рабочая программа к учебнику Мордковича 10-11 класс. Isbn 9785360086949М79Мордкович, А. Г
 Скачать 287.62 Kb.
|
|
УДК 373.5.016:512 ББК 74.262.21 М79 ISBN 978-5-360-08694-9 М79 Мордкович, А. Г. Математика : алгебра и начала математического ана- лиза, геометрия. Алгебра и начала математического ана- лиза. Базовый уровень : 10—11 классы : рабочая програм- ма к линии УМК А. Г. Мордковича, П. В. Семёнова, Л. А. Александровой / А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов, Л. А. Александрова. — М. : Вентана-Граф, 2017. — 38 с. ISBN 978-5-360-08694-9 В первой части данного пособия излагается общая концепция курса алгебры и начал математического анализа, реализованная в учебниках 7—11 А. Г. Мордковича, П. В. Семёнова, Л. А. Александ- ровой. Вторая часть — рабочая программа, которая включает содер- жание курса алгебры и начал математического анализа 10—11 классов, примерные результаты обучения и тематическое планирование. Рабочая программа соответствует Федеральному государствен- ному образовательному стандарту и Примерной основной образова- тельной программе среднего (полного) образования, утверждённой 28 июня 2016 г. УДК 373.5.016:512 ББК 74.262.21 © Мордкович А. Г., Семёнов П. В., Александрова Л. А., 2017 © Издательский центр «Вентана-Граф», 2017 О данном пособии В первой части данного пособия излагается общая концепция курса алгебры и начал математического ана- лиза, реализованная в наших учебниках 7–11. Внима- тельный читатель увидит полное соответствие нашей кон- цепции основным положениям и требованиям Федераль- ного государственного образовательного стандарта. Вторая часть пособия содержит рабочую программу, включающую содержание курса, примерное поурочное планирование и предметные результаты обучения. 35836s1.indd 3 35836s1.indd 3 30.03.2017 12:03:54 30.03.2017 12:03:54 4 Концепция курса алгебры и начал математического анализа для общеобразовательной школы Исходные положения нашей концепции можно сформулировать в виде двух тезисов: 1. Математика в школе — не наука и даже не ос- новы науки, а учебный предмет. 2. Математика в школе — гуманитарный учеб- ный предмет. Обсудим первый тезис. Не так давно считалось, что главное в школьном обучении — повысить так называе- мую научность, что в конечном итоге свелось к перекосу в сторону формализма и схоластики, к бессмысленному за- учиванию формул. Когда педагогическая общественность начала это осознавать, стало крепнуть (хотя и не без борь- бы) представление о том, что школьная математика не наука, а учебный предмет со всеми вытекающими отсюда последствиями. В учебном предмете необязательно соблю- дать законы математики как науки (например, такие: всё начинается с аксиом, нельзя начинать изучение теории без строгого определения основного понятия, все утверж- дения надо доказывать и т. д.), зачастую более важны за- коны педагогики и особенно психологии, постулаты тео- рии развивающего обучения. В этой связи остановимся на одном из самых трудных моментов в преподавании — вве- дении определений (как и когда вводить то или иное сложное математическое понятие) и на выборе уровня строгости изложения в школьном курсе математики. Нач- нём с определений. Если основная задача учителя — обучение, то он имеет право давать формальное определение любого по- нятия тогда, когда считает нужным. Если основная зада- ча учителя — развитие, то следует продумать выбор места и времени (стратегия) и этапы постепенного подхода к формальному определению на основе предварительного изучения понятия на более простых уровнях (тактика). Таких уровней в математике можно назвать три: нагляд- 35836s1.indd 4 35836s1.indd 4 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 5 но-интуитивный, когда новое понятие вводится с опорой на интуитивные или образные представления учащихся; рабочий (описательный), когда от учащегося требуется уметь отвечать не на вопрос «Что такое…», а на вопрос «Как ты понимаешь, что такое…»; формальный. Страте- гия введения определений сложных математических по- нятий в наших учебниках базируется на положении о том, что выходить на формальный уровень следует при выполнении двух условий: 1) если у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия, причём опыт по двум направлениям: вербальный (опыт полноцен- ного понимания всех слов, содержащихся в определении) и генетический (опыт использования понятия на нагляд- но-интуитивном и рабочем уровнях); 2) если у учащихся появилась потребность в фор- мальном определении понятия. Что касается генетического опыта, то следует чаще обращаться к истории математики. То или иное понятие математики практически всегда проходило в своём ста- новлении три указанные выше стадии (наглядное пред- ставление, рабочий уровень восприятия, формальное определение), причём переход с уровня на уровень зача- стую был весьма болезненным и длительным по времени. Не учитывать этого нельзя в силу своеобразного «закона сохранения сложности»: если формирование раздела на- уки, понятия, утверждения и т. п. в реальной истории науки было долгим и сложным, а временами, быть мо- жет, и мучительным, то и при обучении излишняя про- стота изложения психологически дезориентирует уча- щихся, создавая ненужную иллюзию лёгкости. Школьни- кам нужно дать время хотя бы приблизительно, но пережить эту нетривиальность, деятельностно почувство- вать её, не спеша переходить с уровня на уровень. Рассмотрим в качестве примера формирование по- нятия равносильности уравнений в нашем курсе 7–11. В 7 классе о равносильности уравнений и о равносильных преобразованиях уравнения речи вообще не идёт, хотя, разумеется, решаются уравнения (линейные и даже неко- 35836s1.indd 5 35836s1.indd 5 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 6 торые квадратные) и системы линейных уравнений. По- чему? Да потому что в рассматриваемом блоке уравнений неравносильных преобразований не бывает, следователь- но, нет никакой потребности во введении специального термина, да и опыт приобретать не на чем. В начале 8 класса при изучении алгебраических дробей даются первые представления о рациональных уравнениях и, в частности, о том, что при их решении могут появиться по- сторонние корни, а потому обязательна проверка. Но тер- мин «равносильность» ещё не вводится (мало опыта). Во втором полугодии 8 класса решаются рациональные урав- нения и простейшие иррациональные уравнения. Обнару- живается, что посторонние корни могут появиться не только за счёт освобождения от знаменателей, но и за счёт возведения обеих частей уравнения в квадрат. Вот теперь ученики накопили необходимый опыт и ощутили потреб- ность в его осмыслении, значит, именно здесь настал бла- гоприятный момент для введения таких понятий, как «равносильность уравнений», «равносильные» и «нерав- носильные их преобразования», «посторонние корни» и «проверка корней». Эта линия продолжается в 10 классе при решении показательных и логарифмических уравне- ний. А общий итоговый разговор о равносильных и не- равносильных преобразованиях уравнений, о проверке корней и отсеве посторонних корней, о причинах потери корней при решении уравнений отложен до последней главы учебника для 11 класса. Подчеркнём, что новый математический термин и новое обозначение должны появляться мотивированно, тогда, когда в них возникает необходимость — в первую очередь в связи с появлением новой математической мо- дели. Немотивированное введение нового термина прово- цирует запоминание (компонент обучения) без понимания (и, следовательно, без развития). Несколько слов о выборе уровня строгости в учебном предмете. В отличие от науки, в учебном предмете мы не обязаны всё доказывать. Более того, в ряде случаев прав- доподобные рассуждения или рассуждения, опирающие- ся на графические модели, на интуицию, имеют для 35836s1.indd 6 35836s1.indd 6 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 7 школьников более весомую развивающую и гуманитар- ную ценность, чем формальные доказательства. В нашем курсе всё, что входит в программу, что имеет воспита- тельную ценность и доступно учащимся, доказывается. Если формальные доказательства мало поучительны и схоластичны, они заменяются правдоподобными рассуж- дениями (в основном это относится к изучению элементов математического анализа). Наше кредо: с одной стороны, меньше схоластики, меньше формализма, меньше «жёстких моделей», меньше опоры на левое полушарие мозга; с другой стороны, больше геометрических иллю- страций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше «мягких моделей», больше опоры на правое полушарие мозга. Преподавать в постоянном ре- жиме жёсткого моделирования — легко, использовать в преподавании режим мягкого моделирования — трудно; первый режим — удел ремесленников от педагогики, вто- рой режим — удел творцов. Подробнее мы поговорим об этом ниже, при обсуждении методических особенностей нашего изложения элементов математического анализа в школе. Обсудим теперь второй тезис. Математика — гума- нитарный (общекультурный) предмет, который позволяет субъекту правильно ориентироваться в окружающей дей- ствительности и «ум в порядок приводит». Раскроем, в чём мы видим гуманитарный (общекультурный) потенци- ал школьного курса алгебры и начал математического анализа. Естественным этапом развития познания, на котором осуществляется переход от содержательного и качествен- ного анализа объекта к формализации и количественному анализу, является математическое моделирование реаль- ных процессов. Математическое моделирование — основа происходящей в настоящее время математизации науч- ных знаний и, кроме того, важный этап познания: мате- матические модели соответствуют понятию отражения в диалектической теории познания. Поэтому одной из ос- новных задач школьного математического образования является ознакомление учащихся с соотношениями меж- 35836s1.indd 7 35836s1.indd 7 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 8 ду явлениями реального или проектируемого мира и его математическими моделями, практическое их обучение построению математических моделей, объяснение им того, что абстрактная математическая модель, в которой отброшено всё несущественное, позволяет глубже понять суть вещей. Математика — наука о математических моделях. Модели описываются в математике специфическим язы- ком (термины, обозначения, символы, графики, графы, алгоритмы и т. д.). Значит, надо изучать математический язык, чтобы мы могли работать с любыми математиче- скими моделями. Но учебный предмет, ориентированный на изучение какого-либо языка, обычно считают предме- том гуманитарным. Особенно важно при этом подчерк- нуть, что основное назначение математического языка — способствовать организации деятельности (тогда как ос- новное назначение обыденного языка — служить средством общения), а это в наше время очень важно для культурного человека. Поэтому в нашем курсе 7—11 ма- тематический язык и математическая модель — клю- чевые слова в постепенном развёртывании курса, его идейный стержень. При наличии идейного стержня мате- матика предстаёт перед учащимся не как набор разроз- ненных фактов, которые учитель излагает только потому, что они есть в программе, а как цельная развивающаяся дисциплина общекультурного характера. В наше время владение хотя бы азами математического языка — непре- менный атрибут культурного человека. Поэтому, на наш взгляд, заниматься изучением математического языка и математических моделей надо сегодня как можно рань- ше, начиная с начальной школы. Гуманитарный потенциал школьного курса алгебры мы видим, во-первых, в том, что владение математиче- ским языком и математическим моделированием позво- лит учащемуся лучше ориентироваться в природе и обще- стве; во-вторых, в том, что математика по своей внутрен- ней природе имеет богатые возможности для воспитания мышления и характера учащихся; в-третьих, в реализа- ции в процессе преподавания идей развивающего и проб- 35836s1.indd 8 35836s1.indd 8 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 9 лемного обучения; в-четвёртых, в том, что уроки матема- тики (при правильной постановке) способствуют разви- тию речи обучаемого не в меньшей степени, чем уроки русского языка и литературы. Заметим, что желание способствовать реализации последнего тезиса и привело к тому, что наши учебники написаны весьма подробно, обстоятельно и где-то даже избыточно многословно, вопреки сложившейся в послед- ние годы традиции излагать материал в школьных учеб- никах математики в телеграфно-инструктивной, инфор- мационно-авторитарной манере. Но есть и ещё одна се- рьёзная причина выбора нами мягкого стиля подачи материала в учебнике как в отдельной книге. Дело в том, что сегодня школа, повторим ещё раз, должна не только обеспечить учащегося необходимыми знаниями, но и ор- ганизовать формирование самостоятельного деятельност- ного опыта нахождения, получения и отбора информа- ции. А для этого как минимум необходима привычка, навык самостоятельного чтения и понимания учебных текстов, в первую очередь текстов учебников. Но сухо на- писанный учебник школьник читать не будет. В нашем построении школьного курса 7–11 реализо- ваны следующие принципы. 1. Принцип крупных блоков. Он выражается в том, что если имеется объективная возможность изучить тот или иной раздел курса алгебры в том или ином классе компактно, без перебивок, без лоскутности, то этой воз- можностью следует воспользоваться. Так, в курсе 10 клас- са компактно строится раздел «Тригонометрия», в курсе 11 класса — раздел, посвящённый началам математиче- ского анализа. 2. Принцип детерминированности, логической за- вершённости построения курса. Образно выражаясь, программа курса должна быть «некоммутативна», т. е. выстроена так, чтобы темы были, как правило, непереста- вимы и порядок ходов был понятен учителю. 3. Принцип завершённости в пределах учебного года. Опять-таки, образно выражаясь, можно сказать так: школьный курс 7–11 — «пятисерийный (по числу лет из- 35836s1.indd 9 35836s1.indd 9 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 10 учения курса) роман с продолжением»; в каждом кон- кретном классе изучается определённая серия, имеющая свою внутреннюю интригу и более-менее законченное со- держание, причём это содержание может быть кратко охарактеризовано одной-двумя ключевыми фразами. Реа- лизация этого принципа способствует тому, что учащиеся начинают лично осознавать структуру курса. Если не ка- саться пока стохастической линии курса, то учебник 10 класса посвящён изучению элементарных функций, а учебник 11 класса — изучению элементов математиче- ского анализа. 4. Приоритетность функционально-графической линии. Математические модели напрямую связаны с функциями, поэтому функции становятся ведущей идеей курса алгебры практически во всех разделах. При этом надо подчеркнуть, что реализуемая в нашей программе концепция изучения функций существенно отличается от традиционной. Методология новой концепции заключается в следу- ющем: каждый год обучения ориентирован на конкрет- ную модель реальной действительности. Раскроем это по- ложение. Основная тема 7 класса — линейная функция, что с точки зрения моделирования реальных процессов соот- ветствует равномерным процессам. Основная тема 8 клас- са — квадратичная функция, моделирующая равноуско- ренные процессы. Основная тема 10 класса — тригономе- трические функции, они моделируют периодические процессы. Во втором полугодии 10 класса появляется по- казательная функция, моделирующая процессы органи- ческого роста. Таким образом, тезис «математика изучает математические модели» наполняется конкретным содер- жанием: четыре типа основных моделей реальной дей- ствительности, изучаемых в школе (на уроках математи- ки, физики, химии и т. п.), чётко разводятся по годам изучения школьного курса алгебры и начал математиче- ского анализа. Приоритетность функционально-графической ли- нии выражается прежде всего в том, что какой бы класс 35836s1.indd 10 35836s1.indd 10 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 11 функций, уравнений, выражений ни изучался, построе- ние материала практически всегда осуществляется по жёсткой схеме: функция — уравнения — преобразования. Приоритетность функционально-графической ли- нии имеет ярко выраженный психологический подтекст. Известно, что наш мозг состоит из двух полушарий: ле- вое, по образному замечанию академика В. И. Арнольда, отвечает «за умножение многочленов, языки, шахматы и интриги и последовательности силлогизмов, а правое — за пространственную ориентацию, интуицию и всё необ- ходимое в реальной жизни» (В. И. Арнольд. Жёсткие и мягкие математические модели» — М. : МЦНМО, 2000). К сожалению, алгебра в школе преимущественно «лево- полушарна» из-за засилья в ней формульной части, тогда как дети к началу изучения алгебры в большинстве своём «правополушарны». Налицо противоречие между постро- ением курса и возможностями детей. Приоритет функцио- нально-графической линии сглаживает это противоречие, поскольку активно опирается на возможности правого по- лушария, создаёт нормальную среду для гармоничной ра- боты обоих полушарий мозга. Здесь уместно вспомнить высказывание француз- ского психолога I. Solgnier: «Обучая левое полушарие, вы обучаете только левое полушарие. Обучая правое полуша- рие, вы обучаете весь мозг». Раскроем методические особенности того, как основ- ные положения нашей концепции изучения функций реа- лизуются в наших учебниках. 1) Отказ от формулировки определения функ- ции при первом появлении этого понятия. Поначалу, пока изучаются простейшие функции (линейная, обратная пропорциональность, квадратичная и пр. — в нашей программе это материал 7–8 классов), следует отказаться от формального определения функции и ограничиться описанием, не требующим заучивания. Ничего страшного в этом нет, о чём свидетельствует и история математики. Многие математические теории строились, развивались и обогащались всё новыми и но- 35836s1.indd 11 35836s1.indd 11 30.03.2017 12:04:13 30.03.2017 12:04:13 12 выми фактами и приложениями, несмотря на отсутствие определения основного понятия этой теории. Так было в теории пределов (до О. Коши), так было в теории действи- тельного числа. Действительными числами оперировали многие века, не имея определения, и лишь в конце XIX в. появилось сразу несколько вариантов определения дей- ствительного числа (Р. Дедекинд, К. Вейерштрасс, Г. Кан- тор). Можно строить теорию, даже достаточно строгую, и при отсутствии строгого определения исходного поня- тия — во многих случаях это оправдано с методической точки зрения. Определение функции в школе необходимо ввести тогда, когда ученики накопят достаточный опыт в оперировании этим понятием. В нашей программе это предусмотрено в начале 9 класса. На это определение мы и опираемся в курсе алгебры и начал математического анализа 10–11. |