Производные функций. Как найти производную Примеры решений
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
Ответ: Более простая функция для самостоятельного решения: Пример Найти функции И задачка позанятнее: Пример Найти функции Ещё раз повторим порядок действий) Сначала находим несколько производных. Чтобы уловить закономерности обычно хватает трёх-четырёх. 2) Затем настоятельно рекомендую составить хотя бы на черновике энную производную – она гарантированно убережёт от ошибок. Но можно обойтись и без , те. мысленно прикинуть и сразу записать, например, двадцатую или восьмую производную. Более того, некоторые люди вообще способны решить рассматриваемые задачи устно. Однако следует помнить, что быстрые способы чреваты, и лучше перестраховаться. 3) На заключительном этапе выполняем проверку энной производной – берём пару значений «эн» (лучше соседних) и выполняем подстановку. А ещё надёжнее – проверить все найдённые ранее производные. После чего подставляем в нужное значение, например, или и аккуратно причёсываем результат. Краткое решение 4 иго примеров в конце урока. В некоторых задачах во избежание проблем над функцией нужно немного поколдовать: Пример Записать формулу производной порядка для функции Решение: дифференцировать предложенную функцию совсем не хочется, поскольку получится плохая дробь, которая сильно затруднит нахождение последующих производных. В этой связи целесообразно выполнить предварительные преобразования используем формулу разности квадратов и свойство логарифма : Совсем другое дело: И старые подруги: Думаю, всё просматривается. Обратите внимание, что я дробь знакочередуется, а я – нет. Конструируем производную порядка: Контроль: Ну и для красоты вынесем факториал за скобки: Ответ: Интересное задание для самостоятельного решения Пример Записать формулу производной порядка для функции Краткое решение и ответ в конце урока. А сейчас о незыблемой круговой поруке, которой позавидует даже итальянская мафия: Пример Дана функция . Найти Восемнадцатая производная в точке . Всего-то. Решение: сначала, очевидно, нужно найти . Поехали: С синуса начинали, к синусу и пришли. Понятно, что при дальнейшем дифференцировании этот цикл будет продолжаться до бесконечности, и возникает следующий вопрос как лучше добраться до восемнадцатой производной Способ любительский быстренько записываем справа в столбик номера последующих производных Таким образом Но это работает, если порядок производной не слишком велик. Если же надо найти, скажем, сотую производную, то следует воспользоваться делимостью на 4. Сто делится на 4 без остатка, и легко видеть, что таковые числа располагаются в нижней строке, поэтому Кстати, ю производную тоже можно определить из аналогичных соображений во второй строке находятся числа, которые делятся нас остатком Другой, более академичный метод основан на периодичности синуса и формулах приведения. Пользуемся готовой формулой энной производной синуса , в которую просто подставляется нужный номер. Например формула приведения формула приведения ) В нашем случае (1) Поскольку синус – это периодическая функция с периодом , то у аргумента можно безболезненно открутить 4 периодате) Пользуемся формулой приведения С сотней, к слову, вообще всё элементарно – 25 оборотов прочь Заключительная, более лёгкая часть задания – это нахождение восемнадцатой производной в точке: Ответ: Аналогичная задача для самостоятельного решения. Пример Дана функция Найти Кроме того, ориентируясь по таблице формул приведения, постарайтесь самостоятельно получить общую формулу энной производной косинуса. На практике при аргументе синуса либо косинуса часто встречается числовой множитель, например . Как находить производные высших порядков в этом случае Всё будет точно также периодичность, формулу приведения, но при каждом дифференцировании перед функцией будет дополнительно выпрыгивать «двойка» Второй параграф посвящён производным высших порядков от произведения функций Материал разберём на конкретной задаче: Пример Найти функции Решение начнём с ключевого вопроса как выгоднее всего найти третью производную от произведения функций? …А почему бы, собственно, не взять три производные подряд Тем более это представляется вполне подъёмной задачей. Используем правило дифференцирования произведения и упрощаем результат: Со второй производной дела обстоят похуже, но всё-таки ещё не так плохи: С третьей немножко повезло: Всё выглядит весьма благонадёжно, но… В чём недостаток такого решения Во-первых, оно длинное. А ведь предложенная функция даже без наворотов. И, во-вторых, тут легко запутаться особенно в знаках. Рассмотрим простой и чёткий способ решения подобных заданий Формула Лейбница Пожалуйста, не путайте с более известной формулой Ньютона- Лейбница! Производную порядка от произведения двух функций можно найти по формуле: В частности: Примечание: здесь и далее предполагается дифференцируемость функций нужное количество раз Специально запоминать ничего не надо, ибо, чем больше формул знаешь – тем меньше понимаешь. Гораздо полезнее ознакомиться с биномом Ньютона, поскольку формула Лейбница очень и очень на него похожа. Ну а те везунчики, которым достанется производная го либо более высоких порядков что, правда, маловероятно, будут вынуждены это сделать. Впрочем, когда черёд дойдёт до комбинаторики – то всё равно придётся =) Найдём третью производную функции . Используем формулу Лейбница: В данном случае . Производные легко перещёлкать устно Теперь аккуратно и ВНИМАТЕЛЬНО выполняем подстановку и упрощаем результат: Ответ: Аналогичное задание для самостоятельного решения: Пример Найти функции Если в предыдущем примере решение в лоб ещё конкурировало с формулой Лейбница, то здесь оно уже будет действительно неприятным. И ещё неприятнее – в случае более высокого порядка производной: Пример Найти производную указанного порядка Решение: первое и существенное замечание – решать вот так, наверное, ненужно) Запишем функции и найдём их производные до го порядка включительно. Предполагаю, что производные правого столбца стали для вас устными В левом же столбце живые производные быстро закончились и это очень хорошо – в формуле Лейбница обнулятся три слагаемых: Вновь остановлюсь на дилемме, которая фигурировала в статье о сложных производных упрощать ли результат В принципе, можно оставить итак преподавателю будет даже легче проверять. Но он может потребовать довести решение до ума. С другой стороны, упрощение по собственной инициативе чревато алгебраическими ошибками. Однако у насесть ответ, полученный первобытным способом =) см. ссылку вначале, и я надеюсь, он правильный: Отлично, всё сошлось Ответ Счастливое задание для самостоятельного решения: Пример Для функции а) найти непосредственным дифференцированием; б) найти по формуле Лейбница; в) вычислить Нет, я вовсе не садист – пункта здесь достаточно прост =) А если серьёзно, то прямое решение последовательным дифференцированием тоже имеет право на жизнь – в ряде случаев его сложность сопоставима со сложностью применения формулы Лейбница. Используйте, если сочтёте целесообразным – это вряд ли будет основанием для незачёта задания. Краткое решение и ответ в конце урока. Чтобы поднять заключительный параграф нужно уметь дифференцировать неявные функции: Производные высших порядков от функций, заданных неявно Многие из нас потратили долгие часы, дни и недели жизни на изучение окружностей, парабол, гипербола иногда это вообще казалось сущим наказанием. Так давайте же отомстим и продифференцируем их как следует! Начнём со школьной параболы в её каноническом положении Пример Дано уравнение . Найти Решение первый шаг хорошо знаком: То, что функция и её производная выражены неявно сути дела не меняет, вторая производная – это производная от й производной: Однако свои правила игры существуют производные го и более высоких порядков принято выражать только через икс и игрек. Поэтому в полученную ю производную подставим Третья производная – есть производная от й производной: Аналогично, подставим : Ответ Школьная гипербола в каноническом положении – для самостоятельной работы: Пример Дано уравнение . Найти Повторяю, что ю производную и результат следует выразить только через «икс»/«игрек»! Краткое решение и ответ в конце урока. После детских шалостей посмотрим немецкую поpнoгр@фию рассмотрим более взрослые примеры, из которых узнаем ещё один важный приём решения: Пример Найти Эллипс собственной персоной. Решение найдём ю производную А теперь остановимся и проанализируем следующий момент сейчас предстоит дифференцировать дробь, что совсем не радует. В данном случае она, конечно, проста, нов реально встречающихся задачах таких подарков раз два и обчёлся. Существует ли способ избежать нахождения громоздкой производной Существует Берём уравнение и используем тот же самый прим, что и при нахождении 1-й производной – навешиваем штрихи на обе части: Вторая производная должна быть выражена только через и , поэтому сейчас именно сейчас удобно избавиться от й производной. Для этого в полученное уравнение подставим Чтобы избежать лишних технических трудностей, умножим обе части на : И только на завершающем этапе оформляем дробь: Теперь смотрим на исходное уравнение и замечаем, что полученный результат поддаётся упрощению: Ответ: Как найти значение й производной в какой-либо точке которая, понятно, принадлежит эллипсу, например, в точке ? Очень легко Этот мотив уже встречался на уроке об уравнении нормали в выражение й производной нужно подставить : Безусловно, во всех трёх случаях можно получить явно заданные функции и дифференцировать их, но тогда морально настройтесь работать с двумя функциями, которые содержат корни. Намой взгляд, решение удобнее провести неявным путём». Заключительный пример для самостоятельного решения: Пример Найти неявно заданной функции Краткое решение и ответ совсем близко. Дополнительные примеры повышенной технической сложности можно найти в ИДЗ-6.2 задачника Рябушко. Время от времени меня упрекают в том, что я разбираю слишком много простых задач, однако ив этот урок я намеренно не стал включать примеры со «страшными» производными – моя цель состояла в том, чтобы рассказать о методах и приёмах решения. Главное – хоть небольшое, но понимание, а остальное приложится! Позабытыми остались и производные высших порядков от параметрически заданных функций, которые практически не встречаются. А если и встретятся, то, что в них сложного Вот формулы , которые при более или менее приличных навыках можно вывести, не заглядывая нив какие справочники. Успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение найдём пятую производную: Очевидно, что Ответ: Пример 4: Решение найдём несколько производных Запишем энную производную Таким образом Ответ Пример 5: Решение найдём несколько производных: Запишем производную порядка для : Таким образом Ответ Примечание энную производную также можно записать с двойным факториалом . В частности . О том, что такое двойной факториал, читайте в статье Ряды повышенной сложности после Примера Пример 7: Решение преобразуем функцию: Найдём несколько производных: Примечание: производную можно найти и без преобразований с помощью правила . Ответ Пример 9: Решение найдём несколько производных делится нас остатком 3 – данному случаю соответствуют производные й строки, таким образом Способ второй Используем формулу Примечание в силу периодичности косинуса, убрали 11 периодов, далее – использовали формулу приведения Вычислим производную в точке: Ответ: Пример 11: Решение Используем формулу Лейбница Таким образом: Ответ: Пример 13: Решение а) найдём ю производную последовательным дифференцированием б) найдём ю производную с помощью формулы Лейбница: Таким образом: в) Ответ Пример 15: Решение найдём ю производную: Вторая производная – подставим вне ю производную можно упростить преобразуем исходное уравнение – подставим вою производную: Найдём третью производную – и подставим вне Ответ Пример 17: Решение найдём ю производную: Найдём ю производную Подставим : Cпособ второй подставим вне Ответ Что такое производная? Определение и смысл производной функции Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных. Нос моей точки зрения, более прагматичен следующий подход прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции, ив особенности, бесконечно малые величины. Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела, которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций. Заодно освоите/вспомните их решение. Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные, в том числе производные сложных функций. Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования, даже не осознавая сущности своих действий К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной, где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме Функции и графики, пока я всё- таки не решил поставить его раньше. Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусными неполным. Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задачи я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом. Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует Ведь можно выбрать, например, ровный путь, дав результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики. Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку): На всякий случай напоминаю элементарный факт путешествие происходит слева направо. Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке. Какие особенности у данного графика? На интервалах функция возрастает, то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку. А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону). Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума, то есть существует такой участок путина котором значение будет самым большим (высоким. В точке же достигается минимум, и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое). Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции, а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью. И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто, чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария Скорость изменения функции Идея состоит в следующем возьмём некоторое значение читается дельта икс, которое назовём приращением аргумента, и начнём его примерять к различным точкам нашего пути 1) Посмотрим на самую левую точку минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия. Величина называется приращением функции, ив данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля. Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то Внимание Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя отрывать дельту от икса и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции. Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия, мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции. |