Производные функций. Как найти производную Примеры решений
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
Примечание: числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно. 2) Теперь пройдём тоже самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем полметра подъёма. 3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным метров (коричневый отрезок на чертеже. Ив данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке. Теперь зададимся вопросом какое значение измерительного эталона лучше всего использовать Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение, тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое, которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительными неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов Аналогично, для любой точки склона существует значение, которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала – Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю . Во-первых, нулевое приращение высоты ( ) – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина. Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю , то есть сделать его бесконечно малым. По итогу возникает ещё один закономерный вопрос можно ли для дороги и её графика найти другую функцию, которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути? Что такое производная Определение производной. Геометрический смысл производной и дифференциала Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прости доступен каждому Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе). По аналогии с непрерывностью, раскрутка производной начинается се изучения в отдельно взятой точке: Производная функции в точке Рассмотрим функцию (синий график, которая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точку , принадлежащую данному интервалу, и соответствующее значение : Зададим аргументу функции приращение (красный отрезок) в точке . Обратите внимание, что – это тоже вполне определённая точка нашего интервала (на всякий случай отметил её малиновым цветом. Ив этой точке существует своё значение функции Приращение аргумента повлекло за собой приращение функции (малиновый отрезок) В данном случае , поскольку в качестве примера выбран промежуток, на котором функция возрастает. Давайте сразу возьмём на заметку, что нарисовалась в результате проделанных действий. Ну, конечно же, в глаза бросается секущая коричневая прямая) и прямоугольный треугольник Угол наклона секущей коси я обозначил через и отметил его коричневой дугой в двух местах. Такое внимание к данному углу неслучайно он однозначно определяется приращениями Рассмотрим прямоугольный треугольники угол Согласно школьному определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету Определение производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при . Или коротко: Если данный предел конечен, то функция является дифференцируемой в точке . А то, что в львиной доле случаев предел существует и конечен, скептики убедятся в самом ближайшем будущем И, конечно жене забываем о важнейшей особенности предела, как такового ПРИНЦИПИАЛЬНЫЙ МОМЕНТ состоит в том, что приращение аргумента стремится к нулю, но нуля не достигает, иными словами, величина бесконечно малА, ноне равна нулю! Геометрический смысл производной Пожалуйста, возьмите в руки обычную линейку и совместите её ребро с прямой Да-да – приложите прямо к экрану монитора, не комплексуйте =) Вместо линейки можно использовать тетрадку, лист бумаги или даже руку. Теперь, согласно определению производной , медленно двигаем линейку влево к точке, уменьшая тем самым приращение. При этом приращение функции тоже уменьшается точка будет бесконечно близко приближаться к точке по горизонтали красному отрезку, и точка – бесконечно близко приближаться к той же точке , но уже по графику функции (синей линии). В результате секущая стремится занять положение касательной к графику функции в точке . Искомая касательная изображена зелёным цветом. Таким образом, мы получили строгое определение касательной к графику функции Касательная к графику функции в точке – это предельное положение секущей в данной точке. Вот что матан животворящий делает Развиваем мысль дальше. Вспомним полученную ранее формулу тангенса угла наклона секущей и осуществим в обеих её частях так называемый предельный переход. В свете рассматриваемых событий (бесконечного уменьшения и нахождения предела ) угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной (последний дважды отмечен зелёными дугами. Аналогичное утверждение справедливо и для тангенсов данных углов . В итоге Вывод производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке: А тангенс угла наклона касательной – это в точности её угловой коэффициент: В курсе аналитической геометрии выведена формула, по которой можно составить уравнение прямой с угловым коэффициентом: Учитывая полученное равенство , перепишем уравнение в виде Данной формулой мы уже активно пользовались, когда находили уравнение касательной, и сейчас стало ясно, откуда она взялась. Существование производной в точке и непрерывность функции По определению , следовательно, существование производной в точке тесно связано с существованием предела в данной точке. Я изо всех сил пытался отсрочить этот момент, чтобы не путать посетителей сайта, но рассказать всё равно придётся…. В определении производной ВАЖНЕЙШИМ является тот факт, что приращение аргумента задаётся ив другую сторону. Возьмите карандаши листок бумаги (не ленимся – так будет враз понятнее. Изобразите координатные оси, примерно такой же график функции и точки Отложите на чертеже небольшой отрезок слева от точки . При этом точка расположится левее точки , а точка – ниже точки . Теперь проведите секущую графика функции и начните мысленно уменьшать приращение вправо к точке . В результате данная секущая будет стремиться занять положение той же самой «зелёной» касательной! Примечание: приращение с левой стороны осуществляется «против оси абсцисс и поэтому отрицательно . Заметьте, что всё остаётся корректным, так, в нашем случае соответвующие приращение тоже меньше нуля, и по этой причине левосторонний предел таки будет положительным, корректно показывая (как и его правосторонний коллега) рост функции в точке . Односторонние пределы конечны и совпадают, что говорит о существовании общего предела, производной и единой касательной. Таким образом, существование производной в точке геометрически очень удобно ассоциировать с существованием ОБЩЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ в данной точке. Очевидно, что функция не дифференцируема в точках разрыва. Во- первых, она может быть не определена в такой точке, следовательно, приращение задать невозможно (на нет и суда нет. А во-вторых, практически всегда попросту не существует общего предела (по причине различных «нехорошестей» с односторонними пределами. Читатели, насмотревшиеся графиков разрывных функций (это намёк ;-) = )), легко представят проблему с общей касательной. Вывод: из дифференцируемости функции в точке необходимо обязательно) следуете непрерывность в данной точке. Однако обратное утверждение в общем случае неверно, то есть из непрерывности функции дифференцируемость следует далеко не всегда Классический пример, функция в точке (чертёж есть в Примере 24 урока о геометрических преобразованиях графика. Если рассмотреть приращение справа, то правосторонний предел будет равен , и, соответственно, получаем касательную , совпадающую с правой частью графика . Если же придать приращение аргументу влево, получается совсем другой результат и другая касательная , которая совпадает с левой частью графика Печалька. Ни общего предела, ни общей касательной. Таким образом, функция хоть и непрерывна в точке , ноне дифференцируема в ней Подробное аналитическое доказательство проводится по шаблону Примера 11 статьи Производная по определению. Ещё один типичный образец есть в Примере 6 урока Непрерывность функции, где кусочно-заданная функция непрерывна на . Однако не всё так безоблачно – она не дифференцируема в точках стыка графика. В заключение параграфа немного об особых случаях. Когда предел равен плюс или минус бесконечности, то производная тоже существует и касательная к графику функции будет параллельная оси . Например, касательной к графику функции см. чертёж Примера 6 урока Методы решения определённых интегралов в точке является сама ось ординат. Более того, если односторонние пределы бесконечны и различны по знаку, то единая касательная и производная всё равно существуют Пожалуйста квадратный корень из модуля икс в той же точке За более детальной и подробной информацией по сабжу можно обратиться, например, к первому тому Фихтенгольца. НедУрно издание 1962 года, закачивается без проблем. Раз пошла такая пьянка...: Дифференциал функции в точке и его геометрический смысл Дифференциалом функции в точке называют главную линейную часть приращения функции (строго говоря, его следовало обозначить или ). На чертеже дифференциал в точке равен длине отрезка Давайте снова возьмём в руки линейку и приложим её ребром к монитору напрямую. Двигая линейку влево к точке , уменьшаем приращение . Впрочем, и сам выполню несколько засечек: По рисунку хорошо видно, что с уменьшением уменьшается и приращение функции (малиновые линии. При этом отрезок занимает всё меньшую и меньшую часть приращения функции, а наш дифференциал – всю бОльшую и бОльшую его часть, именно поэтому его и называют главной частью приращения функции. Настолько главной, что при бесконечно малом дифференциал стремится к полному приращению функции (соответственно отрезок будет бесконечно малым). Нетрудно вывести формулу для приближенных вычислений с помощью дифференциала. Рассмотрим прямоугольный треугольники тангенс угла наклона касательной . Обозначив дифференциал в рассматриваемой точке корректнее через , и учитывая, что , получаем: То есть идея формулы приближенных вычислений состоит в том, чтобы точное значение функции (смотрим на ось ординат основного чертёжа) заменить суммой и отрезка . К слову, отрезок на главном чертеже существенно не достаёт» до полного приращения , и это неслучайность. В демонстрационной иллюстрации я выбрал большое значении , чтобы всё было видно. На практике же, чем приращение меньше – тем дифференциал лучше дотянется до полного приращения функции (см. маленький рисунок, и тем точнее сработает формула Провернём ещё один неожиданный фокус с полученным равенством. Предельно малое значение часто обозначают через , поэтому формула принимает вид Скинем в знаменатель противоположной части: Понятие производной функции До сих пор речь шла о производной и дифференциале в единственной подопытной точке . Но ведь в качестве можно взять ЛЮБУЮ ТОЧКУ рассматриваемого интервала Из этих соображений в равенстве проведём замену и получим . А это ничто иное, как обозначение производной , о котором я упомянул на первом же уроке по технике дифференцирования. Символ используется двояко – и как цельный символ производной, и как частное дифференциалов. Вторая интерпретация активно эксплуатируется входе решения дифференциальных уравнений. Естественно, ив самом определении производной в точке заменим на К чему мы пришли А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной). Производная характеризует скорость изменения функции. Каким образом Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый, содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт снизу вверх) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт сверху вниз) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы ив критических точках функции, в частности в точках минимума и максимума. Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол дифференцировать Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы выделяем скорость её изменения в виде производной функции. А что, кстати, понимается под словом производная Функция произошла от функции Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции повремени. Если бы в природе не существовало понятия движение тела, тоне существовало бы и производного понятия скорость тела». Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому. Если бы в природе не существовало исходных понятий движение тела и скорость движения тела, тоне существовало бы и производного понятия ускорение тела». Откуда взялись правила дифференцирования и таблица производных Невероятно, но все они появились благодаря единственной формуле . И как это происходит, мы начнём разбирать прямо сейчас. Действительно, пора переходить к практическим примерам. Ну а это был, пожалуй, первый обстоятельный теоретический материал, который я опубликовал на сайте – вполне можете взять для реферата или курсовика. Только аккуратнее, здесь есть зашифрованное послание для вашего преподавателя =) Пример Используя определение производной, доказать, что производная константы равна нулю. Функция-константа имеет вид , и графически – это семейство прямых, параллельных оси абсцисс. Наверное, многие уже догадались, почему Изобразим, например, график функции Это ровная дорога, то есть функция и не возрастает и не убывает в каждой точке. Ни вверх и не вниз. Покажем аналитически, что производная функции-константы равна нулю. Рассмотрим произвольное значение , в котором, понятно. Придадим аргументу приращение . Функция всё время постоянна, поэтому и приращение функции. По определению производной в точке Заметьте, тут нет неопределённости: ноль, делённый на бесконечно малое число , равен нулю. Пытливые читатели могут взять в руки калькулятор и убедиться в этом. Поскольку в качестве точки можно взять любое икс, то проведём замену и получим Пример Найти производную функции по определению. Рассмотрим произвольное значение , в котором Зададим аргументу приращение и вычислим соответствующее значение функции (обычная алгебра – в функцию вместо икса подставили и раскрыли скобки). Вычислим приращение функции: По определению производной в точке: Поскольку в качестве можно взять любое значение , то О чём нам говорит найденная производная Во-первых, для любого икс она отрицательна, а значит, функция убывает на всей области определения. И, во-вторых, это убывание постоянно, то есть наклон горки везде одинаков – в какой бы точке мы ни находились, предельное отношение будет неизменным Здесь и далее я предполагаю, что читатель умеет находить, как минимум, простые производные, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей. Давайте найдём производную быстрым способом Теперь вам должно быть понятно происхождение и весь неформальный смысл полученного результата. Используя этот же алгоритм, можно решить задачу в общем виде и доказать, что производная линейной функции равна её угловому коэффициенту: В начале статьи Уравнение прямой на плоскости я проанализировал расположение прямой в зависимости от углового коэффициента. И сейчас получено объяснение данных фактов сточки зрения математического анализа. Действительно, рассмотрим две линейные функции и найдём их производные Обе производные положительны, а значит, функции возрастают на всей области определения (графики идут снизу вверх. Кроме того, незабываем, что производная – это мера скорости изменения функции. Поскольку , то функция растёт быстрее (причём, значительно) функции , и, соответственно, график намного более крут. Факт тривиален, но озвучу касательная к графику линейной функции в каждой точке совпадает с самим графиком данной линейной функции. Заключительная демонстрационная задача, думаю, развеет все оставшиеся непонятки: Пример Найти производную функции по определению. Рассмотрим произвольную точку и соответствующее значение. Зададим приращение и вычислим значение функции в точке : Найдём приращение функции: По определению производной в точке Поскольку в качестве можно рассмотреть любую точку области определения функции , то проведём замену и получим Проверим результат «лёгким» способом Исходная функция и её производная – это две совершенно разные функции, однако между ними существует чёткая и прозрачная связь На интервале производная отрицательна (красная линия, что говорит об убывании функции на данном интервале. Грубо говоря, ветвь параболы идёт сверху вниз. А на интервале производная положительна (зелёная линия, значит, функция растёт на этом интервале, и её график идёт снизу вверх. При производная равна нулю . Найденное значение показывает, что скорость изменения функции в точке равна нулю (функция не растёт в ней и не убывает. В данном случае здесь минимум функции Всё это можно утверждать даже не зная, что такое парабола и как выглядит график функции И ещё раз заостряю внимание, что значение производной в точке выражает собой некоторую меру скорости изменения функции в данной точке. Найдём несколько значений производной: Таким образом, в точке функция убывает, в точке сохраняет скорость постоянной, а в точках – растёт. Причём , поэтому можно сказать (опять даже не зная чертежа, что в окрестности точки график функции идёт вверх круче, чем вблизи точки Закрепим геометрический смысл производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Не поленюсь, применю формулу четыре раза Вот так вот изящно производная характеризует свою функцию. Наше увлекательное путешествие подошло к концу, и возникает вопрос в каком направлении двигаться дальше Это зависит от ваших сегодняшних потребностей Можно потренироваться в нахождении производной по определению. И смех, и грех, но для применения формулы опять же совсем необязательно понимать, что это производная =) – Можно отработать и окончательно уяснить геометрический смысл производной на уроке Уравнения касательной и нормали. – И, наконец, можно перейти в следующий раздел – к статье об экстремумах функции, из-за которой на сайте, собственно, и появилась теория. Желаю успехов Производная по определению через предел. Примеры решений Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что дифференциальное исчисление найдено в капусте. Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на свет таблицы производных и правил дифференцирования. Начало положено в статье о смысле производной, которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме.Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того, рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной. Также крайне желательно (однако опять необязательно) уметь находить производные обычным методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий Как найти производную и Производная сложной функции. Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это без пределов функций. Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, что производная функции |