Производные функций. Как найти производную Примеры решений
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
определению ): Обе производные бесконечны, следовательно, в точке существует общая вертикальная касательная Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле: Для лучшего понимания задачи приведу чертёж: Ответ: Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно? Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения: Пример Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке Решение судя по уравнению, это какая-то линия го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует. В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной. Но этого и не требуется Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению: Получено верное равенство, значит, сточкой всё в порядке. Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением: На м шаге в найденное выражение производной подставим : Вот так-то! Осталось аккуратно разобраться с уравнением: Составим уравнение нормали Ответ Готово А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения: Пример Найти уравнение нормали к линии в точке Хватит уже вымучивать касательную В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию. Но зачем Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче Она тут чуть лине самая примитивная. Краткое решение и ответ в конце урока Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически? Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции. Атак почти халява: Пример Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде, проведенные в точке, для которой Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически так получилось, что эта статья была создана раньше. Там даже изображена точка касания. Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой: Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции: И вычислим её значение при : Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения: Уравнение нормали: Ответ: В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией: Пример Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета. Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально Спасибо за внимание и успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение уравнение касательной составим по формуле: В данном случае Таким образом Уравнение нормали составим по формуле Ответ Пример 4: Решение уравнение касательной составим по формуле: В данной задаче Таким образом В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали: Ответ: Пример 7: Решение в данной задаче . Найдём производную: Или: Подставим в выражение производной Искомое уравнение нормали Ответ Пример 9: Решение в данном случае Найдём производную и вычислим её значение при Уравнение нормали: Ответ: Приближенные вычисления с помощью дифференциала На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала. Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости я часто буду говорить просто дифференциал. Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз. Кроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать ив других задачах. Физики, где ваши аплодисменты Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с урока Как найти производную Также рекомендую прочитать статью Простейшие задачи с производной, а именно параграфы о нахождении производной в точке и нахождении дифференциала в точке. Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, нов данном случае он менее удобен. Практикум состоит из двух частей Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной – Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных. Кому что нужно. На самом деле можно было разделить богатство на две кучи, по той причине, что второй пункт относится к приложениям функций нескольких переменных. Но что поделать, вот люблю я длинные статьи. Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной Рассматриваемое задание и его геометрический смысл уже освещёны на уроке Что такое производная, и сейчас мы ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать. В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике: Пример Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом. Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала: Начинаем разбираться, здесь всё просто На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа , поэтому соответствующая функция имеет вид . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение Смотрим на левую часть формулы , ив голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде. Как проще всего это сделать Рекомендую следующий алгоритм вычислим данное значение на калькуляторе – получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения. В качестве подбираем хорошее значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение должно быть как можно ближе кВ данном случае . Действительно: Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае, возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор Если , то приращение аргумента Итак, число 67 представлено в виде суммы Далее работаем с правой частью формулы Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее: Дифференциал в точке находится по формуле – тоже можете переписать к себе в тетрадь. Из формулы следует, что нужно взять первую производную: И найти её значение в точке Таким образом: Всё готово Согласно формуле Найденное приближенное значение достаточно близко к значению, вычисленному с помощью микрокалькулятора. Ответ: Пример Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом. Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за . Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным. У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немногое оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус. Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт. Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос Пример Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений. Фактически тоже самое задание, его запросто можно переформулировать так Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала» Решение: Используем знакомую формулу В данном случае уже дана готовая функция . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо игрека удобнее использовать Значение необходимо представить в виде . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к двойке, поэтому напрашивается . И, следовательно Вычислим значение функции в точке Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке. Находим первую производную: И её значение в точке Таким образом, дифференциал в точке: В результате, по формуле : Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений Абсолютная и относительная погрешность вычислений Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле: Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону. Относительная погрешность вычислений находится по формуле, или, тоже самое: Относительная погрешность показывает, насколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, нона практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами. После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала. Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора, строго говоря, значение всё равно приближенное, номы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются. Вычислим абсолютную погрешность Вычислим относительную погрешность, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение. Ответ: , абсолютная погрешность вычислений, относительная погрешность вычислений Следующий пример для самостоятельного решения: Пример Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это неслучайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями. Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом: Пример Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание Пример Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой. Решение Что нового в задании По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах. Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами Например и т. д. Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как ив предыдущих примерах, применить формулу Записываем очевидную функцию Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций. Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики. Анализируя таблицу, замечаем хорошее значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам Таким образом После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы. Таки только так! В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы (формулы можно найти в той же таблице). Дальнейшее шаблонно: Таким образом (при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой. Ответ: Пример Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта. Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка, куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки. Пример Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность. Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву зета А вот и рабочая формула: Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же По условию требуется найти приближенное значение функции в точке Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели , Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка, И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть – надо его съесть. Вычислим значение функции в точке Дифференциал функции в точке найдём по формуле: Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке Вычислим частные производные первого порядка в точке : Полный дифференциал в точке Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке Вычислим точное значение функции в точке Вот это значение является абсолютно точным. Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье. Абсолютная погрешность: Относительная погрешность: Ответ: , абсолютная погрешность , относительная погрешность Пример Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность. Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло последующей причине в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов Общая закономерность такова – чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими, и точность приближенных вычислений получится очень высокой. Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока). Пример С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений. Решение: Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных: Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных . Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно. Значение 4,9973 близко к пятерке, поэтому , Значение 0,9919 близко к единице, следовательно, полагаем Вычислим значение функции в точке : Дифференциал в точке найдем по формуле: Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным Полный дифференциал в точке Таким образом, приближенное значение данного выражения Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора Найдем относительную погрешность вычислений: Ответ: , Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной. Пример С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений. Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока. Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий – это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации: Пример С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения. Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить вначале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах. Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора Решения и ответы: Пример 2: Решение Используем формулу: В данном случае , , Таким образом Ответ Пример 4: Решение Используем формулу В данном случае , , Таким образом Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора: Абсолютная погрешность: Относительная погрешность: |