К. Т. Тажибаев др техн наук, профессор, засл деятель науки кр
 Скачать 2.19 Mb.
|
|
5.3.1. Упругая модель породного массива – одна из распространенных моделей. В основу этой модели положено следующее определение. Предполагается, что можно выделить некоторое (так называемое естественное) состояние среды, в котором тензор напряжений тождественно равен нулю. Для всех остальных состояний этой среды в любой точке ив любой момент времени тензор напряжений является взаимно однозначной функцией тензора деформаций исходным состоянием при определении тензора деформаций является естественное состояние среды. Напряженное состояние упругой среды в данный момент времени зависит только от его деформированного состояния и никак не зависит ни от способа перехода от естественного состояния к изучаемому, ни от скорости этого перехода. Если каждая точка тела совершает малые перемещения относительно некоторого естественного состояния, то имеет место линейная теория упругости. Гипотеза однородности среды предусматривает одинаковую форму записи законов напряжения – деформации для всех точек среды, а ее изотропность – равноправность всех направлений с механической точки зрения. В модели классической упругости сплошной среды принимается линейная связь между напряжениями и деформациями, называемая законом Гука. Отнесение к главным осям тензоры напряжений и деформации имеют вид ЭВ условиях плоской задачи существует следующая обобщенная формулой закона Гука x у ху x у ху E 1 1 0 1 0 0 0 1 2 2 (113) Свойство упругости означает полную обратимость процесса деформирования при освобождении от нагрузки приобретенная упругим телом деформация исчезает. Математически это выражается формулировкой уравнения состояния в виде конечных однозначных функций, связывающих компоненты тензоров напряжений и деформаций у ( ) ; E xу xу ( ) 1 ; E у у z x ( ) ; E уz уz ( ) 1 ; (114) у ( ) ; у Если в формулах (114) величины Е и непостоянны, а зависят, например, от напряжений, то соотношения (114) будут представлять один из вариантов физически нелинейной упругой среды. Однако свойства обратимости при этом сохраняются. Исторически линейно-упругая среда была одной из первых моделей сплошных сред, интенсивно использовавшихся в геомеханике для определения напряженного состояния и смещений. Конечно, ряд заметных отличий в поведении реальных породных массивов от идеальной модели упругого тела был очевиден с самого начала. Однако привлекательность использования этой относительно простой и хорошо разработанной в теоретическом отношении модели подкреплялась аргументами физического содержания, которые и сейчас во многом сохраняют свое значение. Это объясняется следующими причинами. 1. В простейшем варианте линейной изотропной среды она характеризуется всего двумя параметрами Е и (таблица 14). Это обуславливает эталонный характер получаемых решений, служащих основой для сопоставления с другими теоретическими и экспериментальными результатами. 100 2. В линейном, наиболее часто используемом варианте, модуль описывается системой линейных уравнений, аналитические и численные методы решения которых разработаны наиболее детально. 3. Модуль упругой среды отличается от других, более сложных моделей сплошной среды только уравнением состояния. Уравнения движения (равновесия) удовлетворяются во всех решениях теории упругости, а это уже немало. Таблица 14 – Связь между упругими свойствами Константы Основная пара , v, E, E, K, 2 1 2 E ( )( 1 1 2 ( ) E E 2 2 K 2 3 E 2 1 ( ) K 2 3 2 1 3 1 2 ( ) ( ) E 3 1 2 ( ) E E 3 3 ( ) K E ( ) 3 2 2 1 ( ) E E 9 3 K K 2( ) 1 2 1 E 3 2 6 2 K K 5.3.2. Упруго-пластические модели породного массива В конце х годов, наряду с интенсивным использованием в геомеханике модели упругой сплошной среды (под названием «линейно-деформируемого породного массива, начались экспериментальные исследования механических свойств породного массива с целью определения уравнений их состояния. Результаты изучения позволили уточнить и обобщить экспериментальные данные. 1. Существуют напряженные состояния, при которых образец породного массива после некоторого деформирования может сохранять длительное устойчивое состояние равновесия. Это – допредельные напряженные состояния. 2. При испытаниях по многим траекториям нагружения можно достичь предельных напряженных состояний, при которых сохранение устойчивого равновесия образца невозможно, возникает течение пород с неограниченным ростом деформаций. 3. Зависимости между компонентами тензора деформаций и компонентами тензора напряжений имеют существенно нелинейный характер. 4. Деформации образцов массива, приобретаемые в процессе испытаний, зависят от вида траектории нагружения. В общей величине деформации преобладает необратимая ее часть, те. пластическая составляющая (рисунок 51). Рисунок 51. Графики зависимости между напряжением и деформацией в породном массиве, построенные по результатам испытаний в приборе трехосного сжатия 1, 2 – стадии нагрузки 3 – вторичной нагрузки 4 – разгрузки Установленные экспериментальные факты побудили обратиться для формулировок уравнений состояния массива к модулям пластических сред. В модулях пластических сред тензор деформации представляется в виде суммы упругих и пластической составляющих Э Э Э у n , (115) так что более точно было бы называть такие среды упруго-пластическими. В типичной диаграмме деформирования упруго-пластической среды рисунок) следует обратить внимание на два важнейших обстоятельства. Первое состоит в нелинейности зависимости между напряжением и деформацией кривая 1), а второе – в резком различии процесса деформирования на стадиях разгрузки или вторичной нагрузки (кривые 4 и 3). Поэтому уравнение состояния упруго-пластической деформации упрочняющейся среды имеет сложную структуру. При формулировке уравнения состояния упруго-пластической среды большинство авторов исходят из следующих положений 1) упругие обратимые деформации для процессов с траекториями нагружения, расположенными внутри поверхности нагружения допустимо описывать законом Гука (114); 2) поверхность нагружения со стороны упругой области является выпуклой 3) в процессе нагрузки вектор приращения пластических деформаций связан с вектором догрузки. В рамках модели упруго-пластической сплошной среды не удается с достаточной полнотой описать закономерности деформирования породного массива. Так, весьма распространенной в приложениях является простейшая теория упрочняющегося пластического материала – теория малых упруго-плас- тических деформаций. В этом случае предполагается, что в области пластических деформаций величины напряжений и деформаций связаны между собой однозначными зависимостями (подобно тому, как это имеет место при упругих деформациях. Причем по форме эти зависимости напоминают соотношения закона упругого деформирования 102 xx i i xx 2 3 ( ) ; xу i i xу 3 ; уу i i уу 2 3 ( ) ; уz i i уz 3 ; (116) zz i i zz 2 3 ( ) ; zx i i zx 3 , где 1 3 ( ) xx уу zz ; 1 3 ( ) уу zz , ) ( 6 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 zx —z x— xx zz zz —— —— xx i ; ε i = √ уу уу ху у – интенсивность напряжений, i – интенсивность деформаций. 5.3.3. Реологические модели породного массива. Геомеханические модели линейно-деформирцумого и нелинейно-деформируемого массива недостаточно полно отражают их реальные деформационные свойства. Непосредственные наблюдения за состоянием горных пород в натуре и лабораторные исследования показывают, что механические процессы в породных массивах зависят от времени. Иными словами, соответствующие физические уравнения помимо компонентов напряжений и деформаций должны включать их производные повремени. Связь между переменными (напряжением, деформацией, скоростями на изменения и временем, входящими в реологическое уравнение состояния, устанавливается на основании теории ползучести. В геомеханике наибольшее распространение получили теории упруго-вязко-пластической среды и непосредственно ползучести. В теории упруго-вязко-пластической среды для наглядности изображения реологических свойств тела используется метод структурных моделей рисунок. Каждая из таких моделей включает в себя простейшие элементы, имитирующие упругие, вязкие и пластические свойства. Рисунок 52. Структурная модель линейного деформирования упруго-вязко-пластической среды Упругие свойства среды имитируются пружинами 1 и 2, деформирование которых подчиняется закону Гука. Перфорированные поршни 3 и 5, двигающиеся в цилиндрах с жидкостью при ее вязкости имитируют вязкие свойства среды. Согласно закона Ньютона, действующее в этом элементе напряжение прямо пропорционально скорости движения поршня, те. = . Пластические свойства учитываются введением в модель элемента сухого (кулонова) трения 4, представляющего собой груз, скольжение которого по площадке возможно лишь при напряжении , где – определенная константа для данной среды. В геомеханике чаще всего используются частные случаи этой модели, а именно модель среды Пойтинга–Томсона и среды Максвелла. Первая получается из модели, показанной на рисунке 50, путем исключения элементов 2, 4, 5. Реологическое уравнение состояния модели среды Пойтинга–Томсона записывается следующим образом d dt E d dt tp E 1 1 0 0 ( ) , (117) где Е – начальный модуль упругости при t=0; t р ЕЕ – время последействия, или время ретардации (замедление, задержка, характеризующее скорость увеличения деформации при постоянной нагрузке Е – конечный модуль упругости при t . Решая уравнение (117) при = со, получаем уравнение ползучести t e t t p ( ) 0 , (118) где = Е – конечное напряжение 0 = Е – начальное напряжение t 0 – время релаксации, характеризуемые отрезок времени, в течение которого напряжения уменьшаются в е раз. Из полученных уравнений видно, что деформирование носит затухающий характера напряжения полностью не релаксируют. Реологическое уравнение состояния модели среды Максвелла, имеющее неограниченную ползучесть, выразим как d dt E d dt E t 1 0 0 0 , (119) решение которого записывается следующим образом при = со) = 0 (1+t/t 0 ), (120) при = с (t) = 0 e -t/tp (121) Анализ уравнений (120) и (121) показывает, что деформации при = со увеличиваются неограничено по линейному закону, а напряжения в условиях = с релаксируют до нуля. На основании исследований, проведенных с породами шахт Донецкого и Подмосковного бассейнов, Ю.М. Либерман предложил подразделять горные породы по реологическим свойствам на два основных типа. Для первого типа характерно ограниченное деформирование во времени. Деформации ползучести возрастают по экспоненциальному закону и стремятся к определенному пределу, нелинейно зависящему от величины действующего напряжения. В качестве реологического уравнения состояния пород первого типа может быть использована модель среды Пойтинга–Томсона. При этом в уравнение (118) следует вместо = Е ввести нелинейную функцию вида A E m ( ) 0 , (122) или d E E 0 0 2 , (123) где А, m, , экспериментально определяемые параметры. К породам первого типа относятся, например, слабые и крепкие глинистые сланцы, песчаники, аргиллиты и алевролиты. В таблице 15 приведены значения Ар для некоторых из этих пород. Для пород второго типа характерно то, что на кривых ползучести не прослеживается предельной деформации. Эта кривая представляет собой в начальной части экспоненту, которая затем быстро переходит впрямую, образующую некоторый угол с осью времени. Для пород второго типа в качестве реологического уравнения (119) время релаксации t 0 , входящее в уравнение (119), легко определить по кривой ползучести. Оно представляет собой время, за которое начальная деформация 0 увеличивается в 2 раза. Следует иметь ввиду, что величина 0 берется непосредственно по кривой ползучести как ордината точки пересечения на продолжении прямолинейного участка кривой с осью . Соответственно начальный модуль упругости Е определяется как Е Таблица 15 – Значения реологических параметров пород Породы Ар, сутки Слабый глинистый сланец 1,5 600–800 10–15 1,2–1,3 30–40 Крепкий глинистый сланец 1,3 200–300 -- -- 5–10 Песчанистый сланец 1,2 100 5–10 1,1–1,2 3–5 Песчаник 1,1 20 1–5 1,0–1,05 2–3 Ко второму типу относятся глинистые породы. Время релаксации поданным, полученным Ю.М. Либерманом для глин Подмосковского бассейна, составляет сут, начальный модуль упругости Е МПа. 5.3.4. Модель дискретной зернистой среды для породного массива.Со- вершенно очевидно, что некоторые породные массивы ведут себя преимущественно как дискретные среды (те. среды, состоящие из набора отдельных частиц, взаимные перемещения которых по крайне мере также значительны, как и их собственные деформации, и обычные методы механики сплошной среды, использующие упругость и пластичность, для них абсолютно неприемлемы. Важной особенностью дискретной среды является то обстоятельство, что под нагрузкой отдельные ее элементы в большей степени смещаются один относительно другого, чем деформируются. Их относительные смещения относятся к трем типам скольжение элементов по поверхности контакта, расхождение элементов, взаимный поворот. При сопоставлении работы элементов дискретной и сплошной сред рисунок) разница может показаться незначительной, однако она важна по двум причинам. Во-первых, заметно отличается воздействие на окружающие элементы, во-вторых, появляется возможность смещения внутри самих элементов. В результате окончательное распределение напряжений в дискретной среде может оказаться совершенно иным, чем в сплошной. Рисунок 53. Виды деформаций сплошной и дискретной среды Отличительной чертой этой модели является рассмотрение отдельных элементов ее действующих тел. Элементами структуры могут быть зерна сыпучего материала, обломки и блоки горной породы. Использование модели дискретной среды направлено, главным образом, на достижение следующих целей 1) непосредственное изучение механического поведения объектов, состоящих из элементов структуры дискретной среды 2) исследование ансамбля структурных элементов, рассматриваемого в качестве представительного мак- рообъема среды. Можно установить следующие основные моменты в разработке модели дискретной среды схематизация элементов структуры среды, включающая геометрию формы (в форме шаров, кубов, пластин, параллелепипедов и др) и размеры элементов, геометрию расположения (регулярного, хаотического) элементов в пространстве, способов механического взаимодействия точечные, плоские) элементов и свойства (твердые, упруго- сжимаемые) элементов как механических объектов создание на основе принятой схематизации расчетной системы и для математического описания для вычисления усилий и смещений отдельных элементов структуры. Этим этапом завершается собственно построение конкретной модели дискретной среды использование модели для проведения расчетов напряженно- деформированного состояния структур с заданным расположением элементов статистическое обобщение результатов расчетов. Можно отметить два направления использования данных статистического обобщения 106 1) в качестве информации об уравнении состояния, когда расчету подлежат структурны, рассматриваемые как представительные макрообъе- мы данной среды, 2) в виде уравнений, описывающих расположение напряжений и деформаций в массиве. 5.4. Физическое моделирование геомеханических процессов в лабораторных условиях 5.4.1. Общие сведения.Одним из методов исследования сложно- структурных объектов в геомеханике является моделирование в лабораторных условиях различных физических процессов горного производства. Цель моделирования заключается в воспроизведении и изучении на модели физического процесса, подобного происходящему в натурных условиях. Метод моделирования позволяет на уменьшенных или увеличенных по отношению к действительности моделях проводить качественные и количественные детальные исследования изучаемого процесса. Методы моделирования достаточно широко используются в различных областях современного естествознания и техники. Применительно к геомеханике эти методы позволяют выяснить основные качественные элементы процессов деформирования и разрушения горных пород приведении очистных и подготовительных работ, являясь необходимым этапом при разработке новых гипотез и теорий, а также проверки решений, полученных аналитическими методами. В геомеханике, изучающей, как правило, объекты весьма больших размеров, применяют моделирование, связанное с уменьшением абсолютных размеров объектов. По принципам, на которых оно основано, различают моделирование двух видов физическое и аналоговое. Первое предусматривает воссоздание в модели тех же самых физических полей, которые действуют ив объекте натуры, но измененных по своим абсолютным значениям в соответствии с принятым масштабом моделирования. Аналоговое моделирование предусматривает замену модели одних физических полей другими, например, замену натурного поля механических напряжений электрическим полем в модели. При этом на моделях изучают закономерности явлений и процессов, протекающих в натурных объектах, используя математическую аналогию различных по физической природе процессов, те. математическую тождественность основных законов, описывающих эти процессы. Породный массив является весьма сложной средой, в которой приведении горных работ одновременно происходят процессы деформирования различного характера упругие, упругопластические смещения и разрушение пород с разрывом сплошности. Поэтому аналитические расчеты деформирования горных пород, прочности и устойчивости горных выработок и различных сооружений в породных массивах часто представляют собой труднорешаемые задачи. Натурные исследования отличаются значительной трудоемкостью, высокой стоимостью, требуют довольно длительного периода времени. Кроме того, в натурных условиях обычно весьма ограничены возможности варьирования параметрами системы, технологией и последовательностью ведения горных работ, тогда как при моделировании можно проследить влияние основных параметров в самых широких пределах. Таким образом, моделирование открывает такие возможности изучения геомеханических процессов, которые не дают ни аналитические методы, ни наблюдения и измерения в натурных условиях. В тоже время на моделях невозможно воспроизвести все детали моделируемых объектов, поэтому моделирование позволяет вести изучение процессов с определенной степенью упрощения и схематизации натурных объектов, что существенно облегчает интерпретацию результатов шахтных наблюдений и измерений, позволяя с большей степенью обобщения проследить и уточнить механизм процессов и максимально полно изучить влияние на эти процессы действующих факторов. |