Производные функций. Как найти производную Примеры решений
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
в точке определяется формулой: Напоминаю обозначения и термины называют приращением аргумента – приращением функции – это ЕДИНЫЕ символы (дельту нельзя отрывать от икса или игрека. Очевидно, что является динамической переменной, – константой и результат вычисления предела – числом иногда – плюс либо минус бесконечностью). В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение , принадлежащее области определения функции , в котором существует производная. ! Примечание оговорка в котором существует производная – в общем случае существенна Так, например, точка хоть и входит в область определения функции , но производной там не существует. Поэтому формула неприменима в точке и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с обрывами графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса. Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу: Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника в данном пределе икс, будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а динамику задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела является производная функция Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач Найти производную в точке, используя определение производной Найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание. Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число как вариант, бесконечность, а во втором – функцию. Кроме того, производной может и вовсе не существовать. Как найти производную по определению Составить отношение и вычислить предел Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования Благодаря единственному пределу. Кажется волшебством, нов действительности – ловкость руки никакого мошенничества. На уроке Что такое производная я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения: Пример Найти производную функции , пользуясь определением производной По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке. Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции: Вычислим предел: Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменательна сопряженное выражение Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций. Итак, Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала , то, осуществив замену , получаем: Ответ: по определению производной Готово. В который раз порадуемся логарифмам: Пример Найти производную функции , пользуясь определением производной Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален сточки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы вначале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как ив большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения. Тогда соответствующее приращение функции: Найдём производную: Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только. Ведьмы привыкли, что в пределе изменяется буква икс Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть икс – это как бы константа». Устранение неопределённости закомментирую пошагово: (1) Используем свойство логарифма (2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель) В знаменателе искусственно домножаем и делим на икс чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает Ответ по определению производной Или сокращённо: Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы: Пример Найти производную по определению В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ). Пример Найти производную по определению А тут всё необходимо свести к замечательному пределу Решение оформлено вторым способом. Аналогично выводится ряд других табличных производных. Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книги доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример Найти производную функции , используя определение производной Решение: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции: Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции , то есть в функцию вместо икса следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число итак же подставляем его в функцию вместо икса. Записываем разность, при этом необходимо полностью взять в скобки. Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить. Зачем Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела. Используем формулы, раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить: Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем: В итоге Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим Ответ по определению. В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы: Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию быстрым способом в самом начале решения. Пример Найти производную функции по определению производной Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности: Вернёмся к стилю Пример Пользуясь определением, найти производную функции Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции: Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую, зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции: Найдём производную (1) Используем тригонометрическую формулу) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель) В силу нечётности синуса выносим минус. Под косинусом указываем, что слагаемое (5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат. Ответ: по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться го варианта с икс нулевым». Пример Пользуясь определением, найти производную функции Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример. Разберём более редкую версию задачи: Пример Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной. Во-первых, что должно получиться в сухом остатке Число Вычислим ответ стандартным способом: Решение: сточки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо рассматривается конкретное значение. Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции: Вычислим производную в точке: Используем весьма редкую формулу разности тангенсов ив который раз сведём решение к первому замечательному пределу: Ответ: по определению производной в точке. Задачу не так трудно решить ив общем виде – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция. Пример Используя определение, найти производную функции в точке Это пример для самостоятельного решения. Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает: Пример Будет ли дифференцируема функция в точке Решение очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке , но будет ли она там дифференцируема Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков) Находим левостороннюю производную в данной точке 2) Находим правостороннюю производную в данной точке 3) Если односторонние производные конечны и совпадают, то функция дифференцируема в точке и геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной. Если получены два разных значения одно из которых может оказаться и бесконечным, то функция не дифференцируема в точке Если же обе односторонние производные равны бесконечности пусть даже разных знаков, то функция не дифференцируема в точке , нотам существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику см. Пример 5 урока Уравнение нормали ! Примечание таким образом, между вопросами Будет ли дифференцируема функция в точке и Существует ли производная в точке есть разница! Всё очень просто) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно , а слева от точки расположена парабола , поэтому приращение функции равно: И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно . Таким образом, приращение функции: Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке) Односторонние производные конечны и различны Ответ функция не дифференцируема в точке Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля в точке , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной. Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы ив точках стыка графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера. На этом забавном гибриде и закончим повествование =) Решения и ответы: Пример 3: Решение рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции: Найдём производную в точке Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и Ответ по определению производной Пример 4: Решение рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение . Тогда соответствующее приращение функции: Найдём производную: Используем замечательный предел Ответ по определению Пример 6: Решение рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции: Вычислим производную: Таким образом Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то и Ответ по определению. Пример 8: Решение рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение и составим приращение функции: Найдём производную: Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел: Ответ: по определению Пример 10: Решение Зададим приращение в точке . Тогда приращение функции: Вычислим производную в точке Умножим числитель и знаменательна сопряженное выражение: Ответ: по определению производной в точке Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке? На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей Как найти производную? Производная сложной функции и Простейшие задачи с производными Перечисленные уроки позволят чайникам быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически Но сначала освежим воспоминания если функция дифференцируема в точке (те. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти последующей формуле Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается если в точке существует бесконечная производная, то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки. Соответствующая касательная выразится уравнением (ось ординат. Если же производной не существует например, производной отв точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока: Что такое нормаль Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке понятно, что касательная должна существовать. Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания. Как найти уравнение нормали Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм находим уравнение касательной и представляем его в общем виде. Далее снимаем нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору . Этот способ применять можно, нов математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением: Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала обычные примеры Пример Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет набита рука =) Решение Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле: В данном случае: Найдём производную Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции Теперь вычислим производную в точке : Получено конечное число и это радует. Подставим ив формулу : Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде : Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума – искомое уравнение. Ответ: Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению – верное равенство – верное равенство. И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения, что и требовалось проверить. Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых ! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это слабое звено задания – будьте предельно внимательны! Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради: Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция задаёт верхнюю дугу эллипса Следующая задача для самостоятельного решения: Пример Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке Примерный образец чистового оформления задания в конце урока. Теперь разберём два особых случая) Если производная в точке равна нулю , то уравнение касательной упростится То есть, касательная будет параллельна оси Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значите уравнение примет вид 2) Если производная в точке существует, но бесконечна, то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится зеркальным образом Всё просто: Пример Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж. Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость. Решение составим уравнение касательной В данном случае Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально: Таким образом: Поскольку касательная параллельна оси Случай №1), то нормаль, проходящая через туже точку , будет параллельна оси ординат: Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения Ответ , В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так Касательная к графику функции – это прямая, имеющая сданным графиком единственную общую точку. Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая. Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда Пример Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке Краткое решение и ответ в конце урока Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению : Пример Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке Решение в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по |