Раздел 1_РЕД_2. I. основы теории множеств. Системы счисления комбинаторика
Скачать 9.96 Mb.
|
II. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. КОМБИНАТОРИКА В. 1. 1. Перевести в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и факториальную системы счисления число 65910. 2. Сколько трехзначных десятичных чисел (в том числе – с незначащими нулями) имеют в своей записи: а) ровно две одинаковых цифры, б) ровно три одинаковых цифры?. В. 2 1. Перевести в системы счисления с основанием 2, 4, 8, 16 и 10 число 512110ф. 2. Имеется 8 объектов, из которых 2 - одинаковые, остальные попарно различны. Найти, сколькими вариантами можно расположить их на 9 местах. В. 3. 1. Выполнить действия в системе счисления c основанием 8: 35768 + 346578 ; 37538 - 75718 ; 57283748 . 2. На 12 возможных местах необходимо разместить 2 станка типа А. 3 станка типа Б и 4 станка типа В. Сколько всего существует различных вариантов расположения? Ответ дать формулой. В. 4. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 111110 . 2. Какое минимально возможное количество n различных объектов необходимо взять, чтобы они располагались на n местах не менее, чем 1000 различными вариантами. В. 5. 1. Выполнить действия в системе счисления c основанием 5: 4353 ; 24125 : 305 ; 2315 425 . 2. Кодировка некоторого изделия состоит из 5 символов. Два первых означают в десятичной системе счисления номер модели изделия. Третий и четвёртый – независимо принимают значения 0 или 1 в зависимости от дополнительных признаков. На пятой позиции может находиться одна из букв A, B, C, D, E. Какое максимальное число видов изделий может быть закодировано с использованием данных обозначений ? В. 6. 1. Выполнить действия в системе счисления c основанием 9: 64879: 259 ; 638529 - 872539 ; 3829 579 . 2. Рассматривается множество всех записей чисел в факториальной системе счисления длины 5. Найти, сколько единиц встречается в этих записях. В. 7. 1. Представить дробь 0,410 в системе с основанием 7. 2. Из 24 спортсменов формируют команду из 6 человек. Найти общее число различных вариантов ее формирования в двух случаях: а) порядок участников имеет значение, б) не имеет значения. Ответ дать формулой. В. 8. 1. Выполнить в системе счисления с основанием 9 следующие действия: 2859 – 7529 , 44279 + 87659 . 2. Найти, сколькими вариантами можно разместить 4 попарно различных и 3 одинаковых объекта на 10 разных местах. Сколько существует вариантов размещения при неразличимых местах? В. 9. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 2342000ф. 2. Рассматривается множество всех векторов инверсий перестановок (1,2,3,4,5,6). Найти их суммарный вес. В. 10. 1. Перевести дробь 0,437510 в восьмеричную систему счисления, а дробь 0,328 - в десятичную систему счисления. 2. В лотерее N номеров. Какова вероятность угадать в одном билете: а) ровно k, б) не более k номеров ? Ответ дать формулой. В. 11. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 87210 . 2. Рассматривается множество всех перестановок (1, 2, 3, 4, 5). Найти, сколько раз в записи их векторов инверсий встречается цифра 2 . В. 12. 1. Перевести дробь 0,610 в троичную систему счисления. 2. Из 12 юношей и 5 девушек необходимо составить смешанную эстафетную команду, состоящую из трех юношей и одной девушки. Сколько существует различных вариантов формирования при условии, что порядок участников в команде не имеет значения? В. 13. 1. Перевести, используя соотношение 32 = 9, число 193210 в девятеричную , а затем в троичную системы счисления. 2. Какое число n различающихся мест необходимо взять, чтобы 3 одинаковых объекта располагались на них как минимум 210 способами. В. 14. 1. Перевести в десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления число 522100ф. 2. На 10 различающихся местах помещают 8 объектов, из которых половина - одинаковые, остальные попарно различны. Найти число возможных вариантов расположения. Сколько вариантов размещения при одинаковых местах? В. 15. 1. Выполнить следующие действия в шестнадцатеричной системе счисления: CF816 – D1B516 , 4EA216 + 8CD316 . 2. Рассматривается система счисления с основанием 7. Найти, сколько различных 5-значных чисел в ней можно записать при помощи нечётных цифр. Ответ дать формулой. В. 16. 1. Перевести дробь 0,48 в троичную систему. 2. Рассматривается множество всех записей чисел в факториальной форме длины 6. Найти, сколько троек встречается в этих записях. В. 17. 1. Перевести в десятичную систему счисления число 110011002 и в двоичную - число 5441100ф. 2. В накопителе А находится n различных деталей типа I, в накопителе Б - n различных деталей типа II. Из накопителей осуществляется упорядоченная поочерёдная выборка всех деталей. Вначале выбирают одну деталь из А, затем - из Б, потом снова из А и из Б и т.д. до тех пор, пока накопители не опустеют. Найти общее число всех возможных различных выборок данного вида в двух случаях: а) порядок выборки деталей имеет значение и б) не имеет. В. 18. 1. Перевести число 1011011012 в факториальную систему счисления, число 45041010ф - в десятичную систему. 2. Какое минимально возможное количество n различных объектов необходимо взять, чтобы получить из них не менее 987 различных размещений из n по 4. В. 19. 1. Перевести, используя минимальное число операций, число 99910 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и факториальную системы счисления. 2. Какое максимальное число различных объектов n можно взять, для того, чтобы число различных вариантов их расположения на 5 местах не превышало 800. В. 20. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 45032010ф . 2. В походе участвуют 4 женщин и 4 мужчин. Найти, сколько существует вариантов их размещения в 4 различных двухместных байдарках при следующих условиях: а) в одной байдарке должен плыть один мужчина и одна женщина и б) в одной байдарке могут плыть любые два участники похода. В. 21. 1. Выполнить действия в системе счисления с основанием 7: 45167 + 243517 ; 32517 - 65417 . 2. При распознавании элементов некоторого множества автоматизированная система независимо использует 7 логических признаков, принимающих значения ”да” или ”нет”, и 2 численные характеристики, изменяющиеся от 5 до 12 и от 23 до 41. Какое максимальное число элементов может распознать система? В. 22. 1. Представить в восьмеричной системе дробь 0,810. 2. На 7 местах располагаются выборки из объектов, общее число которых равно 10, половина из них – одинаковы, половина – попарно различны. Найти общее число различных расположений. Ответ дать формулой. В. 23. 1. Выполнить действия в шестеричной системе счисления: 342156 + 52436 ; 43256 - 55136 . 2. В некотором алфавите 20 букв. Сколько из них можно составить попарно различных слов длины 4, у которых одна и та же буква повторяется не более 2 раз? Ответ дать формулой. В. 24. 1. Перевести в системы счисления с основаниями 2,7 и 16 число 165410. 2. Какое максимальное число n мест необходимо взять, чтобы 4 одинаковых объекта располагались на них не более, чем 250 способами? В. 25. 1. Перевести дробь 0,37 в десятичную систему счисления. Ответ дать с точностью до четвёртого знака после запятой. 2. В левой и правой частях аудитории по 25 пронумерованных мест. На лекцию пришло 20 студентов первого курса, которые разместились слева, и 18 второкурсников, занявших места справа. Сколькими различными вариантами студенты могут занять отведённые им места в аудитории ? Ответ дать в виде формулы. В. 26. 1. Перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления число 331100ф. 2. На роторе станка находится 12 пронумерованных рабочих позиций. В них поочерёдно размещают детали вида I (общее их количество - 10) и детали вида II (которых всего 8). Сколько существует различных вариантов размещения деталей на роторе, если детали вида I попарно различны, а детали вида II – одинаковы. Ответ дать формулой. В. 27. 1. Перевести дробь 0,610 в систему счисления с основанием 7. Ответ дать с точностью до пятого знака после запятой. 2. Сколько существует вариантов размещения 3 белых, 5 красных и 6 черных фишек на 17 различных местах? Ответ дать формулой. |