Навигация по странице:Решение Длина дуги кривой в декартовой системе координат вычисляется по формуле:.,,.Задача №12Решение , .Пусть , тогда:,так как ряд – сходится, то по признаку сравнения сходится и исходный ряд.Задача №13Задача №14 Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию.РешениеПрограмма по курсу «Высшая математика» для студентов II курса заочной формы обучения п/п Тема занятия Кол. часов Практические занятияРекомендуемая литератураВариант №1 Задача №1 Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области :, .Задача №2Задача №3 Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой : , – отрезок с концами (1,1) и (2,3).Задача №4Задача №5 Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке:.Задача №6Задача №7 Найти общее решение дифференциального уравнения:.Задача №8Задача №9 Решить задачу Коши:, .Задача №10
|
задания. контрольные задания 1-2 курс (2). Государственный университет по землеустройству
Задача №11
Найти длину дуги кривой
, .
Решение
Длина дуги кривой в декартовой системе координат вычисляется по формуле:
.
,
,
.
Задача №12
Исследовать ряд на сходимость
.
Решение
, .
Пусть , тогда:
,
так как ряд – сходится, то по признаку сравнения сходится и исходный ряд.
Задача №13
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала
.
Решение
Зафиксируем и рассмотрим числовой ряд , где . По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится, если , так как
,
то, если , т.е. , то ряд сходится абсолютно.
С другой стороны, если , то
,
следовательно, ряд расходится, если . Исследуем случай, когда , т.е. или .
Рассмотрим ряд при .
,
сравним этот ряд с рядом . Так как
,
ряд – расходится, то расходится и рассматриваемый ряд.
При имеем
– знакочередующийся ряд.
Так как и стремление к нулю монотонное, это следует из того, что
,
то по признаку Лейбница ряд сходится.
Окончательно, область сходимости исходного ряда – полуинтервал .
Задача №14
Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию
.
Решение
Представим рациональное выражение, задающее функцию в виде суммы простейших дробей:
,
,
.
Воспользовавшись стандартным разложением функции
, где .
Получаем:
.
Программа по курсу «Высшая математика»
для студентов II курса заочной формы обучения
Лекции – 18 часов.
Практические занятия –18 часов.
Контрольная работа.
Всего часов 36.
№ п/п
|
Тема занятия
|
Кол. часов
|
Лекции
|
1.
|
Двойные и тройные интегралы и их свойства. Представление об интегралах любой кратности.
|
1
|
2.
|
Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
|
1
|
3.
|
Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан перехода. Переход к от декартовых полярным, цилиндрическим и сферическим координатам.
|
1
|
4.
|
Применение кратных интегралов для вычисления объёмов и площадей, для решения задач физики.
|
1
|
5.
|
Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и способы нахождения.
|
1
|
6.
|
Криволинейные интегралы второго рода, их свойства и способы вычисления.
|
1
|
7.
|
Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.
|
1
|
8.
|
Комплексные числа и действия над ними. Понятие функции комплексного переменного.
|
1
|
9.
|
Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
|
1
|
10.
|
Дифференциальные уравнения первого порядка. Частное и общее решение. Задача Коши для уравнений первого порядка. Теорема существования и единственности.
|
1
|
11.
|
Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений. Интегрирование дифференциальных уравнений Бернулли.
|
1
|
12.
|
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши для дифференциального уравнения высшего порядка. Некоторые способы решения уравнения высшего порядка с помощью понижения порядка. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Приемы решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
|
1
|
13.
|
Основные понятия комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания). Основные понятия теории вероятностей. Относительная частота. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.
|
1
|
14.
|
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
|
1
|
15.
|
Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Числовые характеристики равномерного, показательного и нормального распределений. Закон больших чисел.
|
2
|
16.
|
Элементы математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки неизвестных параметров. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез.
|
2
|
Практические занятия
|
1.
|
Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан перехода. Переход к от декартовых полярным, цилиндрическим и сферическим координатам (по лекциям №1 и 2).
|
2
|
2.
|
Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и способы нахождения. Криволинейные интегралы второго рода, их свойства и способы вычисления. Формула Грина (по лекции №3).
|
2
|
3.
|
Комплексные числа и действия над ними. Понятие функции комплексного переменного. Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного (по лекции №4).
|
2
|
4.
|
Дифференциальные уравнения первого порядка. Частное и общее решение. Задача Коши для уравнений первого порядка. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений. Интегрирование дифференциальных уравнений Бернулли (по лекциям №5 и 6).
|
2
|
5.
|
Задача Коши для дифференциального уравнения высшего порядка. Некоторые способы решения уравнения высшего порядка с помощью понижения порядка. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Приемы решения линейных однородных с постоянными коэффициентами (по лекции №6).
|
2
|
6.
|
Определение вероятности. Решение задач с использованием основных теорем о вероятности случайных событий: сумма и произведение событий(по лекции №7).
|
2
|
7.
|
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение (по лекции №7).
|
2
|
8.
|
Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальное распределение (по лекции №8).
|
2
|
9.
|
Элементы математической статистики. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки неизвестных параметров. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез (по лекции №9).
|
2
|
Рекомендуемая литература
1. В.С. Щипачев. Высшая математика (учебник). М.: Высшая школа 1998.
2. В.С. Щипачев. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа 2000.
3. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1 и 2. М.: Наука. 1970–1978.
4. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа. 2001.
5. В.Е. Гмурман Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа. 2001.
6. В.И. Романов. Теория вероятностей (учебное пособие). М.: ГУЗ. 2003.
7. В.И. Романов. Методические указания. Статистика. М.:ГУЗ. 2005.
8. А.В. Червяков, А.Ю. Репин. Методические указания. Кратные и криволинейные интегралы, функции комплексного переменного, дифференциальные уравнения. М.: ГУЗ. 2005.
9. А.В. Червяков, А.Ю. Репин. Учебное пособие. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ГУЗ. 2006.
Вариант №1
Задача №1
Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области :
, .
Задача №2
Вычислить объём тела с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:
.
Задача №3
Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой : , – отрезок с концами (1,1) и (2,3).
Задача №4
Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключённой между точками и и ориентированной в направлении от точки к точке :
, , .
Задача №5
Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке:
.
Задача №6
Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы : .
Задача №7
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Задача №8
Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию :
.
Задача №9
Решить задачу Коши:
, .
Задача №10
Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения: .
Задача №11
Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса, содержащиеся в экзаменационном билете; б) только два вопроса своего экзаменационного билета; в) только один вопрос своего экзаменационного билета.
Задача №12
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Используя асимптотические формулы, оценить, вероятность того, что в 225 испытаниях событие наступит не менее 170 и не более 185 раз.
Задача №13
Случайная величина может принимать только два значения и , причём . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон (ряд) распределения этой случайной величины..
Задача №14
Случайная величина задана функцией распределения , требуется:
1) найти плотность вероятности;
2) математическое ожидание и дисперсию ;
3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения.
.
Задача №15
Заданы математическое ожидание и средне квадратическое отклонение нормально распределённой величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащие интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .
.
Задача №16
Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные данные соответствующего варианта.
1) Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот (шаг указан в варианте).
2) Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.
3) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормального распределения, приняв доверительную вероятность .
4) При уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона [9].
Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .
135
|
133
|
124
|
132
|
104
|
152
|
134
|
130
|
129
|
120
|
122
|
124
|
117
|
123
|
123
|
129
|
121
|
122
|
125
|
131
|
147
|
124
|
137
|
112
|
126
|
128
|
111
|
129
|
115
|
147
|
131
|
132
|
137
|
119
|
125
|
120
|
129
|
125
|
123
|
127
|
132
|
118
|
133
|
132
|
132
|
134
|
131
|
120
|
135
|
132
|
125
|
132
|
108
|
114
|
121
|
133
|
133
|
135
|
131
|
125
|
114
|
115
|
122
|
131
|
125
|
132
|
120
|
126
|
115
|
117
|
118
|
118
|
132
|
134
|
127
|
127
|
124
|
135
|
128
|
127
|
115
|
144
|
129
|
120
|
137
|
127
|
125
|
116
|
132
|
120
|
117
|
127
|
118
|
109
|
127
|
122
|
120
|
135
|
116
|
118
|
133
|
136
|
125
|
126
|
119
|
126
|
129
|
127
|
129
|
124
|
127
|
132
|
126
|
131
|
127
|
130
|
126
|
124
|
135
|
127
|
124
|
123
|
123
|
130
|
132
|
143
|
122
|
139
|
120
|
134
|
108
|
132
|
121
|
111
|
123
|
140
|
137
|
120
|
125
|
131
|
118
|
120
|
120
|
136
|
129
|
127
|
116
|
138
|
128
|
133
|
122
|
131
|
128
|
140
|
138
|
134
|
120
|
126
|
109
|
137
|
111
|
115
|
117
|
130
|
113
|
126
|
115
|
124
|
125
|
118
|
115
|
128
|
123
|
129
|
128
|
120
|
115
|
134
|
118
|
135
|
134
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скачать 2.35 Mb.