К. Т. Тажибаев др техн наук, профессор, засл деятель науки кр
 Скачать 2.19 Mb.
|
|
5.5. Численные методы в геомеханике 5.5.1. Общие сведения.Рассмотренные в первом томе учебника аналитические задачи были решены применительно к одиночным выработкам, не испытывающим влияния других выработок или выработанного пространства очистного забоя. В том случае, если такое влияние имеется, решение намного усложняется, получение достаточно компактных аналитических зависимостей становится невозможным. Например, плоское сечение подготовительной выработки арочной формы, сопрягающейся с другой выработкой (рисунок 57), представляет собой плоскость, ослабленную вырезом достаточно сложной формы. Получить решение такой задачи методами, рассмотренными выше, не представляется возможным. Рисунок 57. Плоское сечение выработки, сопряженной с другой выработкой В инженерной практике для учета факторов, которые не удается ввести в расчетную схему, используют различные коэффициенты, полученные эмпирическим путем на основе натурных наблюдений или данных лабораторных испытаний. Такой подход чреват эффектом накопления ошибок проектировщик выбирает значение нужных ему коэффициентов из некоторого диапазона, не имея достаточного основания для выбора именно этих значений. Чем больше коэффициентов нужно ввести, тем больше вероятность того, что получаемая в результате величина отклоняется от своего истинного значения, и тем больше это отклонение. Более точное решение поставленной задачи можно получить, если расчетная схема и метод решения позволяют изначально учесть интересующие исследователя факторы. Широкие возможности открывают в этом плане так называемые численные методы решения, заимствованные из механики деформируемого твердого тела. Наиболее эффективные из них – метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ). Интенсивное их развитие и применение в практике инженерных расчетов стало возможным с развитием и доступностью вычислительной техники. В последние два десятилетия благодаря применению этих методов существенно расширился класс задач, решаемых в геомеханике. 5.5.2. Метод конечных элементов.Решение задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов основывается на применении приближенных методов вычислений, методов матричной и линейной алгебры. Сформулированный впервые в е годы – время ЭВМ первого поколения, МКЭ рассматривался сначала как вариант расширения и развития матричного метода расчета конструкций. В настоящее время общепризнанна связь этого метода с классическими методами строительной механики, вариационными и разностными методами. Подробное его изложение применительно к задачам геомеханики содержится в [9]. Ниже приведен укрупненный алгоритм МКЭ с описанием его составляющих (опущены некоторые выводы и не рассматриваются частные детали используемого математического аппарата. Рассмотрим известную задачу о протяженной горной выработке стем отличием, что форма поперечного сечения выработки произвольна, а окружающий породный массив может быть неоднородным по своим деформационным свойствам (например, сложный. Сечение выработки, перпендикулярное к ее продольной оси, представляет собой тяжелую весомую полуплоскость с соответствующим вырезом. При расчетах полных напряжений она может быть заменена невесомым плоским прямоугольником со сторонами аи в (рисунок 58) и с отверстием такой же формы в центре, загруженным на внешних границах сжимающими напряжениями, равными начальным напряжениям в массиве на глубине заложения выработки. Рисунок 58. Условия нагружения закрепленной горизонтальной выработки (2) в породном массиве (1): а – физическая модель б – расчетная модель, или расчетная схема в – начальные напряжения в массиве на глубине заложения выработки Исследуемая область разбивается на плоские треугольные элементы единичной толщины Н, взаимодействующие между собой через соприкасающиеся точки-узлы (узловые точки. В пределах каждого из элементов массив предполагается однородными упругим. Все виды нагрузок, действующие на исследуемую область (рисунок 59) и формирующее в ней определенное напряжен- но-деформированное состояние, приводятся к статистически-эквивалентным силам, приложенным в узловых точках. Равномерно распределенная нагрузка q, действующая, например, на одну из граней элемента (рисунок 59), должна быть заменена равновеликими сосредоточенными узловыми силами L. Объемные силы Р, вызываемые, например, собственным весом горной породы, также приводятся к сосредоточенным силам, действующим в узловых точках и составляющим 1/3 величины объемной силы тяжести Р (рисунок 59). На внешнем контуре рассматриваемой области массива и на контуре выработки задаются поверхностные силы F, которые в случае отсутствия поверхностных нагрузок равны нулю, а перемещения узловых точек контура неизвестны. По условию задачи могут быть заданы перемещения узловых точек, тогда неизвестными являются узловые силы. Чаще всего встречаются смешанные граничные условия водном из направлений известно перемещение и необходимо определить силу, в другом – известна сила и необходимо определить неизвестное перемещение. Рисунок 59. Примеры приведения нагрузок к статически эквивалентной системе узловых сила распределенная нагрузка, действующая на исследуемую область б замена распределенной нагрузки q условными силами F tx ив разложение силы тяжести Р на систему узловых сил г разложение узловой силы R на составляющие R x и у В расчетной схеме рассматриваемой задачи в силу симметрии используются следующие граничные условия вдоль вертикальной границы области х = 0) – равны нулю горизонтальные компоненты перемещений узлов вдоль горизонтальной границы (у = 0) – равны нулю вертикальные компоненты перемещений. Контур выработки свободен от напряжений (х = у = 0). Неизвестными являются перемещения всех узловых точек внутри массива, на контуре выработки и на границах области. Вершины треугольных элементов, сходящихся в узлах разбиения, можно рассматривать как вершины – узлы для отдельных элементов. Расчет начинается сформирования основных характеристик треугольного элемента, которые затем составляют единую разрешающую систему алгебраических уравнений. Приведем эти характеристики. Перемещения и деформации элемента. В МКЭ перемещения внутренних точек элемента определяются через перемещения его вершин. Пусть вершины треугольника (узлы) r, s, l имеют координаты х r , y r ; x s , y s ; x l , y l . Перемещение произвольной внутренней точки элемента определяются вектором с компонентами горизонтальными вертикальным –V. {δ} = {U,V}. При этом полагается, что компоненты перемещений внутренних точек элемента являются линейными функциями координат следующего вида 1 2 3 4 5 6 U x y V x y , (145) где α 1 ,α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , α 6 – константы, которые можно определить из приведенных уравнений по указанным выше координатам (х r , уху, х l , у l ) и перемещениям узлов, которые характеризуются векторами 125 {δ i } = {U i ,V i } (i = r,s,l). Полный вектор перемещений узлов имеет вид {δ l } = {δ r , δ s , δ l } = {U r ,V r , U s ,V s , U l ,V l }. Подставив вычисленные таким образом константы в уравнения (145), можно установить связь между перемещениями узлов и внутренних точек элемента через так называемые функции формы. Они выбираются таким образом, чтобы удовлетворить условию неразрывности деформаций точек породного массива 1 2 1 где φ i = ψ i = – функции формы a r = x r y r – x t y s ; b r = y s – y t ; c r = x t – x s ; a s = x t y r – x r y t ; b s = y t – y r ; c s = x r – x t ; a l = x r y s – x s y r ; b t = y r – y s ; c t = x s – x Скалярный множитель S, представляющий площадь рассматриваемого треугольного элемента с вершинами r, s, l: S = Взаимное перемещение внутренних точек элемента характеризуется вектором деформаций {ε} = {ε x ,ε y ,ε xy }. Вектор деформаций связан с вектором перемещений элемента, а через него – с вектором узловых перемещений матричным равенством {ε} = В {δ } l , (146) где В – матрица, элементы которой определяются видом выбранных функций формы В = (147) Матрица упругости Матрица упругости связывает между собой вектор деформаций {ε} и вектор напряжений элемента {δ} = {τ x , δ y , τ xy } и определяется соотношением закона Гука применительно (в данном случае) к условиям плоской деформации ДЕ) где Е – модуль упругости μ – коэффициент Пуассона. Закон Гука в матричной форме имеет вид {δ} = Д {ε} = ДВ {δ } l (149) Это выражение непосредственно связывает вектор напряжений внутренних точек элемента с перемещениями его вершин – узлов. Матрица жесткости треугольного элемента. Рассматриваемый отдельно треугольный элемент с вершинами r, s, l будет находиться в равновесии, если заменить действие отброшенных участков исследуемой области статически эквивалентной системой сил, приложенных в вершинах треугольника. Эта система сил образует вектор {F} l . Работа внешних сил должна быть равна работе сил внутренних. Из этого положения вытекает равенство {F} l = Кв котором матрица К называется матрицей жесткости элемента. В случае треугольного элемента она определяется матричным равенством К = ДВ , (151) где – транспонированная матрица В. Обобщенная матрица жесткости системы Этап подготовительных работ при расчете методом МКЭ завершается формированием матрицы жесткости всей системы конечных элементов (МЖС), или, что тоже самое, построением разрешающей системы алгебраических уравнений. Пусть в соответствии с методикой МКЭ исследуемая область разбита на m треугольник элементов, соединенных между собой в n узловых точках. В каждом узле с номером i рассматриваются векторы сил {F} и перемещений {U}. Из множества векторов и {U i } образуются обобщенные векторы сил {F} и перемещений {U}, которые могут быть связаны системой 2n уравнений. В матричной форме она имеет вид {F} = К {U}. (152) Здесь квадратная матрица К порядка 2n представляет собой МЖС, а ее элементы К – жесткость го узла системы элементов при перемещении их в направлении компоненты j. Поэтому элементы МЖС определяются величиной элементов матриц жесткости К треугольных элементов. Установление явной связи МЖС с матрицами жесткостей элементов (К К l , где l = 1,2,3,…m) позволяет сформировать матрицу жесткости системы. Подробная процедура формирования матрицы К изложена в работе [9]. Итак, уравнение (152) является завершающим этапом подготовки задачи. Решение этого уравнения одним из известных методов линейной алгебры (например, Гаусса, Зейделя и др) дает неизвестный вектор узловых перемещений {U}. Затем по формулами) определяются деформации и напряжения каждого элемента. Разработанные на настоящий момент вычислительные программы, реализующие МКЭ, в основном предполагают выполнение следующих этапов. 1. Выбирается сетка разбивки ив соответствии с этим исследуемая область представляется в виде конечного множества простейших элементов. Назначение сетки, те. выбор размеров элементов, производится с учетом неоднородности строения породного массива. В районе ожидаемых наибольших градиентов напряжений (например, вблизи контура выработки) целесообразно использовать более мелкое разбиение, на участках, где ожидается плавное изменение напряжений – более крупное. 2. Каждому элементу ставятся в соответствие физико-механические характеристики среды, заключенной внутри элемента, координаты узлов, условия нагружения и т.д. 127 3. Формируются матрицы жесткости элементов, матрицы жесткости системы (МЖС) ив соответствии с условиями нагружения – вектор {F} левых частей уравнений (152). 4. Решается система уравнений (152), в результате определяются неизвестные перемещения узловых точек. 5. По найденным значениям перемещений узлов вычисляются деформации и напряжения в центре каждого элемента. 5.5.3. Метод граничных элементов.Метод граничных элементов основан на том, что достаточно легко получить аналитическое решение, отвечающее точечному возмущению в бесконечной однородной среде. Это возмущение может представлять собой, например, сосредоточенную силу в упругом теле. Такие решения принято называть сингулярными, поскольку они ведут себя хорошо всюду в области R, за исключением точки возмущения, где имеет место математическая аномалия – сингуярность. Плоское сечение выработки представляет собой замкнутый контур Св бесконечной плоскости R (рисунок 60). Рисунок 60. К формулировке задачи теории упругости Цель решения задач теории упругости состоит в нахождении напряжений и смещений в упругом теле, подверженном действию заданных объемных сила также напряжений и смещений на контуре С. Рисунок 61. К задаче о сосредоточенной силе, приложенной к отрезку В качестве сингуярного (базового) решения [10] используется решение о постоянной сосредоточенной силе Р = (Р х , Р у ), приложенной к контуру длиной а (рисунок 61) напряжения, вызываемые в упругом теле действием усилия Р вдоль отрезках ау, выражаются через функцию f (х,у), имеющую вид (вывод опускаем. f (х,у) = у ( - )- (x-a) x x ln ln , а также ее производные х = + , f ΄ y = - f ΄΄ ху = уха у у хау, f ΄΄ хх = - f ΄΄ уу = +ха ха уха хау Таким образом х = Р х [(3-2μ) ΄ + y ΄΄ ] + P y (2μ ΄ + y ΄΄ ), х = Р х [-(1-2μ) ΄ +y ΄΄ ] + P y [(2(1-μ) ΄ - y ΄΄ )], (153) х = Р х [2(1-μ) ΄ + y ΄΄ ] + P y [(1-2μ) ΄ -y ΄΄ ]. В точках ха функция f (х,у), следовательно, и напряжения, а также связанные сними смещения, выражения для которых не приводятся, имеют некоторую особенность. Это решение составляет основу МГЭ для нахождения численного решения любой краевой задачи теории упругости, в том числе и рассмотренной выше задачи о выработке в породном массиве. Аппроксимируем контур выработки С с помощью N отрезков – элементов, примыкающих друг к другу (рисунок 62). Рисунок 62. Иллюстрация метода граничных элементов для задачи о выработки а – физическая задача б – численная модель Длину характерного го граничного элемента обозначим а. Вместе с глобальной системой координат ХОУ будем рассматривать для каждого элемента локальные координаты n, s изменяющиеся от точки к точке. Предположим, что контур выработки подвержен действию нормального напряжения σ n = -Рте. сжатию, а касательное напряжение σ s = -0. Требуется найти смещения и напряжения в теле, вызванные этой нагрузкой на границы. Граничные условия при этом имеют вид σ ΄ Р σ ΄ 0 i 1, …N). (154) Задача с такими заданными условиями решается с помощью модели, изображений на рисунке 62. Пунктирная прямая с имеет такую же форму, как и кривая С, использованная для задания границ выработки. Однако кривая сне является границей, она только обозначает местоположение отрезков в бесконечном массиве, которые совпадают с граничными элементами на контуре выработки. Представим теперь, что на каждом из N отрезков вдоль пунктирной кривой действуют постоянные нормальное и касательное напряжения. На рисунке для простоты показаны только напряжения, приложенные к j-му отрезку и обозначенные Р и . Принципиальным моментом является то, что действительные нормальное и касательное напряжения нам отрезке сне равны Р и . Для каждого элемента кривой с необходимо различать две разные группы напряжений приложенные Р и и действительные и , которые вызваны действием приложенных напряжений на всех N элементах кривой. Эти действительные напряжения можно вычислить, используя в совокупности решения (153). Результирующие выражения имеют вид ΄ ∑ A N P ∑ A N P ∑ A N P ∑ A N P , i=1, …N (155) Здесь A = коэффициент влияния напряжений. Так, коэффициент A , например, дает действительное касательное напряжение в центре го отрезка ( ΄ , вызванное постоянной единичной нагрузкой, приложенной нам отрезке ( 1 . Если теперь удается найти такие значения приложенных напряжений Р и для J 1, …N, что и действительные напряжения и (155), то мы получим приближенное решение физической задачи, показанной на рисунке 62. Следовательно, мы требуем выполнения равенств 0 ∑ A N P Р ∑ A N P , i=1, …N (156) образующих систему 2N линейных уравнений стем же числом неизвестных. Напряжения Р ив этих уравнениях являются фиктивными величинами. Они были введены как средство численного решения задачи и не имеют физического смысла. Однако линейные комбинации фиктивных нагрузок, заданные посредством выражения (155), в рассматриваемой задаче уже имеют физический смысл. На этом и основано построение системы алгебраических уравнений. Решив эти уравнения, можно выразить смещения и напряжения в произвольной точке массива через другие линейные комбинации фиктивных нагрузок Р и J 1, …N. Описанный вариант метода граничных элементов называют методом фиктивных нагрузок. Он не является единственным методом решения плоских задач. В [5] приводятся метод разрывных смещений, основанный на другом сингулярном (базовом) решении, и прямой метод граничных интегралов. Сочетание этих методов открывает широкие возможности для решения задач из разных областей техники, в том числе и геомеханики. В [5] приведены вычислительные программы, которые могут быть непосредственно использованы для определения напряженно-деформированного состояния в окрестности выработки произвольного очертания или нескольких взаимовлияющих выработок. Экспериментальные методы исследования геомеханических процессов в натурных условиях 5.6.1. Методы изучения породного массива по поведению полезного ископаемого и пород в процессе проведения выработок Оценка напряженного состояния пород по визуальным наблюдениям за разрушением выработок. Расположение участков разрушений на контуре выработки предопределяется напряжениями, действующими в породном массиве. Это позволяет поданным визуальных наблюдений в выработках и скважинах приблизительно оценить величины и направления действия главных напряжений, а также изменчивость поля напряжений в пределах изучаемого участка. Рассматриваемый метод применим в тех случаях, когда напряжения в массиве достаточно высоки и способны вызвать разрушения пород на контуре выработок. Отличительной особенностью этого метода является то, что он не требует специальной аппаратуры, и позволяет в короткий срок оценить напряженное состояние пород на большой площади, в пределах которой имеются выработки. Чем больше выработок охвачено наблюдениями, тем более надежной получается оценка. Приближенно величины напряжений оцениваются по известным значениям предела прочности пород на одноосное сжатие. Метод позволяет получить достаточно удовлетворительные результаты для пород, отвечающих преимущественно упругому закону деформирования. Данным методом можно решать следующие задачи оценивать структуру поля напряжений массива пород, вскрытого выработками ориентировочно определять величину и направление действия наибольших напряжений в нетронутом породном массиве качественно сравнивать степень напряженности отдельных конструктивных элементов системы разработки. Визуальную оценку напряжений выполняют следующим образом. Вначале проводят визуальные обследования всех доступных выработок, расположенных в пределах массива, в котором выполняется оценка напряжений. Обследуют незакрепленные горизонтальные, вертикальные и наклонные выработки, различно ориентированные в пространстве. При этом фиксируют места разрушения пород на контуре выработки. Дополнительно фиксируют участки разрушений контура различных скважин. Полезно выяснить особенности проявления горного давления в момент проходки, поскольку при недостаточно высоких напряжениях разрушения пород могли происходить лишь в первый момент после проходки, а в последующем прекращаются. При описании обследуемого участка выработки следует обращать внимание на ее контур уменьшается или увеличивается сечение выработки в результате разрушения (последнее свидетельствует о преимущественно упругом деформировании пород, насколько параллельны отслаиваемые плитки контуру выработки и как согласуются поверхности отслоений с естественными поверхностями ослаблений трещинами, слоистостью и т.п.). Отмеченные места разрушений наносят на планы горных работ. Данные классифицируют с учетом интенсивности разрушений и положения участков разрушений на контуре выработок. Направление действия наибольшего главного напряжения в породном массиве определяют на основании положения о том, что разрушение пород на контуре выработки в поле сжимающих напряжений происходит лишь в тех частях контура, где действуют наибольшие сжимающие напряжения, достигающие предельных значений. При этом известно, что участки разрушения пород на контуре выработки всегда параллельны направлению действия наибольших сжимающих напряжений (рисунок 63). Рисунок 63. Расположение участков разрушения пород в выработках в зависимости от ориентировки максимальных сжимающих напряжений max : а в стенках 1; б в кровле и почве 2; в в стенках вертикальной выработки 3 С учетом этого факта статистически анализируется пространственная ориентировка участков разрушения пород на контуре выработки и устанавливается направление действия наибольшего главного сжимающего напряжения. По разрушению пород на контуре выработки можно приближенно оценивать величины напряжений, действующих и на контуре выработки, ив массиве пород. Напряжения на контуре выработок сж , (157) где сж – предел прочности пород на одноосное сжатие. Для определения напряжений в массиве пород необходимо в величины напряжений, найденные на контуре выработки, ввести коэффициенты, учитывающие их концентрацию. Многочисленные натурные измерения показывают, что значения максимальных напряжений в массиве в рассматриваемом случае составляют max , 0 5 сж (158) Определение напряжений по толщине дисков керна. При выбуривании в напряженном массиве хрупких пород керна, последний разрушается на диски выпукло-вогнутой формы различной толщины. Толщина дисков зависит от прочности пород, диаметра керна и величины напряжений в массиве. По толщине дисков керна можно определить значения величин максимальных сжимающих напряжений в массиве пород. Например для условий Таштагольского железорудного месторождения Горная Шория) установлена экспериментально в натурных условиях зависимость между максимальными сжимающими напряжениями t и толщиной дисков керна t мм для пород с пределом прочности на одноосное сжатие 80– 120 МПа, которая имеет вид t t 185 1 при 12 t60. (159) Корреляционное отношение равно 0,9. Зависимость толщины дисков керна мм) от их диаметра d при одинаковом уровне напряжений выражается в виде t d d 1 6 8 , (160) Коэффициент корреляции равен 0,7. Оценка напряжений по выходу буровой мелочи. Бурение скважин в напряженных участках массива пород, те. когда напряжение превышает предел прочности на одноосное сжатие в 1,7 – 3,5 раза, керн при бурении разделяется уже не на диски, а на тонкие чешуйки и наблюдается повышенный выход буровой мелочи. В этих условиях значение максимального напряжения в массиве может быть ориентировочно определено по формуле max ( , ) 4 2 3 1 2 1 V V сж при 1 V 2 -1 < 1,3, (161) где V 1 – фактический выход буровой мелочи V 2 – номинальный выход буровой мелочи сж – предел прочности на одноосное сжатие. |