4.3.3 Перевод правильных дробей из системы счисления
с основанием p = 2s в двоичную систему счисления
Рассмотрим также “быстрые” правила перевода дробей. Для осуществления данного перевода из основания p = 2s в двоичную систему все величины, стоящие в разрядах дроби, заменяют их двоичными записями длины s (со всеми незначащими нулями). Если исходная дробь является периодической, то длина ее периода в двоичной системе счисления может сократиться. Незначащие нули справа в итоговом двоичном представлении можно убрать.
Пример 12. Перевести в двоичную систему счисления правильную конечную дробь, представленную в восьмеричной системе счисления: 0,30768.
Решение. 8 = 23, s = 3. Представляя по очереди цифры дроби их двоичными записями длины s = 3, получим: 38 = 0112, 08 = 0002, 78 = 1112, 68 = 1102.
Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащий нуль справа, получим искомое выражение.
Ответ: 0,30768 = 0,011000111112.
Пример 13. Перевести в двоичную систему счисления правильную периодическую дробь, представленную в шестнадцатеричной системе счисления: 0,В58(А)16.
Решение. 16 = 24, s = 4. Представляя по очереди цифры постоянной части и периода дроби их двоичными записями длины s = 4, получим:
В16 = 10112, 516 = 01012, 816 = 10002, А16 = 10102.
Соединяя полученные двоичные записи, с учетом того, что период в двоичной системе счисления распадается на две одинаковые части, получим: 0,101101011000(10)2
Ответ: 0,В58(А)16 = 0,101101011000(10)2.
Перевод производится следующим образом. Начиная со старших разрядов двоичной записи (после запятой), все цифры дроби группируются по s и заменяются цифрами в системе счисления с основанием p = 2s. Если исходная двоичная дробь является конечной и в последней группе меньше, чем s знаков, ее справа дополняют незначащими нулями до s цифр. Если исходная двоичная дробь является периодической, ее период повторяется до тех пор, пока не определится период в новой системе счисления.
Пример 14. Перевести в четверичную систему счисления правильную конечную двоичную дробь 0,1101100112.
Решение. 4 = 22, s = 2. Разбивая дробную часть слева направо по два знака и дополняя в последней группе единицу справа незначащим нулем, переводим полученные в группах двузначные двоичные числа в четверичную систему счисления:
112 = 34, 012 = 14, 102 = 24, 012 = 14, 102 = 24.
Записывая слитно полученные цифры дроби, получим: 0,312124.
Ответ: 0,1101100112 = 0,312124.
Пример 15. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления правильную периодическую двоичную дробь 0,110110(011)2.
Решение. 16 = 24, s = 4.
Разбиваем дробную часть слева направо на группы по 4 знака и переводим двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления. Начиная со второй группы, в них входят цифры из периодов. Их выделим курсивом, начало и конец каждого периода дополнительно показаны скобками. Разбиение на группы и перевод чисел продолжаем до тех пор, пока не получим период в шестнадцатеричной системе счисления, который начинается с группы цифр, образованных периодом двоичного числа:
11012 = D16; 10(012 = 916; 1)(011)2 = В16; (011)(02 = 616; 11)(012 = D16; 1)(011)2 = В16.
Период шестнадцатеричной дроби равен (В6D) Записывая слитно полученные цифры основной части дроби и периодическую часть, получим: 0,D9(В6D)16.
Ответ: 0,110110(011)2 = 0,D9(В6D)16.
|
Скачать 9.96 Mb.