Производные функций. Как найти производную Примеры решений
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь. Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие – вместо правила применяем правило Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал После изучения третьего урока выбудете очень уверенно себя чувствовать входе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки, то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных. Желаю успехов! Ответы: Пример 2: Пример 4: Указание перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак . Пример 7: Пример 9: Пример 11: Пример 13: Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно- показательной функции Продолжаем повышать свою технику дифференцирования. На данном уроке мы закрепим пройденный материал, рассмотрим более сложные производные, а также познакомимся с новыми приемами и хитростями нахождения производной, в частности, с логарифмической производной. Тем читателям, у кого низкий уровень подготовки, следует обратиться к статье Как найти производную Примеры решений, которая позволит поднять свои навыки практически с нуля. Далее необходимо внимательно изучить страницу Производная сложной функции, понять и прорешать все приведенные мной примеры. Данный урок логически третий по счету, и после его освоения Выбудете уверенно дифференцировать достаточно сложные функции. Нежелательно придерживаться позиции Куда еще Да итак хватит, поскольку все примеры и приёмы решения взяты из реальных контрольных работ и часто встречаются на практике. Начнем с повторения. На уроке Производная сложной функции мы рассмотрели ряд примеров с подробными комментариями. Входе изучения дифференциального исчисления и других разделов математического анализа – дифференцировать придется очень часто, и не всегда бывает удобно (да и не всегда нужно) расписывать примеры очень подробно. Поэтому мы потренируемся в устном нахождении производных. Самым подходящими кандидатами для этого являются производные простейших из сложных функций, например По правилу дифференцирования сложной функции При изучении других тем матана в будущем такая подробная запись чаще всего не требуется, предполагается, что студент умеет находить подобные производные на автопилоте автомате. Представим, что в 3 часа ночи раздался телефонный звонок, и приятный голос спросил Чему равна производная тангенса двух икс. На это должен последовать почти мгновенный и вежливый ответ Первый пример будет сразу предназначен для самостоятельного решения. Пример Найти следующие производные устно, водно действие, например. Для выполнения задания нужно использовать только таблицу производных элементарных функций (если она еще не запомнилась. Если возникнут затруднения, рекомендую перечитать урок Производная сложной функции, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ответы в конце урока Сложные производные После предварительной артподготовки будут менее страшны примеры, с 3-4-5 вложениями функций. Возможно, следующие два примера покажутся некоторым сложными, но если их понять (кто-то и помучается, то почти всё остальное в дифференциальном исчислении будет казаться детской шуткой. Пример Найти производную функции Как уже отмечалось, при нахождении производной сложной функции, прежде всего, необходимо правильно РАЗОБРАТЬСЯ во вложениях. В тех случаях, когда есть сомнения, напоминаю полезный прим берем подопытное значение икс, например, и пробуем мысленно или на черновике) подставить данное значение в страшное выражение) Сначала нам нужно вычислить выражение , значит, сумма – самое глубокое вложение) Затем необходимо вычислить логарифм 3) Далее косинус 4) Потом косинус возвестив куб 5) На пятом шагу разность 6) И, наконец, самая внешняя функция – это квадратный корень: Формула дифференцирования сложной функции применятся в обратном порядке, от самой внешней функции, до самой внутренней. Решаем: Вроде без ошибок) Берем производную от квадратного корня) Берем производную от разности, используя правило) Производная тройки равна нулю. Во втором слагаемом берем производную от степени (куба (4) Берем производную от косинуса) Берем производную от логарифма) И, наконец, берем производную от самого глубокого вложения Может показаться слишком трудно, но это еще не самый зверский пример. Возьмите, например, сборник Кузнецова ивы оцените всю прелесть и простоту разобранной производной. Я заметил, что похожую штуку любят давать на экзамене, чтобы проверить, понимает студент, как находить производную сложной функции, или не понимает. Следующий пример для самостоятельного решения. Пример Найти производную функции Подсказка Сначала применяем правила линейности и правило дифференцирования произведения Полное решение и ответ в конце урока. Настало время перейти к чему-нибудь более компактному и симпатичному. Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, а трёх функций. Как найти производную от произведения трёх множителей? Пример Найти производную функции Сначала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в произведение двух функций Например, если бы у нас в произведении было два многочлена, то можно было бы раскрыть скобки. Нов рассматриваемом примере все функции разные степень, экспонента и логарифм. В таких случаях необходимо последовательно применить правило дифференцирования произведения два раза Фокус состоит в том, что за умы обозначим произведение двух функций , аза «вэ» – логарифм . Почему так можно сделать А разве – это не произведение двух множителей и правило не работает Ничего сложного нет: Теперь осталось второй раз применить правило к скобке Можно еще поизвращаться и вынести что-нибудь за скобки, нов данном случае ответ лучше оставить именно в таком виде – легче будет проверять. Готово. Рассмотренный пример можно решить вторым способом: Оба способа решения абсолютно равноценны. Пример 5 Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения, в образце он решен первым способом. Рассмотрим аналогичные примеры с дробями. Пример Найти производную функции Здесь можно пойти несколькими путями: или так: Но решение запишется более компактно, если в первую очередь использовать правило дифференцирования частного , приняв завесь числитель В принципе, пример решён, и если его оставить в таком виде, то это не будет ошибкой. Но при наличии времени всегда желательно проверить на черновике, а нельзя ли ответ упростить Приведём выражение числителя к общему знаменателю и избавимся от трёхэтажности дроби: Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку уже не при нахождении производной, а при банальных школьных преобразованиях. С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и просят довести до ума производную. Более простой пример для самостоятельного решения Пример Найти производную функции Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим типовой случай, когда для дифференцирования предложен страшный логарифм Пример Найти производную функции Тут можно пойти длинным путём, используя правило дифференцирования сложной функции: Но первый же шаг сразу повергает в уныние – предстоит взять неприятную производную от дробной степени , а потом ещё и от дроби Поэтому перед тем как брать производную от навороченного логарифма, его предварительно упрощают, используя известные школьные свойства ! Если под рукой есть тетрадь с практикой, перепишите эти формулы прямо туда. Если тетради нет, перерисуйте их на листочек, поскольку оставшиеся примеры урока буду вращаться вокруг этих формул. Само решение можно оформить примерно так: Преобразуем функцию: Находим производную: Предварительное преобразование самой функции значительно упростило решение. Таким образом, когда для дифференцирования предложен подобный логарифм, то его всегда целесообразно «развалить». А сейчас пара несложных примеров для самостоятельного решения: Пример Найти производную функции Пример Найти производную функции Все преобразования и ответы в конце урока. Логарифмическая производная Если производная от логарифмов – это такая сладкая музыка, то возникает вопроса нельзя ли в некоторых случаях организовать логарифм искусственно Можно И даже нужно. Пример Найти производную функции Похожие примеры мы недавно рассмотрели. Что делать Можно последовательно применить правило дифференцирования частного, а потом правило дифференцирования произведения. Недостаток способа состоит в том, что получится огромная трехэтажная дробь, с которой совсем не хочется иметь дела. Но в теории и практике есть такая замечательная вещь, как логарифмическая производная. Логарифмы можно организовать искусственно, навесив их на обе части: Теперь нужно максимально развалить логарифм правой части формулы перед глазами. Я распишу этот процесс очень подробно Собственно приступаем к дифференцированию. Заключаем под штрих обе части: Производная правой части достаточно простая, её я комментировать не буду, поскольку если вычитаете этот текст, то должны уверенно с ней справиться. Как быть с левой частью? В левой части у нас сложная функция. Предвижу вопрос Почему, там же одна буковка игрек под логарифмом. Дело в том, что эта одна буковка игрек – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (если не очень понятно, обратитесь к статье Производная от функции, заданной неявно. Поэтому логарифм это внешняя функция, а игрек – внутренняя функция. И мы используем правило дифференцирования сложной функции : В левой части как по мановению волшебной палочки у нас «нарисовалась» производная . Далее по правилу пропорции перекидываем игрек из знаменателя левой части наверх правой части: А теперь вспоминаем, о каком таком «игреке»-функции мы рассуждали при дифференцировании Смотрим на условие: Окончательный ответ: Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения. Образец оформления примера данного типа в конце урока. С помощью логарифмической производной можно было решить любой из примеров №№4-7, другое дело, что там функции проще, и, может быть, использование логарифмической производной не слишком-то и оправдано. Производная степенно-показательной функции Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от «икс». Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции: Как найти производную от степенно-показательной функции Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную. Навешиваем логарифмы на обе части: Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень: В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи: Дальнейшие действия несложны: Окончательно: Если какое-то преобразование не совсем понятно, пожалуйста, внимательно перечитайте объяснения Примера В практических заданиях степенно-показательная функция всегда будет сложнее, чем рассмотренный лекционный пример. Пример Найти производную функции Используем логарифмическую производную В правой части у нас константа и произведение двух множителей – икса и логарифма логарифма икс (под логарифм вложен еще один логарифм. При дифференцировании константу, как мы помним, лучше сразу вынести за знак производной, чтобы она не мешалась под ногами и, конечно, применяем знакомое правило : Как видите, алгоритм применения логарифмической производной не содержит в себе каких-то особых хитростей или уловок, и нахождение производной степенно-показательной функции обычно не связано с «мучениями». Заключительные два примера предназначены для самостоятельного решения. Пример Найти производную функции Пример Найти производную функции Образцы решения и оформления совсем близко. Не такое и сложное это дифференциальное исчисление Желаю успехов Решения и ответы: Пример 1: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Пример 3: Пример 5: Примечание перед дифференцированием можно было раскрыть скобки и использовать правило один раз. Пример 7: Пример 9: Сначала преобразуем функцию. Используем свойства логарифмов: Найдем производную. Используем правило дифференцирования сложной функции: Пример 10: Сначала преобразуем функцию: Найдем производную: Пример 12: Используем логарифмическую производную. Преобразуем функцию Находим производную: Пример 14: Используем логарифмическую производную: Пример 15: Используем логарифмическую производную Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции В данной статье мы рассмотрим еще два типовых задания, которые часто встречаются в контрольных работах по высшей математике. Для того чтобы успешно освоить материал, необходимо уметь находить производные хотя бы на среднем уровне. Научиться находить производные практически с нуля можно на двух базовых уроках Как найти производную Примеры решений и Производная сложной функции. Если с навыками дифференцирования всё в порядке, тогда поехали. Производная функции, заданной неявно Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция Давайте сначала вспомним самоопределение функции одной переменной: Функция одной переменной это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции Переменная называется независимой переменной или аргументом. Переменная называется зависимой переменной или функцией. До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит Устроим разбор полётов на конкретных примерах. Рассмотрим функцию Мы видим, что слева у нас одинокий игрека справа – только иксы. То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную Рассмотрим другую функцию Здесь переменные и расположены вперемешку. Причем никакими способами невозможно выразить игрек только через икс. Что это за способы Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить игрек в явном виде . Можно крутить-вертеть уравнение часами, ноу вас этого не получится. Разрешите познакомить – пример неявной функции. В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда, у неё есть график (точно также, как и у нормальной функции. У неявной функции точно также существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены. И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница водном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас. Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками. Пример Найти производную от функции, заданной неявно) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную Примеры решений) Непосредственное дифференцирование. Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»? – просто до безобразия, производная от функции равна её производной Как дифференцировать Здесь у нас сложная функция. Почему Вроде бы под синусом всего одна буква игрек. Но, дело в том, что всего одна буква игрек – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение вначале урока. Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции Произведение дифференцируем по обычному правилу Обратите внимание, что – тоже сложная функция, любой игрек с наворотами – сложная функция: Само оформление решения должно выглядеть примерно так: Если есть скобки, то раскрываем их) В левой части собираем слагаемые, в которых есть игрек со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное) В левой части выносим производную за скобки) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части: Производная найдена. Готово. Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так. И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы функция, заданная в неявном виде и неявная функция отличаются одним смысловым нюансом. Фраза функция, заданная в неявном виде более общая и корректная, – эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить игрек и представить функцию в явном виде. Под фразой неявная функция понимают классическую неявную функцию, когда игрек выразить нельзя. Второй способ решения Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша. Найдем производную неявной функции вторым способом. Переносим все слагаемые в левую часть: И рассматриваем функцию двух переменных: Тогда нашу производную можно найти по формуле Найдем частные производные: Таким образом: Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему Производная функции одной переменной, знать частные производные как бы еще не должен. Рассмотрим еще несколько примеров. Пример Найти производную от функции, заданной неявно Навешиваем штрихи на обе части: Используем правила линейности: Находим производные: Раскрываем все скобки: Переносим все слагаемые св левую часть, остальные – в правую часть: В левой части выносим за скобку: Окончательный ответ: Пример 3 Найти производную от функции, заданной неявно Полное решение и образец оформления в конце урока. Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера. Пример Найти производную от функции, заданной неявно Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности: Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного : Раскрываем скобки Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится Умножаем каждое слагаемое каждой части на . Если подробно, то выглядеть это будет так: Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например, , то операцию нужно было бы повторить – умножить каждое слагаемое каждой части на Далее алгоритм работает стандартно, после того, как все скобки раскрыты, все дроби устранены, слагаемые, где есть игрек штрих собираем в левой части, а в правую часть переносим всё остальное: В левой части выносим за скобку: Окончательный ответ: Пример Найти производную от функции, заданной неявно Это пример для самостоятельного решения. Единственное, в нм, перед тем как избавиться от дроби, предварительно нужно будет избавиться от трехэтажности самой дроби. Полное решение и ответ в конце урока. О том, как найти производную го, го и более высоких порядков от неявно заданной функции, читайте в статье Производные высших |