задания. контрольные задания 1-2 курс (2). Государственный университет по землеустройству
 Скачать 2.35 Mb.
|
|
Задача №4 Вычислить пределы а) ; б) . Задача №5 Найти производные следующих функций а) ; б) . Задача №6 Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики а) ; б) . Задача №7 Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных . Задача №8 Найти экстремумы функции при условии . Задача №9 Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница а) ; б) ; в) . Задача №10 Вычислить площадь, заключенную между линиями и . Задача №11 Найти длину дуги кривой , . Задача №12 Исследовать ряд на сходимость . Задача №13 Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала . Задача №14 Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию . Вариант №5 Задача №1 Точки , , и являются вершинами тетраэдра. 1. Поверить, что точки ,,, не лежат в одной плоскости. 2. Найти: – объём тетраэдра; – длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ; – расстояние между скрещивающимися рёбрами и ; – уравнение плоскости, проходящей через точки , , . Задача №2 Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра . Задача №3 Составить уравнение эллипса в канонической системе координат, если фокусы эллипса , а уравнения директрис . Задача №4 Вычислить пределы а) ; б) . Задача №5 Найти производные следующих функций а) ; б) . Задача №6 Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики а) ; б) . Задача №7 Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных . Задача №8 Найти экстремумы функции при условии . Задача №9 Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница а) ; б) ; в) . Задача №10 Вычислить площадь, заключенную между линиями и , . Задача №11 Найти длину дуги кривой , . Задача №12 Исследовать ряд на сходимость . Задача №13 Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала . Задача №14 Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию . Вариант №6 Задача №1 Точки , , и являются вершинами тетраэдра. 1. Поверить, что точки ,,, не лежат в одной плоскости. 2. Найти: – объём тетраэдра; – длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ; – расстояние между скрещивающимися рёбрами и ; – уравнение плоскости, проходящей через точки , , . Задача №2 Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра . Задача №3 Составить уравнение эллипса в канонической системе координат, если расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины на оси 8. Задача №4 Вычислить пределы а) ; б) . Задача №5 Найти производные следующих функций а) ; б) . Задача №6 Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики а) ; б) . Задача №7 Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных . Задача №8 Найти экстремумы функции при условии . Задача №9 Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница а) ; б) ; в) . Задача №10 Вычислить площадь, заключенную между линиями и . Задача №11 Найти длину дуги кривой , , . Задача №12 Исследовать ряд на сходимость . Задача №13 Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала . Задача №14 Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию . Вариант №7 Задача №1 Точки , , и являются вершинами тетраэдра. 1. Поверить, что точки ,,, не лежат в одной плоскости. 2. Найти: – объём тетраэдра; – длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ; – расстояние между скрещивающимися рёбрами и ; – уравнение плоскости, проходящей через точки , , . Задача №2 Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра . Задача №3 Составить уравнение параболы в канонической системе координат, если расстояние от фокуса до директрисы равно 12. Задача №4 Вычислить пределы а) ; б) . Задача №5 Найти производные следующих функций а) ; б) . Задача №6 Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики а) ; б) . Задача №7 Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных . Задача №8 Найти экстремумы функции при условии . Задача №9 Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница а) ; б) ; в) . Задача №10 Вычислить площадь, заключенную между линиями , и . Задача №11 Найти длину дуги кривой . Задача №12 Исследовать ряд на сходимость . Задача №13 Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала . Задача №14 Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию . Вариант №8 Задача №1 Точки , , и являются вершинами тетраэдра. 1. Поверить, что точки ,,, не лежат в одной плоскости. 2. Найти: – объём тетраэдра; – длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ; – расстояние между скрещивающимися рёбрами и ; – уравнение плоскости, проходящей через точки , , . Задача №2 Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра . Задача №3 Составить уравнение параболы в канонической системе координат, если длина хорды, проходящей через фокус под углом 450 к оси параболы, равна 18. Задача №4 Вычислить пределы а) ; б) . Задача №5 Найти производные следующих функций а) ; б) . Задача №6 Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики а) ; б) . Задача №7 Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных . Задача №8 Найти экстремумы функции при условии . Задача №9 Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница а) ; б) ; в) . Задача №10 Вычислить площадь, заключенную между линиями , . Задача №11 Найти длину дуги кривой . Задача №12 Исследовать ряд на сходимость . Задача №13 Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала . Задача №14 Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию . Вариант №9 Задача №1 Точки , , и являются вершинами тетраэдра. 1. Поверить, что точки ,,, не лежат в одной плоскости. 2. Найти: – объём тетраэдра; – длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ; – расстояние между скрещивающимися рёбрами и ; – уравнение плоскости, проходящей через точки , , . Задача №2 Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра . Задача №3 Составить уравнение параболы в канонической системе координат, если парабола проходит через точку . Задача №4 Вычислить пределы а) ; б) . Задача №5 Найти производные следующих функций а) ; б) . Задача №6 Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики а) ; б) . Задача №7 Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных . Задача №8 Найти экстремумы функции при условии . Задача №9 Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница а) ; б) ; в) . Задача №10 Вычислить площадь, заключенную между линиями , и . Задача №11 Найти длину дуги кривой . Задача №12 Исследовать ряд на сходимость . Задача №13 Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала . Задача №14 Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию . Вариант №10 Задача №1 Точки , , и являются вершинами тетраэдра. 1. Поверить, что точки ,,, не лежат в одной плоскости. 2. Найти: – объём тетраэдра; – длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ; – расстояние между скрещивающимися рёбрами и ; – уравнение плоскости, проходящей через точки , , . Задача №2 Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра . Задача №3 Составить уравнение эллипса в канонической системе координат, если фокусами эллипса являются точки , а точка принадлежит эллипсу. Задача №4 Вычислить пределы а) ; б) . Задача №5 Найти производные следующих функций а) ; б) . Задача №6 Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики а) ; б) . Задача №7 Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных . Задача №8 Найти экстремумы функции при условии . Задача №9 Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница а) ; б) ; в) . Задача №10 Вычислить площадь, заключенную между линиями , . Задача №11 Найти длину дуги кривой . Задача №12 Исследовать ряд на сходимость . Задача №13 Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала . Задача №14 Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию . Решение примерного варианта Задача №1 Точки , , и являются вершинами тетраэдра. 1. Поверить, что точки ,,, не лежат в одной плоскости. 2. Найти: – объём тетраэдра; – длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ; – расстояние между скрещивающимися рёбрами и ; – уравнение плоскости, проходящей через точки , , . Решение Найдём координаты векторов: , , . , следовательно, точки не лежат в одной плоскости. Объём тетраэдра: . Площадь основания тетраэдра : . Длина искомой высоты . Расстояние между скрещивающимися рёбрами и : , . Точка принадлежит прямой , – прямой . Тогда: . Уравнение плоскости, проходящей через три точки: . Задача №2 Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра . Решение Из расширенной матрицы системы, после указанных элементарных преобразований строк получим: По критерию Кронекера-Капелли система имеет решение только, если . Таким образом, если – система несовместна, если система эквивалентна системе: . Система имеет бесконечное число решений вида: . Задача №3 Составить уравнение гиперболы в канонической системе координат, если в ней длина вещественной оси равна 1, а точка принадлежит гиперболе. Решение Уравнение гиперболы в канонической системе координат: . Из условия имеем, во-первых, , а во-вторых . Отсюда , . Таким образом, искомое уравнение имеет вид: . Задача №4 Вычислить пределы: а) ; б) . Решение а) . Так как . б) , сделаем замену переменной . Очевидно, равносильно . Кроме того, и . Но известно, что , , , поэтому . Задача №5 Найти производные следующих функций а) ; б) . Решение а) , это тождественное равенство в области определении функции . Поэтому, дифференцируя обе части равенства, с учётом, что – функция переменной имеем ; . б) . Задача №6 Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики а) ; б) . Решение а) , , . 1. Область определения функции . 2. . При этом знак производной в левой окрестности точки положительный, а в окрестности правой – отрицательный. Следовательно, – точка локального максимума и . В точке экстремума нет. Промежуток возрастания: , т.к. . Промежуток убывания: , т.к. . 3. . При этом при и , если . Следовательно, – точка перегиба графика функции. На промежутке – функция выпукла вверх. На промежутке – функция выпукла вниз. 4. Асимптоты – вертикальная асимптота. , , – наклонная асимптота при . График функции изображен на рисунке 1. Рисунок 1 б) . 1. Область определения . 2. , , . В точке не существует, точка – локальный максимум; точка – локальный минимум. Промежуток возрастания: , т.к. . Промежуток убывания: , т.к. . Рисунок 2 3. , , если и , если . Точка – точка перегиба с вертикальной касательной к графику функции в этой точке. На промежутке – функция выпукла вниз, на промежутке – функция выпукла вверх. 4. , . – наклонная асимптота. График функции изображен на рисунке 2. Задача №7 Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных . Решение Найдём стационарные точки функции : Проверим выполнение достаточных условий: , – матрица квадратичной формы . По критерию Сильвестра получаем , в точке достигается строгий локальный минимум: . Задача №8 Найти экстремумы функции при условии . Решение Построим функцию Лагранжа . Найдём стационарные точки функции Лагранжа: Стационарные точки: и . Проверим выполнение достаточных условий существования экстремума в стационарных точках. , . Кроме того, дифференцируя уравнение связи, имеем: , отсюда . С учётом этой связи между и получим , в точке , следовательно в точке достигается условный минимум. В точке , в точке достигается условный максимум. Задача №9 Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница а) ; б) ; в) . Решение а) . б) . в) . Разложим рациональную функцию на сумму простейших дробей: . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях равенства, имеем: . . Задача №10 Вычислить площадь, заключенную между линиями , и . Решение Найдём точку пересечения графиков функций и (рисунок 3). Из равенства имеем . Тогда площадь фигуры равна: кв. ед. Рисунок 3 |