Раздел 1_РЕД_2. I. основы теории множеств. Системы счисления комбинаторика

• Название: I. основы теории множеств. Системы счисления комбинаторика
• Анкор: Раздел 1_РЕД_2.doc
• Дата: 29.11.2017
• Размер: 9.96 Mb.
• Имя файла: Раздел 1_РЕД_2.doc
• Тип: Документы; #10536
• страница: 12 из 17

4.4.1 Сложение

Записываем одно число под другим таким образом, чтобы разряды с одинаковыми номерами располагались друг под другом. Складываем поразрядно, передвигаясь от нулевого разряда к старшим. При переполнении в разряде (p единиц и более) вычитаем из него p единиц, а одну единицу добавляем в следующий старший разряд. При сложении чисел, представленных в разных системах счисления, их предварительно необходимо привести в одну систему счисления.

Пример 1. Сложить числа 1011₂ и 10101₂.

Решение. p = 2. Записываем одно число под другим таким образом, чтобы разряды с одинаковыми номерами располагались друг под другом. При переполнении в разряде (2 единицы) из него вычитаем две единицы, а одну единицу добавляем в следующий по порядку старший разряд. Добавляемые единицы указываем вверху записи.

11111

1011

+ 10101

100000

В итоге получим:

1011₂ + 10101₂ = 100000₂.

Ответ: 100000₂.

Пример 2. Сложить числа 7C6A₁₆ и BD65E₁₆. Ответ дать в десятичной системе счисления.

Решение. p = 16. Добавляемые единицы указываем вверху записи.

11 1

7C6A

+ BD65E

С52C8

При поразрядном сложении:

разряд 0: A₁₆ + E₁₆ = 10 + 14 = 24 = 16 + 8; в разряде ставим 8 и переносим 1 в разряд 1;

разряд 1: 6₁₆ + 5₁₆ + 1 = 12; в разряде ставим 12 = C₁₆;

разряд 2: C₁₆ + 6₁₆ = 12 + 6 = 18 = 16 + 2; в разряде ставим 2 и переносим 1 в разряд 3;

разряд 3: 7₁₆ + D₁₆ + 1 = 7 + 13 + 1 = 21 = 16 + 5; в разряде ставим 5, переносим 1 в разряд 4;

разряд 4: B₁₆ + 1 = 11 + 1 = 12 = C₁₆.

В шестнадцатеричной системе счисления сумма равна С52С8₁₆. Переводя ее по правилу 2.1.3 в десятичную систему счисления (с использованием разложения числа по степеням 16), получим:

С52С8₁₆ = 1216⁴ + 516³ + 216² + 1216¹ + 816⁰ = 
1265536₁₀ + +54096₁₀+2256₁₀ + 1216₁₀ + 8 = 786432₁₀ + 20480₁₀ + 512₁₀ + 192₁₀ + 8 = =807624₁₀.

Ответ: 7C6A₁₆ + BD65E₁₆ = 807624₁₀.

Пример 3. Сложить числа CA6₁₆ и 1435₈. Ответ дать в системе счисления с основанием 4.

Решение. Переведем оба слагаемых в систему счисления с основанием p = 4. Первое слагаемое переводим по упрощенному способу, в котором шестнадцатеричные цифры сразу представляем в четверичной системе счисления:

C₁₆ = 30₄; A₁₆ = 22₄; 6₁₆ = 12₄; CA6₁₆ = 302212₄.

Второе восьмеричное слагаемое переведем по общим правилам 4.2.3, 4.2.4 через двоичную систему счисления:

1435₈ = 1100011101₂ = 30131₄.

Сложение выполняем в четверичной системе счисления. Добавляемые единицы указываем в верху записи.

11

302212

+ 30131

333003

Ответ: CA6₁₆ + 1435₈ = 333003₄.