математическое моделирование. 7915726_мат_мод_испр. Используя заданную функцию f(x), которая выбирается из таблицы 1 по числу N

• Название: Используя заданную функцию f(x), которая выбирается из таблицы 1 по числу N
• Анкор: математическое моделирование
• Дата: 29.01.2022
• Размер: 191.88 Kb.
• Имя файла: 7915726_мат_мод_испр.docx
• Тип: Документы; #345362
• страница: 4 из 5

Задание 5.

Задана система нелинейных уравнений:

f₁(x₁,x₂) = 0,

f₂(x₁,x₂) = 0

Уравнения системы выбираются изтаблицы № 2 в зави­симости от числа N₁₀. Требуется решить эту систему заданным в соответствии с номером варианта методом. Метод выбрать по числу N₂+1 из следующего списка:

Метод Ньютона-Рафсона

cos(x2 -1) +x1 =0.

cosx1 + x2 =1.5
Идея метода Ньютона для приближенного решения системы заключается в следующем: имея некоторое приближение x^(k), мы находим следующее приближение x^(k+1), аппроксимируя F(x(^k+1)) линейным оператором и решая систему линейных алгебраических уравнений. Аппроксимируем нелинейную задачу F(x^(k+1)) = 0 линейной

F(x^(k)) + J(x^(k))(x^(k+1) - x^(k)) = 0

где J(x^(k)) - матрица Якоби (якобиан)



Для нашей системы



Построим графики и отделим корень графически, чтобы получить начальное приближение.

cos(x2 -1) = -x1		x2 =1.5-cos(x1)
x1	x2		x1	x2
0,989992	-2		-2	1,916147
0,942222	-1,8		-1,8	1,727202
0,856889	-1,6		-1,6	1,5292
0,737394	-1,4		-1,4	1,330033
0,588501	-1,2		-1,2	1,137642
0,416147	-1		-1	0,959698
0,227202	-0,8		-0,8	0,803293
0,0292	-0,6		-0,6	0,674664
-0,16997	-0,4		-0,4	0,578939
-0,36236	-0,2		-0,2	0,519933
-0,5403	-2,8E-16		-2,8E-16	0,5
-0,69671	0,2		0,2	0,519933
-0,82534	0,4		0,4	0,578939
-0,92106	0,6		0,6	0,674664
-0,98007	0,8		0,8	0,803293
-1	1		1	0,959698
-0,98007	1,2		1,2	1,137642
-0,92106	1,4		1,4	1,330033
-0,82534	1,6		1,6	1,5292
-0,69671	1,8		1,8	1,727202
-0,5403	2		2	1,916147
-0,36236	2,2		2,2	2,088501
-0,16997	2,4		2,4	2,237394
0,0292	2,6		2,6	2,356889
0,227202	2,8		2,8	2,442222
0,416147	3		3	2,489992

Линеаризованная система уравнений:


Реализуем алгоритм метода Ньютона-Рафсона:

Первая итерация

Начальные приближения



Невязки

cos(1-1) - 1 = 0

cos(-1) + 1 – 1,5 = 0,040302

ω1 =	0
ω2 =	0,040302

Матрица Якоби

1	0
0,841471	1

Линеаризованная система уравнений:


Δx1 = 0

0,8415Δx1 + Δx2 = -0,0403

Δx1	0
Δx2	-0,0403

1-е приближение неизвестных:

= -1+0 = -1

= 0,0403+1 = 0,9597

Вторая итерация
Невязка
ω1 =	-0,00081
ω2 =	0
Якобиан
1	0,040291
0,841471	1
Δx1 =	0,000841
Δx2 =	-0,00071
Корни
x1 =	-0,99916
x2 =	0,95899
Третья итерация
Невязка
ω1 =	-2,5E-07
ω2 =	-1,9E-07
Якобиан
1	0,040998
0,841017	1
Δx1	2,51E-07
Δx2	-2E-08
Корни
x1 =	-0,99916
x2 =	0,95899

Корни уравнения

х1 = -0,99916

х2 = 0,95899

Проверим в MathCad




Функция Minerr использует тот же самый алгоритм, что и функция Find. Различие состоит в следующем. Если в результате поиска решения не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find, в отличие от функции Minerr, возвращает в этом случае сообщение об ошибке “решение не найдено”.

Решения совпали.