Матрицы. Исследование теоретической части по следующим аспектам линейное преобразование
 Скачать 1.03 Mb.
|
|
Введение При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи. Впервые в математике такое понятие как матрица появилось в середине 19 века в работах Гамильтона, Сильвестра. Современное обозначение – две вертикальные черточки – ввел А. Кэли (1841). Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и её приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры, используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений. В математике матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком. Матрицы также нашли своё применение в программировании. Они широко используются старшеклассниками с углубленным изучением математики на практических занятиях, студентами для закрепления темы “Двумерные массивы” и т.д. Современные средства вычислительной техники и ЭВМ позволяют существенным образом повысить эффективность деятельности инженеров при решении различных задач. Задачами по данной теме являлись: Исследование теоретической части по следующим аспектам: •линейное преобразование •матрица линейного преобразования •определитель линейного преобразования •вырожденное и невырожденное линейное преобразование •произведение матриц Практическая часть: решение примеров по некоторым из аспектов. Линейное преобразование линейное преобразование матрица число Линейное преобразование переменных x1, x2, ..., xn — замена этих переменных на новые x"1, x’2, ..., x"n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам: x1 = a11x’1 + a12x’2 + ... + annx’n + b1, x2 = a21x’1 + a22x’2 + ... + a2nx’n + b2, xn = an1x’1 + an2x’2 + ... + annx’n + bn, здесь aij и bi (i, j = 1,2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты. Если b1, b2,..., bn все равны нулю, то линейное преобразование переменных называют однородным. Простейшим примером линейного преобразования переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости х = x" cos a - y" sin a + a, у = x" sin a + y" cos a + b. Если определитель D = ½aij ½, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x"1, x"2, ..., x"n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат  x’ =x cos a + ysin a + a1 y’ = -x sin a + cos a + b1 где a1 = - a cos a - b sin a, b2 = a sin a - b cos (. Другими примерами линейных преобразований переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п. Линейное преобразование векторов (или линейное преобразование векторного пространства) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x", координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х: x’1 = a11x1 + a12x2 + ... +a1nxn x’2 = a21x1 + a22x2 + ... +a2nxn x’n = an1x1 + an2x2 + ... +annxn, или коротко x" = Ax. Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет линейным преобразованием трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x", y"., z" которого выражаются через х, у, z следующим образом : x" = х, y" = у, z" = 0. Пример линейного преобразования плоскости — поворот её на угол a вокруг начала координат.  ,составленную из коэффициентов линейное преобразования А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше линейными преобразованиями проектирования и поворота будут соответственно  и  .Линейное преобразование векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х®у = Axназывают линейным преобразованием, если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ауи A(ax) = aА(х) для любых векторов х и у и любого числа a. В разных системах координат одному и тому же линейному преобразованию будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат. К линейным преобразованиям относятся, в частности, нулевое линейное преобразование О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное линейное преобразование Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы. Для линейного преобразования векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух линейных преобразований А и В называют линейное преобразование С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением линейных преобразований А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх). В силу этих определений совокупность всех линейных преобразований векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения) линейных преобразований равна сумме (произведению) матриц линейных преобразований слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности. Линейное преобразование можно также умножать на числа: если линейное преобразование А переводит вектор х в вектор у = Ax, то aА переводит х в aу. Примеры операций над линейными преобразованиями: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В — повороты плоскости вокруг начала координат на углы j и  ; AB будет поворотом на угол j + . 3) Произведение единичного линейного преобразования Е на число a будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) a.Линейное преобразование В называют обратным к линейному преобразованию А (и обозначают А-1), если BA = Е (или AB = Е). Если линейное преобразование А переводило вектор х в вектор у, то линейное преобразование А-1 переводит у обратно в х. Линейное преобразование, обладающее обратным, называют невырожденным; такие линейные преобразования характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы линейных преобразований заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные — в комплексных пространствах) линейные преобразования. Ортогональные линейные преобразования не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих линейных преобразований в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными). Квадратная матрица A, для которой A-1 = AT называется ортогональной матрицей. Основные свойства ортогональной матрицы: Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице. Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице. Сумма произведений элементов любого столбца ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Сумма произведений элементов любой строки ортогональной матрицы на соответствующие элементы другой строки равна нулю. Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, — в комплексном пространстве) линейным преобразованием называют такое линейное преобразование, матрица которого симметрическая: aij = aji (или (aij =  ij). Симметрические линейные преобразования осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими линейными преобразованиями связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве). Приведённое выше определение линейного преобразования в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Линейное преобразование в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами.Матрица линейного преобразования Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом |