рабочая программа к учебнику Мордковича 10-11 класс. Isbn 9785360086949М79Мордкович, А. Г
 Скачать 287.62 Kb.
|
|
2) Постепенное введение в программу свойств функций, подлежащих изучению, на различных уровнях строгости. Перечислим те свойства функций, которые на том или ином уровнях строгости изучаются в различных раз- делах школьного курса алгебры: область определения, об- ласть значений функции, монотонность, чётность, перио- дичность, непрерывность, выпуклость, ограниченность, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения, диффе- ренцируемость. Естественно, учителей всегда беспокоят три вопроса: — каким из этих понятий нужно дать в школе точ- ное определение, а какие достаточно описать на наглядно- интуитивном или рабочем уровне; — как и когда давать то или иное формальное опре- деление; — если точное определение вводится позже первич- ного использования понятия, то каковы пропедевтика и динамика развития соответствующего понятия? Эти вопросы далеко не праздные. Главная методиче- ская ошибка — появление указанных свойств функций в более или менее полном объёме практически одновремен- но при изучении темы «Исследование функций с помо- 35836s1.indd 12 35836s1.indd 12 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 13 щью производной» в 10–11классах, что вызывает понят- ные затруднения у учащихся (из-за переизбытка инфор- мации). Это и педагогическая ошибка. Дело в том, что каждый учитель реализует в своей педагогической дея- тельности различные программы: интереса, памяти, раз- вития и т. д. Среди них значительное место занимает про- грамма развития речи (включающая, в частности, пра- вильное употребление терминов математического языка). Не следует забывать, что в реальной жизни употребление определённых терминов в речи со смутным их понимани- ем часто предшествует полноценному пониманию, кото- рое приходит после привыкания к терминам. Поэтому мы считаем не только возможным, но и полезным употребле- ние школьниками, начиная с 7 класса, таких, например, терминов, как «непрерывность функции», «наибольшее и наименьшее значения функции», без знания строгих ма- тематических определений этих понятий, что и сделано в нашем учебнике «Алгебра-7». В 8 классе на наглядно-ин- туитивном уровне мы ввели понятия выпуклости и огра- ниченности функции. И только в курсе алгебры 9 класса после накопления соответствующего опыта мы выходим на формальный уровень определения таких понятий, как «ограниченность функции», «наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке» и т. д. Естественно, в учебниках для 10 и 11 классов все определения, извест- ные из курса алгебры основной школы, напоминаются и добавляются такие свойства, как непрерывность, диффе- ренцируемость и экстремум функции. Приведём таблицу «стратегии и тактики» изучения свойств функций в нашем курсе алгебры для 7–11 клас- сов. Стратегия определяет время введения понятия (класс), а тактика — формирование уровней строгости предъявления понятия. В таблице приняты условные обо- значения: Н — это значит, что соответствующее свойство функции вводится на наглядно-интуитивном уровне; Р — это значит, что свойство функции изучается на рабочем уровне, на уровне словесного описания, не загнанного в жёсткую формальную конструкцию; Ф — означает фор- мальное определение свойства. 35836s1.indd 13 35836s1.indd 13 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 14 Свойство Класс 7 8 9 10 Область определения Н Р Ф Ф Наибольшее и наименьшее зна- чения функции на промежутке Н Р Ф Ф Монотонность Н Р Ф Ф Непрерывность Н Н Н Р, Ф Ограниченность — Н, Р Ф Ф Выпуклость — Н Н Н Область значений — Н, Р Ф Ф Чётность — — Ф Ф Периодичность — — Ф Ф Дифференцируемость — — — Н Экстремумы — — — Ф Учитывая, что учащиеся 7–9 классов более воспри- имчивы к новым математическим понятиям (представ- ленным хотя бы в ознакомительном плане), чем учащи- еся 10–11 классов, мы все свойства функций, какие было можно, перенесли в основную школу; в старшей школе впервые появляются лишь два свойства функций (из 11). 3) Для понимания учащимися курса алгебры и на- чал математического анализа в целом прежде всего важ- но, чтобы они полноценно усвоили первичные модели (функции). Это значит, что нужно организовать их дея- тельность по изучению той или иной функции так, чтобы рассмотреть новый объект (конкретную математическую модель — функцию) системно, с различных сторон, в раз- ных ситуациях. В то же время не должно складываться ощущение набора случайных сюжетов, различных для разных классов функций, это создаст ситуацию диском- форта в обучении. Возникает методическая проблема вы- деления в системе упражнений по изучению того или ино- 35836s1.indd 14 35836s1.indd 14 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 15 го класса функций инвариантного ядра, универсального для любого класса функций. В наших учебниках такое ядро, инвариантное отно- сительно класса функций, состоит из шести направлений (компонентов): • графическое решение уравнений (систем уравне- ний, неравенств); • отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке; • преобразование графиков; • функциональная символика; • кусочно-заданные функции; • чтение графика. Учащиеся постепенно привыкают к тому, что какой бы новый класс функций они ни изучали, в системе упражнений обязательно будут упражнения, рассредото- ченные по указанным шести блокам. Образно выражаясь, это шесть красок, с помощью которых изучаемая матема- тическая модель — функция — становится ёмкой, цель- ной, понятной, красивой и привычной. Создаётся эффект предсказуемости деятельности, что делает совместную ра- боту учителя и ученика на уроке достаточно комфортной. Раскроем методические особенности каждого из указанных направлений. Графическое решение уравнений. Графический (или, точнее, функционально-графиче- ский) метод решения уравнений должен, на наш взгляд, всегда быть первым и одним из главных при решении уравнений любых типов. Неудобства, связанные с приме- нением графического метода, как правило, создают ту проблемную ситуацию, которая приводит к необходимо- сти отыскания алгоритмов аналитических способов реше- ния уравнения. Эта идея проходит у нас красной нитью через весь школьный курс алгебры и начал математиче- ского анализа. Что даёт этот метод для изучения той или иной функции? Он приводит ученика к ситуации, когда гра- фик функции строится не ради графика, а для решения другой задачи — для решения уравнения. График функ- 35836s1.indd 15 35836s1.indd 15 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 16 ции становится не целью, а средством, помогающим ре- шить уравнение. Это способствует и изучению функции, и ликвидации того неприязненного отношения к функци- ям и графикам, которое, к сожалению, характерно для традиционных способов организации изучения курса ал- гебры в общеобразовательной школе. В наших учебных пособиях графический способ решения уравнения прак- тически всегда предшествует аналитическим способам. Учащиеся вынуждены применять его, привыкать к нему и относиться как к своему первому помощнику (они, об- разно выражаясь, обречены на дружбу с графическим методом), поскольку никаких других приёмов решения того или иного уравнения к этому времени не знают. Опыт показывает, что графический метод решения урав- нений им нравится, они чувствуют его полезность и кра- соту и в то же время ощущают проблемность ситуации, вызванной ненадёжностью этого метода решения уравне- ния. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке. Начиная с 7 класса мы предлагаем учащимся зада- ния такого типа: найти наибольшее и наименьшее значе- ния функции y 2x3 на отрезке [1; 3]. Предполагается, что учащиеся построят график линейной функции y 2x 3, выделят часть графика на отрезке [1; 3] и по графику найдут наибольшее и наименьшее значения функ- ции. В чём методическая ценность подобного задания? Во-первых, это новая «игра» с функцией, когда гра- фик нужен не сам по себе, а для ответа на вопрос задачи (опять график — не цель, а средство). Во-вторых, сами того не осознавая, учащиеся при- выкают к оперированию «двухкванторным», т. е. доста- точно сложным математическим понятием, восприятие которого требует как определённой подготовки, так и определённого уровня математической культуры. Преобразование графиков. Начиная с 8 класса какая бы функция ни изучалась, школьникам предлагается в системе упражнений выпол- нить то или иное преобразование графика. 35836s1.indd 16 35836s1.indd 16 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 17 Функциональная символика. Как только в 7 классе появится запись y f (x), по- лезно предлагать учащимся примеры, нацеленные на осознание смысла этой записи, примеры на функциональ- ную символику. Опыт показывает, что школьники часто не могут, например, исследовать функцию на чётность не потому, что не знают определений чётной или нечётной функции, а потому, что не понимают смысла записи f ( x). Нередко учащиеся испытывают затруднения с производ- ной также из-за чисто технических трудностей: не пони- мают смысла записи f (x x) и вследствие этого не могут составить выражение для приращения функции даже в достаточно простых случаях. Это означает, что соответ- ствующая работа не была проведена учителем в 7–9 клас- сах. Поэтому считаем полезным включать в учебники и задачники задания следующего типа: для функции y f (x), где f (x)2x 2 5x3, найти f (a1), f (a2), f (3a), f (5x), f ( x), 3f (x), f (x 2 ) и т. п. Кусочно-заданные функции. Для правильного формирования у учащихся как са- мого понятия функции, так и представления о методоло- гической сущности этого понятия, полезно делать то, что до недавнего времени отсутствовало в большинстве школь- ных учебников, о чём забывают и авторы многочислен- ных методических рекомендаций. Речь идёт о рассмотре- нии кусочных функций, т. е. функций, заданных различ- ными формулами на разных промежутках области определения. Во многих случаях именно кусочные функ- ции являются математическими моделями реальных си- туаций. Использование таких функций способствует пре- одолению обычного заблуждения учеников, отождествля- ющих функцию только с её аналитическим заданием в виде некоторой формулы. В самом деле, чтобы задать функцию, надо указать область её определения D (f) и указать правило f, по которому каждому значению x из множества D (f) сопоставляется определённое значение y. Если учащиеся имели дело с функциями, заданными ана- литически одной формулой, заданными с помощью гра- фика и особенно заданными различными формулами на 35836s1.indd 17 35836s1.indd 17 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 разных промежутках, то они легче воспримут ту тон- кость, которая содержится в определении («правило f»); менее вероятно при этом и отождествление ими «правила f» с «формулой f». Использование кусочных функций го- товит как в пропедевтическом, так и в мотивационном плане понятие непрерывности. Использование на уроках кусочных функций даёт возможность учителю сделать си- стему упражнений более разнообразной (что очень суще- ственно для поддержания интереса к предмету у обуча- емых), творческой (можно предложить учащимся самим конструировать примеры). Отметим и воспитательный момент: это воспитание умения принять решение, завися- щее от правильной ориентировки в условиях, это и свое- образная эстетика — оценка красоты графиков кусочных функций, предложенных разными учениками. Чтение графика. В системе упражнений мы регулярно предлагаем учащимся не только построить и прочитать график функ- ции, но и по заданному графику восстановить аналитиче- ское задание функции. Вообще переход от одного вида математической модели (аналитическая, графическая, вербальная) к другому происходит у нас в системе упраж- нений регулярно. 35836s1.indd 18 35836s1.indd 18 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 19 Программа по алгебре и началам математического анализа для 10–11 классов общеобразовательных учреждений Содержание курса алгебры и начал математического анализа 10–11 классов (базовый уровень) 10 класс Тригонометрические функции Числовая окружность. Числовая окружность в ко- ординатной плоскости. Синус, косинус, тангенс, котан- генс. Табличные значения тригонометрических функ- ций. Основное тригонометрическое тождество и след- ствия из него. Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Функции y sin x, y cos x, y tg x, y ctg x, их свойства и графики. Периодич- ность тригонометрических функций. Преобразования графиков тригонометрических функций. Обратная функция. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Тригонометрические уравнения Арккосинус, арксинус, арктангенс, арккотангенс числа. Простейшие тригонометрические уравнения. Ме- тоды решения тригонометрических уравнений. Решение простейших тригонометрических неравенств. Преобразование тригонометрических выражений Формулы приведения. Синус, косинус, тангенс сум- мы и разности аргументов. Формулы двойного аргумента и понижения степени. Преобразование суммы тригономе- трических функций в произведение. Степени и корни. Степенные функции Функция y x n , её свойства и график. Свойства корней n-й степени. Степень с любым рациональным по- 35836s1.indd 19 35836s1.indd 19 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 20 казателем. Преобразование иррациональных выражений. Иррациональные уравнения. Степенные функции, их свойства и графики. Показательные и логарифмические функции Показательная функция, её свойства и график. Чис- ло е. Показательные уравнения и неравенства. Логарифм числа. Логарифмическая функция, её свойства и график. Десятичный логарифм. Натуральный логарифм. Основ- ные свойства логарифмов. Преобразование логарифмиче- ских выражений. Логарифмические уравнения и нера- венства. Переход к новому основанию логарифма. Вероятность, случайные события, случайные величины Повторение. Решение задач на табличное и графиче- ское представление данных. Использование свойств и ха- рактеристик числовых наборов: средних, наибольшего и наименьшего значения, размаха, дисперсии. Решение за- дач на определение частоты и вероятность событий. Вы- числение вероятностей в опытах с равновозможными эле- ментарными исходами. Решение задач с применением комбинаторики. Решение задач на вычисление вероятно- стей независимых событий, применение формулы сложе- ния вероятностей. Вероятности случайных событий. Биномиальные коэффициенты. Формула бинома Ньютона. Биномиаль- ное распределение. Схема Бернулли. Дискретные случай- ные величины и их таблицы распределений. Числовые характеристики дискретных случайных величин. 11 класс Элементы теории пределов Числовые последовательности. Понятие предела числовой последовательности. Предел функции на бес- конечности. Предел функции в точке. Приращение аргу- мента. Приращение функции. Производная Задачи, приводящие к понятию производной. Про- изводная функции в точке. Геометрический и физический 35836s1.indd 20 35836s1.indd 20 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 смысл производной. Понятие о непрерывных функциях. Правила дифференцирования. Производные элементар- ных функций. Уравнение касательной. Исследование функций с помощью производной Исследование элементарных функций на монотон- ность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наи- меньшего значений функции с помощью производной. Построение графиков функций с помощью производных. Применение производной при решении задач. Первообразная и интеграл Первообразная. Правила отыскания первообразных. Первообразные элементарных функций. Площадь криво- линейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Опре- делённый интеграл. Вычисление площадей плоских фи- гур и объёмов тел вращения с помощью интеграла. Непрерывные распределения вероятностей. Закон больших чисел Геометрия и вероятность. Равномерное распределе- ние. Приближения в формуле Бернулли. Нормальное рас- пределение. Случайные величины и закон больших чи- сел. Уравнения и неравенства Равносильные и неравносильные уравнения и нера- венства. Основные методы решения уравнений. Системы уравнений. Решение неравенств с одной переменной. Не- равенства с модулями. Иррациональные неравенства. Уравнения, системы уравнений с параметром. Тексто- вые задачи. 35836s1.indd 21 35836s1.indd 21 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 22 Примерные результаты обучения Выпускник научится в 7–11 классах (для использо- вания в повседневной жизни и обеспечения возможности продолжения образования): Элементы теории множеств и математической логики • Оперировать на базовом уровне понятиями: конеч- ное множество, элемент множества, подмножество, пере- сечение и объединение множеств, числовые множества на координатной прямой. • Находить пересечение и объединение двух мно- жеств, представленных графически на числовой прямой. • Строить на числовой прямой подмножество число- вого множества, заданное простейшими условиями. • Оперировать на базовом уровне понятиями: ут- верждение, отрицание утверждения, истинные и ложные утверждения, причина, следствие, частный случай обще- го утверждения, контрпример. |