задания. контрольные задания 1-2 курс (2). Государственный университет по землеустройству
 Скачать 2.35 Mb.
|
|
Решение примерного варианта Задача №1 Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области : , . Решение Вид области представлен на рисунке 4. Рисунок 4 Представим двойной интеграл через повторный: . Первый интеграл возьмём по частям: . . Откуда . Задача №2 Вычислить объём тела с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных: . Решение По определению тройного интеграла объём области вычисляется по формуле: . Область представляет из себя конус, проекция которого на плоскость является кругом : (см. рисунок 5). Рисунок 5 Тогда . Первый из интегралов равен по определению удвоенной площади круга , т.е. . Для вычисления второго интеграла перейдём к полярным координатам, связанными с декартовыми координатами формулами: . По формуле замены переменных в двойном интеграле [1]: , где – якобиан замены, – прообраз области в координатах , т.к. область , то . Откуда . Окончательно: . Задача №3 Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой : , – ломаная с вершинами в точках A(0,0), B(0,1), C(1,1). Решение По свойствам аддитивности и линейности криволинейного интеграла первого рода имеем: . Уравнение отрезка : , уравнение отрезка : . Тогда по формуле вычисления криволинейного интеграла 1-рода: , . Окончательно . Задача №4 Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключённой между точками и и ориентированной в направлении от точки к точке : , , . Решение Зададим уравнение дуги единичной окружности параметрически: , , . Ориентация дуги при этом будет удовлетворять условию задачи. Тогда по формуле вычисления криволинейного интеграла 2-рода имеем: . Задача №5 Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке: . Решение По формуле Грина, которая в данной задаче применима, т.к. кривая кусочно-гладкая, а функции и – непрерывны вместе с частными производными и в замкнутом круге : [1], имеем: , знак «–» перед двойным интегралом объясняется тем, что формула Грина верна при положительной ориентации границы области , что в нашей задаче совпадает с ориентацией окружности против часовой стрелки, а по условию надо подсчитать значение интеграла при противоположной ориентации окружности. – площадь единичного круга. Задача №6 Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы : . Решение По формуле, задающей связь между поверхностным интегралами первого и второго рода [1], имеем: , где – косинус угла между единичной нормалью к сфере в заданной её точке и осью . По свойству сферы в нашей задаче , тогда , где – уравнение сферы, – проекция двух полусфер и на плоскость . Тогда . С другой стороны можно применить формулу Остроградского-Гаусса: , где – шар радиуса единица, – проекция шара на плоскость . Последний интеграл совпадет с рассмотренным выше с точностью до обозначения переменных и, следовательно, также равен нулю. Задача №7 Найти общее решение дифференциального уравнения: . Решение Данное уравнение является однородным. Необходимо произвести замену , где – новая функция. В силу замены . Подставляя в уравнение, получим уравнение относительно неизвестной функции : – уравнение с разделяющимися переменными. . Подстановкой в уравнение убеждаемся, что функции – решения уравнения. . Подставляя в выражение для решения имеем: . Возвращаясь к исходным переменным и учитывая все решения, получим общее решение уравнения: . Задача №8 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию : . Решение Запишем уравнение в приведённом виде: – уравнение Бернулли. Замена . Поделим уравнение на и используем замену: . Полученное уравнение линейное уравнение первого порядка. Решим однородное уравнение , . Общее решение найдём методом вариации произвольной постоянной . Полагая, ищем общее решение в виде , где неизвестная функция. Подставляя в неоднородное уравнение, получим: , . Отсюда общее решение линейного уравнения: . Возвращаясь к исходной переменной, имеем: – общее решение исходного уравнения. Подставляя начальное условие, находим , тогда – решение задачи. Задача №9 Решить задачу Коши: , . Решение Уравнение не зависит от переменной . Поэтому можно понизить порядок уравнения заменой , тогда . При этом из начальных условий следует, что . , т.к. не является решением задачи Коши, то полученное уравнение эквивалентно уравнению: – уравнение Бернулли. Замена приводит к линейному уравнению , решая его, получаем или . Подставляя начальное условие , получим . Возвращаясь к исходной функции, имеем: или , получаем: . Подставляя начальное условие, получим . Решение задачи Коши задаётся выражением: . Задача №10 Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения: . Решение Это однородное линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Для нахождения общего решения найдём корни характеристического уравнения: . Тогда общее действительное решение имеет вид: , т.к. , , то общее действительное решение имеет вид: . Задача №11 Вероятность того, что во время работы компьютера произойдёт сбой в арифметическом устройстве (АУ), в оперативной памяти (ОП), в остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружения сбоя в АУ, в ОП и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти: 1) вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен; 2) вероятность того, что обнаруженный в машине сбой возник в АУ или ОП. Решение 1) Обозначим через событие – возникший в машине сбой обнаружен. Можно сделать три предположения (гипотезы): – сбой произошёл в АУ; – сбой произошёл в ОП; – сбой произошёл в остальных устройствах. По условию задачи: , , . Условные вероятности обнаружения сбоя в каждом из перечисленных устройств АУ, ОП и остальных равны, соответственно – ; . Так как события () образуют полную группу событий то по формуле полной вероятности имеем: . 2) Событие, состоящее в том, что сбой возник в АУ или ОП можно записать как , так как , то события и – несовместны и, следовательно, С другой стороны Отсюда: – искомая вероятность. Задача №12 1) Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено менее трёх изделий [5]. Решение Число велико, вероятность мала и рассматриваемые события (повреждение изделий) независимы, поэтому можно использовать формулу Пуассона: , где . Интересующая нас вероятность того, что будет повреждено менее трёх изделий, находится по формуле: . 2) Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 и не более 90 раз [5]. Решение Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: , где – функция Лапласа, , . По условию ; ; ; , . Тогда: ; . С учётом нечётности функции Лапласа , получим: . Задача 13 Случайная величина может принимать только два значения и , причём . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон (ряд) распределения этой случайной величины [5]. Решение Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины должна быть равна единице, поэтому вероятность того, что примет значение равна: . Тогда закон распределения :
По определению: ; . Напишем закон распределения :
Найдём , тогда . Имеем систему уравнений для нахождения и : . Решая систему, найдём: , и , . По условию , поэтому второе решение не подходит. Тогда закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:
Задача №14 Случайная величина задана функцией распределения , требуется: 1) найти плотность вероятности; 2) математическое ожидание и дисперсию ; 3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения. . Решение Найдём плотность распределения. По определению: . Тогда , . График функции распределения представлен на рисунке 6. Рисунок 6 График функции плотности распределения представлен на рисунке 7. Рисунок 7 Задача №15 Заданы математическое ожидание и средне квадратическое отклонение нормально распределённой величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащие интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше . . Решение 1) Воспользуемся формулой: , подставив , получим: . По таблицам приложения [5] находим ; . Тогда искомая вероятность равна: . 2) Искомая вероятность находится по формуле: . По условию . Следовательно: Задача №16 Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные данные:
1) Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот, полагая шаг . 2) Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии. 3) Полагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для её математического ожидания и дисперсии, приняв доверительную вероятность . 4) При уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона. |