Мои лекции по Грачеву. РС-71. Грачев Николай Николаевич Список литературы
![]()
|
Возмущающие силы.Возмущающие силы не зависят от движения системы, но активно влияют на него. Существует 2 способа задания возмущающих воздействий:
Различают 2-е задачи виброизоляции (в соответствии с заданием сил):
Активная виброизоляция.Основным в данной задаче является изоляция источника вибрации от аппаратуры.
Пассивная виброизоляция.Пассивная виброизоляция – изоляция аппаратуры от вибрирующего основания.
Часто по определенным амплитудам блока рассчитывают ускорения элементов конструкций. Рассчитанное ускорение сравнивается с допустимым. Если оно меньше или равно допустимому, то система спроектирована верно, если больше, то необходимо внести коррективы в систему амортизации. Постановка задачи такова: спроектировать систему амортизации, при ![]() Энергетические соотношения в системе виброизоляцииции.Допустим, существует система c S степенями свободы.
aij - инерционный (кинетический) параметр системы
![]()
![]() Сij – жесткостной параметр системы: ![]() qi, qj – деформации упругих элементов (относительные).
![]() bij – коэффициент демпфирования. ![]()
![]() I II III L=T-П - функция Лагранжа. i – число обобщенных координат, равное числу степеней свободы. I - баланс кинетической и потенциальной энергии в системе. II - потери энергии на диссипацию. III - приток энергии за счет возмущающих сил. В частных случаях Q(t) равно нулю:
Данное уравнение позволяет проанализировать движение системы с любой степенью свободы и в любой момент времени. Для системы c S степенями свободы уравнение Лагранжа превращается в систему из S дифференциальных уравнений. При S=6 уравнение Лагранжа – система из 6-ти уравнений. Решение в общем виде подобной системы – сложная задача даже при использовании ЭВМ. При S = 1 - система решается. При S > 1 – применяются упрощенные методы расчета системы.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() с - жесткостной параметр системы. а - инерционный параметр системы. Существуют два случая:
Т.к. обычно ![]() ![]() Примечания:
Рассмотренные случаи соответствуют установке виброизоляторов с вязким трением или гистерезисными потерями, для которых справедлива функция: ![]()
T – период собственных колебаний. Решение выглядит следующим образом:
Основные особенности движения систем на амортизаторах с сухим трением.
Остановка блока в зоне застоя происходит в момент времени t1, для которого ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Наличие зоны застоя объясняется малой величиной потенциальной энергии, которая не может преодолеть силы сухого трения амортизаторов; кинетическая энергия равна нулю. Говорят, что амортизатор для зоны застоя закрыт. Амортизаторы с сухим трением не работают при амплитудах смещения ![]() Вынужденные колебания системы при пассивной виброизоляции. Блок установлен на условном амортизаторе.
При вибрации основания происходит перемещение блока. Нам необходимо определить параметры колебания блока: D = ?; ![]() Рассмотрим систему с одной степенью свободы. Решение получается при помощи уравнения Лагранжа.
Уравнение Лагранжа имеет следующий вид: ![]() Вынужденные колебания системы виброизоляцииции описываются неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка. Искомая амплитуда D является решением этого уравнения. Это сумма решений однородного и частного решения неоднородного уравнения, т.е. D = D0 + D1 D0 – решение однородного дифференциального уравнения. D1 – частное решение неоднородного уравнения. Для получения D0 правая часть уравнения приравнивается к нулю. Т.о. получаем уравнение, которое описывает свободное движение объекта. Ввиду быстрого затухания свободных колебаний в практических случаях можно не учитывать D0 , тогда D= D1 и искомое решение получается в виде частного решения этого уравнения: ![]() введем обозначения: ![]() ![]() Отношение статической упругой силы к амплитуде силы возбуждающих колебаний: ![]() Т.о. ![]() ![]() Частота вынужденных колебаний блока равна частоте возмущающих воздействий. Амплитуда вибраций блока определяется соотношением ![]() Вынужденные колебания системы амортизации при пассивной виброизоляции. Блок установлен на условном амортизаторе.
При вибрации основания происходит перемещение блока. Нам необходимо определить параметры колебания блока: D = ?; ![]() Рассмотрим систему с одной степенью свободы. Решение получается при помощи уравнения Лагранжа.
Уравнение Лагранжа имеет следующий вид: ![]() Вынужденные колебания системы амортизации описываются неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка. Искомая амплитуда D является решением этого уравнения. Это сумма решений однородного и частного решения неоднородного уравнения, т.е. D = D0 + D1 D0 – решение однородного дифференциального уравнения. D1 – частное решение неоднородного уравнения. Для получения D0 правая часть уравнения приравнивается к нулю. Т.о. получаем уравнение, которое описывает свободное движение объекта. Ввиду быстрого затухания свободных колебаний в практических случаях можно не учитывать D0 , тогда D= D1 и искомое решение получается в виде частного решения этого уравнения: ![]() введем обозначения: ![]() ![]() Отношение статической упругой силы к амплитуде силы возбуждающих колебаний: ![]() Т.о. ![]() ![]() Частота вынужденных колебаний блока равна частоте возмущающих воздействий. Амплитуда вибраций блока определяется соотношением ![]() Коэффициент динамичности. Вид кривой зависит от демпфирования системы. ![]() 1 зона. Она характеризуется ![]() ![]() 2 зона. Зона резонанса. Она характеризуется примерным равенством частот и ![]() ![]() ![]() 3 зона. Зарезонансная зона. ![]() ![]() здесь имеет место защита от вибраций. Зона соответствует малым значениям ![]() Т.о. задача проектирования системы амортизации сводится к обеспечению таких значений ![]() ![]() ![]() Значительное уменьшение собственных частот, приводящее к увеличению значения ![]() ![]() ![]() Основные этапы проектирования системы амортизации:
а) ![]() б) ![]() Если а) и б) выполнено, то:
при ![]()
Фазо-частотная зависимость. ![]() ![]() ![]() Эффективность амортизации.
Эффективность оценивается только в зарезонансной области. Особенности движения системы с 6 степенями свободы. Парциальные частоты системы. ![]() Парциальные системы: Если в системе амортизации с 6-ю степенями свободы зафиксировать 5 степеней, то оставшаяся степень будет характеризоваться своей парциальной частотой. Т.о. для системы из 6-ти парциальных частот три частоты определяют поступательное движение объекта вдоль оси координат X, Y, Z и три частоты определяют поворотное движение объекта вокруг координат X, Y, Z. ![]() Парциальные частоты в поступательные:
Парциальные частоты поворотные:
Как видно из формул, расчет этих частот не представляет труда, если известны параметры системы. Неравенство Релея: ![]() где ![]() ![]() ![]() под знаком суммы могут присутствовать только разные парциальные частоты. ![]() Неравенство Релея позволяет определить диапазон собственных частот системы без точного определения конкретных частот, причем чем больше N, тем меньше точность в определении частот. Расширение диапазона собственных частот при расчете по неравенству Релея обеспечивает дополнительный запас по значению коэффициента динамичности. ![]() ![]() Конструктивные особенности системы амортизации. Основной особенностью, определяющей вид неравенства Релея, является наличие плоскости в системе. Плоскость симметрии – это плоскость, относительно которой симметричны:
Различаются следующие системы амортизации:
Различные системы имеют различный вид неравенства Релея и различную точность в определении частот. Система 3-мя плоскостями симметрии.
Система с 4-мя амортизаторами Zi = 0. т.е. установка виброизоляторов в плоскости XOY. Свойства: при строгом решении исходной системы 6-ти дифференциальных уравнений подобной системы амортизации наличие плоскости симметрии масс частей блоков, координат установки амортизаторов, жесткостные параметры амортизации приводит к тому, что указанная система уравнений разбивается на 6 независимых уравнений. Из каждого уравнения может быть точно определена своя собственная частота.
![]() это вырожденное неравенство Релея-Донкерли для N = 1. ![]() Т.о. на оси частот имеем 6 дискретных собственных частот. Во всех случаях желательно сужать диапазон собственных частот. В данной системе амортизации возможно при введении дополнительных условий добиться равенства всех собственных частот: ![]() Эти дополнительные условия имеют вид: а) Динамические жесткости виброизоляторов и соответствующие системы амортизации по всем направлениям должны быть равны: Cgu = Cgv = Cgw. б) Координаты «Х» виброизоляторов должны быть равны радиусу инерции относительно оси «Y», а координаты «Y» виброизоляторов должны быть равны радиусу инерции относительно оси «Х». ![]() Недостаток: для большинства амортизаторов: Cgu = Cgv ![]() |