Раздел 1_РЕД_2. I. основы теории множеств. Системы счисления комбинаторика

• Название: I. основы теории множеств. Системы счисления комбинаторика
• Анкор: Раздел 1_РЕД_2.doc
• Дата: 29.11.2017
• Размер: 9.96 Mb.
• Имя файла: Раздел 1_РЕД_2.doc
• Тип: Документы; #10536
• страница: 11 из 17

4.3.5 Перевод правильных дробей из системы счисления
с основанием p = 2^s в систему с другим основанием, равным степени 2

В общем случае перевод проще производить через двоичную систему счисления. При переводе из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную можно использовать связь 4² = 16 и переводить непосредственно пары цифр четверичной записи, отсчитываемые от запятой, в шестнадцатеричные цифры и обратно. В случае периодической дроби период исходной дроби переводится до тех пор, пока не будет найден период искомой дроби.

Пример 16. Перевести в восьмеричную систему счисления правильную периодическую шестнадцатеричную дробь 0,8А9(5Е)₁₆.

Решение. Сначала, используя правило 4.3.3, переводим шестнадцатеричную дробь 0,8А9(5Е)₁₆ в двоичную систему счисления:

8₁₆ = 000₂; А₁₆ = 1010₂; 9₁₆ =1001₂; 5₁₆ =0101₂; Е₁₆=1110₂;

0,8А9(5Е)₁₆ =0,100010101001(01011110)₂.

Затем по правилу 4.3.4 переводим полученную двоичную дробь в восьмеричную систему счисления (курсивом выделены цифры, которые взяты из периода, начало и конец каждого периода показаны скобками):

100₂ = 4₈; 010₂ = 2₈; 101₂ = 5₈; 001₂ = 1₈; (010₂ = 2₈; 111₂ = 7₈; 10)(0₂ = 4₈; 101₂ = 5₈; 111₂ = 7₈; 0)(01₂ = 1₈; 011₂ = 3₈; 110)₂ = 6₈; (010₂ = 2₈.

Период восьмеричной дроби найден и равен (27457136). Записывая слитно полученные цифры основной части дроби и периодическую часть, получим: 0,4251(27457136)₈.

Ответ: 0,8А9(5Е)₁₆ = 0,4251(27457136)₈.

Пример 17. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления из четверичной правильную периодическую дробь 0,2031223(21303)₄.

Решение. По упрощенному способу перевода из системы счисления с основанием p = 4 в шестнадцатеричную систему счисления (правило 4.3.5) сначала переводим пары цифр постоянной части дроби, отсчитывая их от запятой, затем переводим цифры из периода столько раз, чтобы определить период в искомой шестнадцатеричной записи (курсивом выделены цифры, которые взяты из периода, начало и конец каждого периода показаны скобками):

20₄ = 8₁₆; 31₄ = D₁₆; 22₄ = A₁₆; 3(2₄ = E₁₆; 13₄ = 7₁₆; 03)₄ = 3₁₆; (21₄ = 9₁₆; 30₄ = C₁₆; 3)(2₄ = E₁₆.

Период восьмеричной дроби найден и равен (E739C). Записывая слитно полученные цифры основной части дроби и периодическую часть, получим: 0,8DA(E739C)₁₆.

Ответ: 0,2031223(21303)₄ =0,8DA(E739C)₁₆.

Число, содержащее целую и дробную части, называют смешанным. Для его перевода из одной системы в другую отдельно переводят целую часть, отдельно – дробную.

Пример 18. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления из десятичной смешанное число 7069,2089₁₀. Ответ дать с точностью до 5 знаков после запятой.

Решение. 1. Сначала по правилу 4.2.2 переводим целую часть числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную путем последовательного деления десятичной записи на 16. При этом остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное образуют искомую шестнадцатеричную запись числа в обратном порядке.

7069  16

7056  441  16

13 432  27  16

9 16  1

11

Переводя значения в разрядах в шестнадцатеричную систему счисления и записывая их в обратном порядке, получим: 7069₁₀ = 1B9D₁₆.

2. Затем по правилу 2.2.1 переводим дробную часть десятичной записи в шестнадцатеричную систему счисления путем последовательного умножения исходной дроби на 16. Поскольку необходимо найти 6 знаков после запятой, умножение выполняем 6 раз.

0,2089 0,3424 0,4784 0,6544 0,4704 0,5264

 16  16  16  16  16  16

3,3424 5,4784 7,6544 10,4704 7,5264 8,4224

Переводя значения в разрядах в шестнадцатеричную систему счисления и выполняя округление, получим: 0,2089₁₀0,357А78₁₆0,357А8₁₆.

Объединяя целую и дробную части, получим: 1B9D,357А8₁₆.

Ответ: 7069,2089₁₀1B9D,357А8₁₆.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие дроби называют правильными?

2. Какие дроби называют обыкновенными?

3. Какие дроби называют рациональными, а какие   иррациональными?

4. Что называют предпериодом записи рациональной дроби в позиционной системе счисления?

5. Что называют периодом дроби в позиционной системе счисления и как его выделяют в записи?

6. Чем отличаются записи рациональных дробей от записей иррациональных дробей в позиционных системах счисления?

7. Может ли иррациональная дробь иметь конечную запись?

8. Что называют смешанным числом?

Практические задания.

1. Перевести дробь 0,32₁₀ в систему счисления с основанием 3 с точностью до 5 знаков после запятой.

2. Перевести дробь 0,7₉ в десятичную систему счисления

3. Перевести дробь 0,46₇ в десятичную систему счисления. Ответ дать с точностью до 6 знаков после запятой.

4.4. Арифметические действия с целыми числами в системах с произвольными основаниями. Их компьютерное представление

Алгоритмы выполнения арифметических операций с целыми числами в системах счисления с произвольными основаниями вида p  10 аналогичны правилам в десятичной системе счисления с учетом того, что вес (стоимость) одной единицы каждого старшего разряда равен p единицам предшествующего младшего разряда. При ручном выполнении операций сложения и вычитания чисел в системах с постоянными основаниями используют их запись ”столбиком”.