Экономическая теория. Ирина Александровна СтрелецИрина Кантовна СтанковскаяЭкономическая теория. Полный курс мва
 Скачать 4.27 Mb.
|
|
Математическое приложение 34 На деле весьма сомнительно, чтобы была сколько-нибудь значительная польза от применения сложных математических формул. Но обращение к математической логике сослужило большую службу, так как она побудила людей отказаться от рассмотрения какой-либо проблемы, пока они не уяснят себе, в чем именно состоит эта проблема… Альфред Маршалл, английский экономист 1. Функции, их графики, элементарные свойства функций Если две величины связаны между собой, то говорят, что между ними существует функциональная зависимость. Одну из этих величин (любую) называют аргументом, или независимой переменной, другую – зависимой переменной, или функцией. Пусть, например, х 1 и х 2 – количества товаров, их цены – Р 1 и Р 2 , а сумма, затраченная на их покупку, равна Q. Тогда между величинами х 1 и х 2 существует связь Считая х 1 функцией, а х 2 аргументом, найдем эту функцию: Если же функцией считать х 2 , а аргументом – х 1 то функциональная зависимость будет иметь вид Обычно в математике аргумент обозначают буквой х, а функцию – буквой y. Функци- ональная зависимость в этом случае будет иметь вид формулы у = f(x). Задавая произволь- ным образом независимую переменную х, найдем по этой формуле величину у, т. е. точку с координатами (х, у) на координатной плоскости. 34 Написано профессором математики Московского Государственного Института электроники и математики (Технический Универсистет) Кантом Константиновичем Ливановым. И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 377 Вычисляя несколько таких точек и соединяя их, получим кривую, характеризующую зависимость функции от аргумента (график данной функции). Например, рассмотренную зависимость (1) можно записать в виде График этой зависимости приведен на рис. 1. Видно, что с ростом количества товара х количество товара у уменьшается (денег на него остается меньше). Такие функции называются убывающими (в экономике такую зави- симость называют отрицательной). Другой пример – зависимость Торнквиста между величиной дохода х и величиной потребительского спроса у на товары первой необходимости: Из графика этой зависимости, изображенного на рис. 2, видно, что чем больше доход х, тем больше спрос у. Такие функции называются возрастающими (в экономике такая связь величин называется положительной). Возрастающие и убывающие функции визуально различают очень просто: график воз- растающей функции идет вверх, «в гору», график убывающей – вниз, «под гору». И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 378 Задача 1. Пусть у — численность лиц, получающих доход выше величины х. Зависи- мость у от x дается в этом случае формулой Парето График этой зависимости показан на рис. 3. И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 379 Определить, является эта функция возрастающей или убывающей. Согласуется ли поведение данной функции со здравым смыслом? Если функция сначала возрастает, а затем, начиная с некоторого значения х, убывает, то при этом значении x она принимает максимальное значение (рис. 4, а). Если же функция сначала убывает, а затем возрастает, то она имеет минимум (рис. 4, б). Пример 1. Рассмотрим зависимость дохода фирмы у от объема производства х (рис. 5). Вначале с ростом объема производства доход фирмы растет, так как увеличивается объем продаж товара. Затем, при больших объемах производства, происходит затоваривание, И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 380 снижение объема продаж и, как следствие, снижение дохода. Максимальный доход получа- ется при оптимальном объеме производства х опт . Пример 2. Рассмотрим изменение доходов двух фирм (А и Б) во времени (рис. 6). Фирма А имеет больший доход, но скорость роста ее дохода во времени (наклон кри- вой) уменьшается. Фирма Б имеет меньший доход, но у нее скорость роста дохода увеличи- вается во времени (растет наклон кривой). Поэтому фирма Б является более перспективной. Таким образом, важным является не только характер поведения функции (возраста- ние или убывание; в этом примере обе функции – возрастающие), но и скорость изменения функции. Чтобы исследовать поведение конкретной заданной функции, т. е. определить, явля- ется она возрастающей или убывающей, имеет ли она максимумы и минимумы, какова ско- рость изменения функции, понадобится понятие производной. И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 381 2. Приращение функции, относительное приращение, производная Рассмотрим функцию у = 2х + 3. Если х = 1, то у = 5. Увеличим аргумент х на пять единиц (это увеличение называется приращением аргумента и обозначается Δх). Новое значение аргумента будет равно х = 6, а новое значение функции будет равно у = 15. Видно, что с увеличением х на Δх = 5 функция также выросла на величину Δу = 10. Задача 2. Найти приращение функции у = 5х + 1, если x = 3, а Δх = 2. (Ответ: Δу = 10). Итак, приращения Δу у двух рассмотренных функций одинаковые. Означает ли это, что обе эти функции растут одинаково быстро? Нет, так как для получения одинакового увели- чения у в первом случае мы должны увеличить аргумент x на 5 единиц, а во втором – только на 2. Поэтому важен не абсолютный рост функции, а ее относительный рост. Показатель относительного роста (скорость роста) характеризуется величиной Для первой функции к = 2, для второй к = 5. Это означает, что вторая функция растет быстрее. Две рассмотренные функции принадлежат к классу линейных функций, общий вид которых задается формулой у = кх + b. Графиком линейной функции является прямая. Рассмотрим геометрический смысл уже введенных понятий «приращение аргумента», «приращение функции» и «показатель относительного роста». На рис. 7 изображены график линейной функции у = kx + b и две точки на нем – Δ(х, у) и В(х + Δх, у + Δу). И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 382 Из треугольника ABC видно, что показатель относительного роста равен Можно убедиться, что для линейной функции показатель относительного роста (ско- рость роста) равен коэффициенту при х в уравнении прямой у = кх + b (см. приведенные выше примеры 1 и 2), т. е. Это означает, что скорость роста связана с наклоном прямой. Чем больше угол наклона прямой, тем больше показатель относительного роста к, тем больше скорость роста. Так как для линейной функции скорость роста к связана с углом, величину к называют еще угловым коэффициентом. Знак углового коэффициента указывает на характер изменения функции (плюс – функция возрастает, минус – функция убывает). Задача 3. Найти угловой коэффициент у рассмотренной ранее линейной функции (2). Рассмотрим функцию, не являющуюся линейной. Графиком такой функции будет кри- вая линия (рис. 8). Видно, что для таких функций показатель относительного роста (скорость роста) будет меняться от точки к точке. В случае, изображенном на рис. 8, видно, что угол наклона уменьшается, и поэтому уменьшается скорость роста. С целью нахождения показателя относительного роста (скорости роста) данной функ- ции в данной точке М проведем в этой точке касательную к графику функции (рис. 9). И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 383 Можно считать, что вблизи точки М кривая и касательная совпадают, т. е. вблизи этой точки графиком функции является прямая линия, а сама функция вблизи данной точки явля- ется линейной. Уже было установлено, что для линейной функции показатель относительного роста функции равен k = tgα. Это и есть скорость роста данной функции в данной точке. Но вели- чина k меняется от точки к точке, так как меняется угол наклона. Следовательно, можно ска- зать, что показатель относительного роста k (скорость роста) является функцией от х. Эта функция называется производной от данной функции y = f(x) и обозначается как y = f'(х). Итак, производная от данной функции в данной точке – это тангенс угла наклона каса- тельной к оси X, т. е. f'(x) = tgα. И одновременно производная – это показатель относитель- ного роста (скорость роста) функции в данной точке, т. е. где Δx и Δу следует принимать очень малыми для того, чтобы находиться вблизи данной точки. В экономике скорость роста в данной точке (производная) называется предельной вели- чиной. Знак производной определяет характер изменения данной функции; если у' > 0, то функция возрастает, если у' < 0, то функция убывает. Используя терминологию экономистов, можно сказать, что связь переменных положи- тельная при положительной производной и отрицательная при отрицательной производ- ной. Задача 4. Нарисовать график какой-нибудь функции, у которой производная отрица- тельная; положительная. Задача 5. Определить по графику знак производной у рассмотренной выше функции Торнквиста (см. рис. 2). Задача 6. Пусть x – цена продукта, а у — спрос на этот продукт. Как исходя из здравого смысла ведет себя функция у с увеличением х? Какой знак имеет производная этой функции? Аналогичные вопросы для случая, когда x – это цена продукта, а у — предложение данного продукта. И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 384 Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцирова- нием. Продифференцировать данную функцию – значит найти производную этой функции. Для нахождения производных конкретных функций мы будем пользоваться табл. 1. Пример 5. Определить оптимальный объем x производства, если прибыль у моделиру- ется зависимостью у = 2х2 – 12х + 25. Решение. И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 385 Исследуем поведение функции у = 2х² — 12х + 25. Найдем ее производную у' = 4х – 12 и приравняем ее к нулю. Получим x = 3. Если объем производства хменяется от 0 до 3, то производная от прибыли отрицательная, и поэтому прибыль у убывает от 25 при x = 0 (при отсутствии производства) до 7 при x = 3. При x > 3 производная становится положительной и прибыль начинает возрастать, достигая значения 25 при x = 6, а затем при x > 6 превышает это значение. Следовательно, в зависимости от возможностей фирмы можно: а) ничего не делать (х = 0) и получать прибыль у = 25 в виде арендной платы; б) поднапрячься и достичь объема производства x > 6. Тогда прибыль превысит значе- ние 25, получаемое при отсутствии производства. Эти выводы подтверждаются табл. 2. Провести аналогичное исследование для случая, когда зависимость прибыли у от объ- ема производства х моделируется функцией у = х2 — 10х + 30. И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 386 3. Вторая производная, ее геометрический смысл Пусть дана функция у = х³ + х². Найдем от нее производную у' = Зх² + 2х. Эта произ- водная также является функцией от х, и можно попытаться найти от нее производную. Эта производная от производной называется второй производной: у" = 6х + 2. Вспомним, что знак первой производной показывает возрастание или убывание функ- ции. Соответственно знак второй производной показывает возрастание или убывание пер- вой производной, т. е. возрастание или убывание угла наклона кривой. Если у" > 0, то первая производная возрастает. Значит, возрастает угол наклона. А это означает, что кривая явля- ется выпуклой вниз (рис. 10, а). У функций с таким графиком скорость роста увеличивается. Если же у"< 0, то первая производная убывает. Это означает, что убывает угол наклона и что кривая является выпуклой вверх (рис. 10, б). У функций с таким графиком скорость роста уменьшается. Итак, знак второй производной характеризует изменение скорости роста функции: если у"> 0, то скорость роста функции увеличивается (график становится более крутым), если же у"< 0, то скорость роста функции уменьшается (график становится более пологим). Задача 10. Рассмотреть график, изображенный на рис. 2, и выяснить, увеличивается или уменьшается скорость роста функции Торнквиста. Пример 6. Графиком функции у = ах² + bх + с является парабола. Вторая производная у"= 2а. Если а > 0, то парабола выпукла вниз (ветви направлены вверх). А если а < 0, то парабола выпукла вверх (ветви направлены вниз). Задача 11. Изобразить график функции, у которой первая производная отрицательная, а вторая – положительная (убывает и выпукла вниз). Разобрать другие комбинации знаков первой и второй производных. И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 387 4. Эластичность Мы уже исследовали поведение функции, применяя понятие скорости роста. Скорость роста функции в точке определялась через отношение которое характеризует чувстви- тельность изменения величины у при изменении величины х. При этом для определения чувствительности функции в данной точке мы предполагали, что приращения Δх и Δу явля- ются малыми величинами. Однако величины этих приращений зависят от выбора единиц измерения: если Δх = 0,1 еще можно считать малой величиной, то Δх = 300 таковой уже не назовешь. А ведь это одна и та же величина, измеренная в первом случае, например, в долларах, а во втором – в копейках. Чтобы избежать такого рода противоречий, в экономике рассматривают относительные приращения (приращения величины, отнесенные к общему количеству величины), т. е. величины Эти относительные прираще- ния не зависят от выбора единицы измерения. Их отношение характеризует относительную чувствительность величины у, ее реакцию на относительное изменение величины х. При малых значениях величин δх и δу это отношение называется эластичностью величины у по величине х: Чтобы уточнить, что эластичность вычисляется в данной точке при малых прираще- ниях, ее называют предельной, или точечной эластичностью. Исследуем геометрический смысл эластичности в данной точке. Для этого запишем эластичность в виде Из геометрического смысла производной известно, что у' = tgα, где α – угол наклона касательной (рис. 11), а дробь (у/х) = tgβ, где угол β – это угол, образованный с осью X отрезком, идущим из начала координат в данную точку (рис. 11). И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 388 Поэтому для точечной эластичности получаем формулу Применим эту формулу к исследованию зависимости, изображенной на рис. 12. В точке А угол α наклона касательной меньше, чем угол β наклона отрезка ОА. Поэтому в этой точке при x = x 1 эластичность меньше единицы. Зависимость в этой точке не является эластичной. В точке В отрезок, идущий из начала координат в эту точку, совпадает с касательной, т. е. α = β. Следовательно, в этой точке при x = x 2 эластичность равна единице. И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 389 В точке С наклон касательной больше, чем наклон отрезка ОС. Следовательно, в этой точке при х = х 3 эластичность больше единицы, зависимость в данной точке является эла- стичной. И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 390 5. Суммарные, средние и предельные величины в экономике Пусть фирма А и фирма В выпускают одну и ту же продукцию и пусть прибыль у зави- сит от объема х выпускаемой продукции. Предположим, что для фирмы А зависимость при- были от объема продукции моделируется функцией у = 10х – х 2 . Это означает, что при объеме продукции х = 4 прибыль фирмы А будет равна у = 24. Пусть для фирмы В та же зависимость моделируется функцией у = 14х – х2. Тогда при объеме продукции х = 2 прибыль фирмы В будет равна у = 24. Итак, прибыли обеих фирм одинаковы. Однако прибыль, приходящаяся на единицу продукции у фирмы А, равна у/х = 6, в то время как у фирмы В она равна у/х = 12. Фирма В, таким образом, более рентабельна. Из этого следует, что наряду с величиной у полезно рассматривать также величину у/х. Обобщим эти рассуждения на случай произвольной функции. Пусть дана зависимость у = f(x). Значения функции у при данном значении л: будем называть суммарной величиной. Значение суммарной величины, поделенное на х, будем называть средней величиной. Итак, Средняя величина суммарной величины f(x) обозначается в экономике через Af(x) (обо- значение не очень удачное, так как можно принять его за умножение функции на число А). Выясним геометрический смысл средней величины и характер ее поведения. Рассмот- рим график некоторой функции (рис. 13). И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 391 Из рисунка видно, что средняя величина равна и она убывает с ростом х, так как убывает угол наклона прямой, идущей из начала координат в данную точку. Задача 12. Нарисовать график возрастающей и выпуклой вниз функции (какой у нее будет знак второй производной?), для которой средняя величина возрастает. Итак, для заданной суммарной величины f(x) можно по графику находить в каждой точке среднее значение Af(x), определяя координаты каждой точки и находя их отношение. Поставим обратную задачу. Пусть дан график среднего значения уср = Af(x) (рис. 14). Требуется по графику определить в данной точке значение у = f(x) суммарной величины. По определению Отсюда можно найти у = ycpx (площадь закрашенного прямо- угольника). Это и есть значение суммарной функции f(x). Наряду со средним значением Af(x) суммарной величины f(x), которое можно рассмат- ривать как глобальную скорость изменения суммарной величины, определяют также локаль- ную скорость изменения суммарной величины, т. е. ее производную f'(x) (см. п. 2). Эту величину называют маржинальной (или предельной) величиной суммарного значения и обо- значают Mf(x). С использованием среднего и маржинального значений суммарной величины можно получить следующее выражение эластичности: По данному суммарному значению f(x) можно найти предельное значение Mf(x) при помощи дифференцирования или геометрически через тангенс угла наклона (см. п. 2). Поставим обратную задачу: по данному предельному значению Mf(x) найти суммарное значение f(x). Математически это сводится к задаче о нахождении функции по ее производ- ной. Такая операция называется интегрированием и выполняется при помощи табл. 3. И. А. Стрелец, И. К. Станковская. «Экономическая теория. Полный курс МВА» 392 Задача 13. Найти f(x), если Mf(x) = 5х³ – х² + 1. Геометрически по данному графику у = Mf(x) суммарное значение f(x) в данной точке x определяется как площадь S под кривой на участке от 0 до x (рис. 15). |