Матрицы. Исследование теоретической части по следующим аспектам линейное преобразование
 Скачать 1.03 Mb.
|
|
Определитель линейного преобразования Пусть дана таблица из 4 чисел  Это матрица. Она имеет две строки и два столбца, т.е. размер матрицы (2х2). Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца, в которой стоит данное число. Например, а12 означает число, стоящее в первой строке и втором столбце; а21 – число, стоящее во второй строке и первом столбце. Числа а11, а12, а21, а22 будем называть элементами матрицы. Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице) называется число  Свойства определителей второго порядка: 1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами. 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину 3. Определитель с двумя одинаковыми строками и столбцами равен нулю. 4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя; если все элементы какой-то строки или столбца равны 0, то и определитель равен 0. 5. Если к элементам какой либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины. Последнее свойство применяется для получения в какой-либо строке (столбце) определителя строки (столбца), в которой все элементы, кроме одного, равны нулю. Так как разложить определитель можно по любой строке или столбцу, то при разложении по полученной в результате линейной комбинации строке, определитель равен произведению ненулевого элемента этой строки на его алгебраическое дополнение (взятое с соответствующим знаком). Все эти свойства легко доказываются проверкой, например:  Пример: Вычислим определитель матрицы Решение:  Рассмотрим теперь матрицу  размера 3 х 3, то есть имеющую 3 строки и 3 столбца.Ее определителем (третьего порядка) называют число  (2)Эта формула дает разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки. Обратите внимание,а11 - это элемент, стоящий в первой строке и первом столбце. Он умножается на определитель второго порядка, который получится, если мы из нашего определителя третьего порядка вычеркнем первую строку и первый столбец. Такой определитель второго порядка, соответствующий данному элементу (а11) называется минором (М11). Так, минор, соответствующий элементу а12 есть определитель Он получается, если вычеркнуть строку 1 и столбец 2. Аналогично М13 получится вычеркиванием первой строки и третьего столбца. Видим, что формулу (2) можно записать так  То есть определитель равен сумме попарных произведений элементов первой строки на соответствующие миноры, причем минор, соответствующий а12 берется со знаком ‘–‘ . Пример: Вычислить определитель Решение:  Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка и доказываются так же: непосредственной проверкой. Аналогично формуле (2), дающей разложение определителя по элементам первой строки, можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца. Обозначим Аi k алгебраическое дополнение элемента ai k (i – номер строки, k – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент). По определению Ai k=(-1)i+kMik Например: A12=(-1)1+2M12=(-1)3 M12= - M12 Легко видеть, что формулы для вычисления определителей будут выглядеть следующим образом:   Разложение определителя по строкам Разложение определителя по столбцам Аналогично определяются определители четвертого порядка. Для них также справедливы свойства определителей и их также можно раскладывать по строкам или столбцам. Вырожденное (особенное) и невырожденное (неособенное) линейное преобразование Линейное преобразование Y = A · X называется невырожденным, если det A ≠ 0 и вырожденным, если det A=0. Рассмотрим невырожденное преобразование Y = A · X. Так как det A ≠ 0, то существует матрица A–1 – обратная к матрице А. Линейное преобразование Y=A-1·X называется обратным по отношению к Y = AX. Произведение прямого и обратного преобразований называется тождественным преобразованием. Его матрица равна А-1·А=Е. Тождественное преобразование Y = E · X преобразует всякий вектор в себя. Невырожденное преобразование устанавливает взаимно-однозначное соответствие между векторами пространства и их образами. Действительно, каждому вектору Х соответствует единственный образ Y = AX, и наоборот, всякому образу Y соответствует единственный прообраз X = A–1Y. Вырожденное преобразование этим свойством не обладает, т.к. для него не существует обратного преобразования. Произведение матриц Произведением матрицы  размеров  на матрицу |