро ран
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
Загрузить \ Тестовый свип-сигнал. Используются следующие параметры тесто- вого сигнала: 1) в интервале от 0 до 1 с сигнал имеет нулевой уровень; 2) в интервале от 1 до 50 с присутствует синусоида с амплитудой 1 и частотой, посте- пенно меняющейся от F N /2000 до F N /2, где F N – частота Найквиста; 3) в интервале от 50 до 60 с частота продолжает линейно увеличиваться, но амплитуда линейно уменьшается до 0; 4) в интервале от 60 до 100 с сигнал имеет нулевое значение. В таком виде частота тестового сигнала имеет привязку к шкале времени (мгновенная частота в Гц равна времени в секундах), в результате чего на тестовом сигнале легко контро- лировать фильтрацию нужных частот. 4.5. Трансформации передаточных функций В процессе расчета фильтров в приложении каждый раз обновляются параметры пяти видов представления их передаточных функций (ПФФ): ZP на S-плоскости, ZP на Z- плоскости, C на S-плоскости, C на Z-плоскости и FAP в частотной области. Последний вид представления в принципе реализуем для каждого из первых четырех, но визуализируется одновременно только с одним из них, который в данный момент считается текущим. Обнов- ление всех видов ПФФ при расчете происходит синхронно, так что при выборе любого из них в качестве текущего их FAP будут идентичны друг другу. Идентичность может нару- шиться, если после расчета фильтра продолжается изменение текущего представления по- средством уточнения аппроксимации или ручной правкой каких-либо параметров. Для вос- становления синхронизации ПФФ в приложении реализовано несколько видов преобразова- ний: 1. преобразование передаточной функции, заданной полюсами и нулями на S- плоскости (S-ZP), в частотно-дискретный набор амплитуд и фаз (FAP); 2. преобразование передаточной функции, заданной полюсами и нулями на Z- плоскости (Z-ZP), в частотно-дискретный набор амплитуд и фаз (FAP); 3. преобразование передаточной функции, заданной коэффициентами каскада би- квадратных блоков на S-плоскости (S-С), в частотно-дискретный набор амплитуд и фаз (FAP); 4. преобразование передаточной функции, заданной коэффициентами каскада би- квадратных блоков на Z-плоскости (Z-С), в частотно-дискретный набор ампли- туд и фаз (FAP); 5. преобразование полюсов и нулей передаточной функции из S-плоскости (S-ZP) в Z-плоскость (Z-ZP); 6. преобразование полюсов и нулей передаточной функции из Z-плоскости (Z-ZP) в S-плоскость (S-ZP); 7. преобразование передаточной функции, заданной полюсами и нулями на S- плоскости (S-ZP), в коэффициенты каскада биквадратных блоков (S-С); 8. преобразование передаточной функции, заданной коэффициентами каскада би- квадратных блоков на S-плоскости (S-С) в полюсы и нули (S-ZP); 9. преобразование передаточной функции, заданной полюсами и нулями на Z- плоскости (Z-ZP), в коэффициенты каскада биквадратных блоков (Z-С); 10. преобразование передаточной функции, заданной коэффициентами каскада би- квадратных блоков на Z-плоскости (Z-С) в полюсы и нули (Z-ZP); 11. аппроксимация дискретного набора амплитуд и фаз (FAP) передаточной функ- цией в четырех вариантах представления (S-ZP, Z-ZP, S-C и Z-C). 12. преобразование АЧХ в ФЧХ. S-ZP S-C Z-ZP 6 5 FAP А Ч Х Ф Ч Х 10 9 Z-C 8 7 1 2 3 4 12 11 11 11 11 Рассмотрим способы выполнения и особенности трансформаций более подробно. На представленной схеме (рис. 4.5.1) можно видеть, какие основные варианты синхро- низации обеспечивают непосредственное или опосредованное преобразование одного вида ППФ в другой. 4.5.1. S-ZP → FAP, Z-ZP → FAP, S-C → FAP и Z-C → FAP Данные преобразования выполняются каждый раз при расчете текущего фильтра. Кон- кретный вид преобразования зависит от того, что выбрано в качестве Области отображе- ния и Способа представления фильтра. Если выбрана S-плоскость, то будет выполняться трансформация S-ZP → FAP при способе представления полюсами и нулями и S-С → FAP при способе представления коэффициентами. Если выбранаZ-плоскость, то будет выпол- няться трансформация Z-ZP → FAP при способе представления полюсами и нулями и Z-С → FAP при способе представления. Расчет фильтра выполняется кнопкой Рассчитать или при смене Типа фильтра на вкладке Расчет фильтров. Также эти трансформации выполняются по завершению автоматической аппроксима- ции АЧХ. Однако могут возникнуть ситуации, когда передаточная функция изменяется вручную посредством редактирования нормировочного коэффициента фильтра, перемеще- ния корней на комплексной плоскости или посредством их правки в списках на вкладке Пе- редаточная функция . Для этих случаев имеется отдельная команда трансформации – Теку- щий фильтр -> Частота, амплитуда, фаза , доступная из меню Конвертеры. При преоб- разовании, безусловно, важно, что именно выбрано в качестве Области отображения и Способа представления фильтра (см. выше). Трансформация в FAP выполняется следующим образом. На S-плоскости: Каждому дискретному значению частоты f [Гц] ставится в соответствие комплексная переменная s = j2 π f, для которой рассчитывается комплексное значение передаточной функ- ции H(s). Амплитуда фильтра на частоте f будет равна модулю H(s) A(s) = |H(s)| = 2 2 Im ). ( Re ). ( s H s H + . (4.5.1.1) Фаза будет определяться из соотношения P(s) = arctg[H(s).Im/H(s).Re]. (4.5.1.2) На Z-плоскости: Каждому дискретному значению частоты f [Гц] ставится в соответствие зависящая от шага дискретизации Δ t [c] комплексная переменная z = exp(j2 π f Δ t), для которой рассчитыва- ется комплексное значение передаточной функции H(z). Амплитуда фильтра на частоте f будет равна модулю H(z), рассчитываемого с помощью (4.5.1.1). Фаза будет определяться из соотношения (4.5.1.2). Результат трансформации (Рассчитанные АЧХ, ФЧХ и ГВЗ) отображается на диа- грамме графиков. 4.5.2. S-ZP → Z-ZP При выполнении данной трансформации используется теоретическая связь корней на S- и Z-плоскостях (3.2.5.1), лежащая в основе билинейного Z-преобразования. Однако данная связь полностью применима лишь к полюсам передаточных функций. Для нулей она справедлива с несколькими замечаниями: 1) при переходе из S-плоскости в Z-плоскость происходит деформация частот, поэтому переменные s, лежащие на мнимой оси и превышающие по модулю порог S N , соответствую- щий частоте Найквиста f N , следует считать равными S N , иначе значение z будет определяться остатком от деления s на S N , что физически неверно. 2) количество нулей на S-плоскости может не совпадать с количеством нулей на Z- плоскости. Количество нулей и полюсов на Z-плоскости совпадает. 3) отсутствующий нуль на S-плоскости означает его наличие на бесконечности, что на Z-плоскости, принимая во внимание 1-е замечание, эквивалентно нулю со значением (-1+0j). Данная трансформация выполняется по команде S-полюсы и нули -> Z-полюсы и нули в меню Конвертеры. Результаты трансформации можно увидеть на диаграмме графиков и комплексной плоскости, выбрав на вкладке Передаточная функция в качестве области ото- бражения Z-плоскость и способ представления Полюсы и нули. 4.5.3. Z-ZP → S-ZP При выполнении данной трансформации используется теоретическая связь корней на S- и Z-плоскостях, обратная выражению (3.2.5.1). Однако данная связь полностью применима лишь к полюсам передаточных функций. Для нулей она справедлива с несколькими замечаниями: 1) количество нулей на Z-плоскости может быть больше количества нулей на S- плоскости. Количество нулей и полюсов на Z-плоскости совпадает. 2) нуль, имеющий значение (-1+0j) на Z-плоскости соответствует бесконечной частоте на S-плоскости, что означает его отсутствие там. Данная трансформация выполняется по команде Z-полюсы и нули -> S-полюсы и нули в меню Конвертеры. Результаты трансформации можно увидеть на диаграмме графиков и комплексной плоскости, выбрав на вкладке Передаточная функция в качестве области ото- бражения S-плоскость и способ представления Полюсы и нули. 4.5.4. S-ZP → S-C, Z-ZP → Z-C Корни физически реализуемых фильтров на S- или Z-плоскости всегда являются ком- плексно сопряженными, если их четное количество. Если их количество нечетное, то один из корней является вещественным. Это свойство обуславливает возможность объединения от- дельных блоков фильтра, содержащих сопряженные комплексные корни, в биквадратные блоки, в результате чего каждая пара комплексных корней заменяется тройкой веществен- ных коэффициентов a 0 , a 1 и a 2 многочлена 2-го порядка: (z – z 0 )(z – z 0 * ) = (z – z 0 .Re – j z 0 .Im)(z – z 0 .Re + j z 0 .Im) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 , (4.5.4.1) где a 0 = |z 0 |, a 1 = -2 z 0 .Re, a 2 = 1. Непарный блок с вещественным корнем может использоваться непосредственно, в ре- зультате чего он заменяется парой коэффициентов a 0 и a 1 многочлена 1-го порядка: z – z 0 = a 1 z + a 0 , (4.5.4.2) где a 1 = 1, a 0 = -z 0 Если несколько корней передаточной функции являются вещественными (иногда это характерно для нулей), они объединяются в пары, также образуя биквадратные блоки, с тройками вещественных коэффициентов a 0 , a 1 и a 2 : (z – z 0 )(z – z 1 ) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 , (4.5.4.3) где a 0 = z 0 z 1 , a 1 = -z 0 -z 1 , a 2 = 1. В конечном итоге получается новый способ представления передаточной функции, ко- торый полностью идентичен исходному. Если исходное представление было создано на S- плоскости, то и результирующее тоже находиться в этом пространстве. Если на первичное представление было обозначено на Z-плоскости, то новый полином также будет определен на Z-плоскости. Теоретически также возможно преобразование всей совокупности нулей или полюсов в многочлен K-го порядка, где K – количество нулей или полюсов. Практически такая транс- формация в приложении НЕ РЕАЛИЗОВАНА, однако она может выполняться через симмет- рические полиномы ( Корн, 1968 ). Так, например, для K = 4 эти коэффициенты выражаются следующим образом: ; ; ; ; ; 5 4 3 2 1 4 2 1 3 1 4 1 5 1 3 2 4 2 5 2 4 3 5 3 5 4 3 3 2 1 4 2 1 5 2 1 4 3 1 5 3 1 5 4 1 4 3 2 5 3 2 5 4 2 5 4 3 2 4 3 2 1 5 3 2 1 5 4 2 1 5 4 3 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 0 z z z z z a z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z a z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z a z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z a z z z z z a − − − − − = + + + + + + + + + = − − − − − − − − − − = + + + + = − = (4.5.4.4) Преобразование полюсов и нулей в коэффициенты выполняется по команде Полюсы и нули -> Коэффициенты в меню Конвертеры. Результаты трансформации можно увидеть на диаграмме графиков и комплексной плоскости, выбрав на вкладке Передаточная функция в качестве способа представления Коэффициенты. В какой плоскости будут трансформиро- ваны корни передаточной функции, зависит от Области отображения. 4.5.5. S-C → S-ZP, Z-C → Z-ZP Это преобразование является обратным для трансформации из предыдущей главы и выполняется достаточно просто, поскольку сводится к решению квадратных уравнений, ко- эффициентами которых являются коэффициенты числителя или знаменателя биквадратных блоков. Квадратное уравнение при условии, что коэффициент при переменной второй степени не равен нулю, всегда будет иметь два корня (полюсы – для числителя, нули – для знамена- теля). Эти корни могут быть либо комплексно сопряженными, либо вещественными и раз- ными, либо вещественными и одинаковыми. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при переменной второй степени равен нулю, будет иметь лишь один вещественный корень. Наконец, если квадратное уравнение состоит только из одного свободного члена, оно корней иметь не будет. Способы решения квадратных уравнений хорошо известны и здесь их опи- сание не приводится. Преобразование коэффициентов в полюсы и нули выполняется по команде Коэффици- енты -> Полюсы и нули в меню Конвертеры. Результаты трансформации можно увидеть на диаграмме графиков и комплексной плоскости, выбрав на вкладке Передаточная функция в качестве способа представления Полюсы и нули. В какой плоскости будут трансформирова- ны корни передаточной функции, зависит от Области отображения. 4.5.6. АЧХ → ФЧХ Для причинных функций вещественная и мнимая части связаны между собой преобра- зованием Гильберта ( Канасевич, 1985 ). dw w w F P F dw w w F P F ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = − = ω π ω ω π ω Re ). ( 1 Im ). ( Im ). ( 1 Re ). ( r r . (4.5.6.1) Логарифм передаточной функции можно выразить как lnY( ω ) = ln|Y( ω )| +jФ( ω ), (4.5.6.2) где |Y( ω )| является АЧХ, а Ф( ω ) – ФЧХ. Если предположить, что импульсная реакция фильт- ра является причинной, то можно сопоставить lnY( ω ) с функцией F( ω ). Следовательно ln|Y( ω )| и Ф( ω ) так же связаны преобразованием Гильберта аналогично функциям F( ω ).Re и F( ω).Im в уравнении (4.5.6.1). dw w Y P Ф dw w w Ф P Y ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = − − = ω ω π ω ω π ω ) ( ln 1 ) ( Im ). ( 1 ) ( ln r r . (4.5.6.2) Преобразование АЧХ в ФЧХ выполняется только для загруженных данных по команде АЧХ -> ФЧХ в меню Конвертеры. Результаты трансформации можно увидеть на диаграмме графиков. 4.5.7. FAP → ZP, C Преобразование передаточной функции из дискретного экспериментального представ- ления в аналитическое выполняется сразу во все четыре другие способа представления (S-ZP, Z-ZP, S-C и Z-C). Данный вид трансформации достаточно прост только для элементарных типов передаточных функций, теоретические представления которых хорошо разработаны. Каждому типу фильтра в приложении соответствует своя команда в меню Аппроксимация (ФНЧ, ФВЧ, РФ, СФ, ПФ, ПЗФ). Преобразование в другие типы АЧХ требует поэтапного подхода и комбинирования элементарных типов АЧХ. Процесс уточнения аппроксимации является одним из этапов сложного преобразования. Различные варианты уточнения фильтра доступны из меню Уточнение. Комбинирование элементарных фильтров осуществляется посредством формирования каскада. Команды формирования каскада доступны из меню |