задания. контрольные задания 1-2 курс (2). Государственный университет по землеустройству
 Скачать 2.35 Mb.
|
|
Решение 1. Упорядочив данные выборки по возрастанию, и найдя соответствующие частоты встречающихся значений, получим таблицу, задающую статистическое распределение выборки:
– объём выборки. Разобьём интервал данных на 4 частичных интервала длины : 2 – 8; 8 – 14; 14 – 20; 20 – 26, и найдём новые частоты , приняв в качестве их значений сумму частот данных выборки, попавших в i-ый интервал. Итак: ; ; ; . Вычислим плотности частот и построим таблицу распределения выборки для построения гистограммы частот:
Гистограмма частот изображена на рисунке 8: Рисунок 8 2. Приняв в качестве новых вариант серединные значения частичных интервалов , построим распределение равноотстоящих вариант для вычисления точечных оценок генеральной средней и дисперсии методом произведений (см. подробнее [5]).
Напомним процедуру вычисления оценок генеральной средней и дисперсии по методу произведений. Выберем . Вычислим – условные варианты. Найдём – условный момент первого порядка, – условный момент второго порядка. Тогда: – выборочная средняя, – выборочная дисперсия. Результаты вычислений сведём в таблицу:
; ; ; . Принимая во внимание, что число частичных интервалов мало (всего 4), учтём поправку Шеппарда: ; . 3. Для получения интервальной оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины по выборочной средней и неизвестной дисперсии используем формулу: , где – «исправленное» выборочное средне квадратическое отклонение, – случайная величина распределённая по закону Стьюдента с числом степеней свободы (находится по таблице при заданных и , см. [5]). Найдём . Имеем . Отсюда . При и имеем и . Тогда доверительный интервал для математического ожидания равен: . Для получения интервальной оценки дисперсии нормальной генеральной совокупности используют случайную величину . Величина имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы и представлена в таблицах (см. [5,9]). По этим таблицам определяются два числа (критические точки распределения ) и : , ; , . Замечание Если число степеней свободы , то критическую точку можно найти из равенства Уилсона-Гильферти: , где находят из равенства , используя функцию Лапласа [6]. Тогда доверительный интервал для дисперсии можно записать в виде: . В нашей задаче по условию . Тогда, ; ; . Так как в нашем случае используем равенство Уилсона-Гильферти для нахождения и : ; ; из равенства находим . Тогда: . Аналогично: ; ; из равенства находим . Тогда: ; ; . Таким образом, доверительный интервал для дисперсии: . 4. Считаем, что эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот:
Перейдём к новой случайной величине: и вычислим концы интервалов , полагая , , ; ; . Найдём теоретические вероятности попадания случайной величины в интервал , здесь – функция Лапласа. ; . Проверка: . Вычислим теоретические частоты : ; ; ; . Найдём . По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , (где – число интервалов выборки) находим критическую точку правосторонней критической области: . Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. Для заметок: Для заметок: Контрольные задания для самостоятельной работы для студентов I и II курсов «Заочного факультета» Высшая математика Авторы: д.ф.-м.н. профессор Соловьёв И.А., к.ф.-м.н. доцент Хасанов А.А., к.ф.-м.н. доцент Червяков А.В., к.ф.-м.н. доцент Романов В.И., к.ф.-м.н. доцент Репин А.Ю. Издано в авторской редакции Макетирование: Редакционно-издательский отдел ГУЗа ЛР № 020484 от 02.02.1998 г. Сдано в производство . .2008 г. Подписано в печать . .2008 г. Формат 60х84/16. Объем п.л., уч.-изд. Л. Бумага офсет. Ризография. Тир. 500. Зак . Участок оперативной полиграфии ГУЗа, ул. Казакова, 15. |