Производные функций. Как найти производную Примеры решений
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
порядков. Производная параметрически заданной функции Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями. Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно , Переменная называется параметром и может принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Рассмотрим, например, значение и подставим его в оба уравнения. Или по человечески если икс равен четырем, то игрек равно единице. На координатной плоскости можно отметить точку , и эта точка будет соответствовать значению параметра. Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для обычной функции, для американских индейцев параметрически заданной функции все права тоже соблюдены можно построить график, найти производные и т.д. Кстати, если есть надобность построить график параметрически заданной функции, закачайте мою геометрическую прогу на странице Математические формулы и таблицы. В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр – и подставим его во второе уравнение . В результате получена обыкновенная кубическая функция. В более тяжелых случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула: Находим производную от игрека попеременной тэ»: Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все иксы на букву «тэ». Находим производную от икса попеременной тэ»: Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра Что касается обозначений, тов формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного индекса, поскольку это обычная производная по икс. Нов литературе всегда встречается вариант , поэтому я не буду отклоняться от стандарта. Пример Найти производную от функции, заданной параметрически Используем формулу В данном случае: Таким образом: Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать. Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать. Велик шанс, что при подстановке ив формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами. Пример Найти производную от функции, заданной параметрически Это пример для самостоятельного решения. В статье Простейшие типовые задачи с производной мы рассматривали примеры, в которых требовалось найти вторую производную функции. Для параметрически заданной функции тоже можно найти вторую производную, и находится она последующей формуле . Совершенно очевидно, что для того чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную. Пример Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически Сначала найдем первую производную. Используем формулу В данном случае Подставляет найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу Я заметил, что в задаче на нахождение производной параметрической функции довольно часто в целях упрощений приходится использовать тригонометрические формулы. Помните их или держите под рукой, и не пропускайте возможность упростить каждый промежуточный результат и ответы. Зачем Сейчас нам предстоит взять производную от , и это явно лучше, чем находить производную от Найдем вторую производную. Используем формулу Посмотрим на нашу формулу. Знаменатель уже найден на предыдущем шаге. Осталось найти числитель – производную от первой производной попеременной «тэ»: Осталось воспользоваться формулой: Готово. Для закрепления материала предлагаю еще пару примеров для самостоятельного решения. Пример Найти и для функции, заданной параметрически Пример Найти и для функции, заданной параметрически Надеюсь, это занятие было полезными Вы теперь с лёгкость сможете находить производные от функций, заданных неявно и от параметрических функций. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 3: Решение Таким образом Пример 5: Решение: Пример 7: Решение Используем формулу В данном случае: Таким образом: Пример 9: Решение Найдем первую производную. Используем формулу . В данном случае: Найдем вторую производную, используя формулу . Пример 10: Решение: Используем формулу . В данном случае: Таким образом: Вторая производная Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений После изучения азов нахождения производной в статьях Как найти производную Примеры решений и Производная сложной функции мы рассмотрим типовые задачи, связанные с нахождением производной. Желающие улучшить свои навыки дифференцирования также могут ознакомиться с уроком Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо нового материала у вас есть возможность дополнительно набить руку на нахождении производных. Действительно, если речь пойдет о типовых задачах на производную, то, как минимум, во всех примерах нужно будет найти эту самую производную. Я постараюсь рассмотреть приёмы решения и хитрости, которые не встречались в других статьях. Вот наше аппетитное меню: Производная функции в точке Уравнение касательной к графику прямой Дифференциал функции одной переменной Вторая производная Повар на раздаче. Производная функции в точке Как найти производную функции в точке Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания 1) Необходимо найти производную) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке. Пример Вычислить производную функции в точке Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны: В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию игреком, а в некоторых через эф от икс». Сначала находим производную: Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно. На втором шаге вычислим значение производной в точке : Готово. Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения: Пример Вычислить производную функции в точке Полное решение и ответ в конце урока. Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах построение касательной к графику функции следующий параграф, исследование функции на экстремум, исследование функции на перегиб графика, полное исследование функции и др. Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера. Пример Вычислить производную функции в точке Сначала найдем производную: Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это несильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение иксу нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке : В том случае, если Вам непонятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому что арктангенсов на студенческий век ещё хватит. Пример Вычислить производную функции в точке Это пример для самостоятельного решения. Уравнение касательной к графику функции Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики Рассмотрим демонстрационный простейший пример. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо): Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции, но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять на пальцах, то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции. Применительно к нашему случаю при касательная стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой . Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой Общая формула знакома нам еще со школы: Значение нам уже дано в условии. Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке Наследующем этапе находим производную: Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели): Подставляем значения , ив формулу : Таким образом, уравнение касательной: Это школьный вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой на плоскости принято записывать в так называемой общей форме , поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией Очевидно, что точка должна удовлетворять данному уравнению – верное равенство. Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет. Рассмотрим еще два примера. Пример Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой Уравнение касательной составим по формуле 1) Вычислим значение функции в точке : 2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции) Вычислим значение производной в точке : 4) Подставим значения , ив формулу : Готово. Выполним частичную проверку: Подставим точку в найденное уравнение – верное равенство. Пример Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой Полное решение и образец оформления в конце урока. В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду. И, конечно же, ознакомьтесь со строгим определением касательной, после чего закрепите материал на уроке Уравнение нормали, где есть дополнительные примеры с касательной. Дифференциал функции одной переменной С формально-технической точки зрения найти дифференциал функции – это почти тоже самое, что найти производную». Производная функции чаще всего обозначается через Дифференциал функции стандартно обозначается через (таки читается – «дэ игрек») Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде: Другой вариант записи Простейшая задача Найти дифференциал функции 1) Первый этап. Найдем производную) Второй этап. Запишем дифференциал: Готово. Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений. Помимо комбинированных задач с дифференциалом время от времени встречается и чистое задание на нахождение дифференциала функции Пример Найти дифференциал функции Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё до дифференцирования Смотрим на наш пример. Во-первых, можно преобразовать корень (корень пятой степени относится именно к синусу). Во-вторых, замечаем, что под синусом у нас дробь, которую, очевидно, предстоит дифференцировать. Формула дифференцирования дроби очень громоздка. Нельзя ли избавиться от дроби В данном случае – можно, почленно разделим числитель на знаменатель: Функция сложная. В ней два вложения под степень вложен синуса под синус вложено выражение . Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции два раза Запишем дифференциал, при этом снова представим в первоначальном красивом виде: Готово. Когда производная представляет собой дробь, значок обычно прилепляют в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты). Пример Найти дифференциал функции Это пример для самостоятельного решения. Следующие два примера на нахождение дифференциала в точке: Пример Вычислить дифференциал функции в точке Найдем производную Опять, производная вроде бы найдена. Нов эту бодягу еще предстоит подставлять число, поэтому результат максимально упрощаем: Труды былине напрасны, записываем дифференциал: Теперь вычислим дифференциал в точке В значок дифференциала единицу подставлять ненужно, он немного из другой оперы. Ну и хорошим тоном в математике считается устранение иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменательна. Окончательно: Пример Вычислить дифференциал функции в точке . Входе решения производную максимально упростить. Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока. Вторая производная Всё очень просто. Вторая производная – это производная от первой производной Стандартные обозначения второй производной , или дробь читается так «дэ два игрек по дэ икс квадрат. Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например Найдите функции…». А студент сидит и битый час чешет репу, что это вообще такое. Рассмотрим простейший пример. Найдем вторую производную от функции Для того чтобы найти вторую производную, как многие догадались, нужно сначала найти первую производную: Теперь находим вторую производную: Готово. Рассмотрим более содержательные примеры. Пример 11 Найти вторую производную функции Найдем первую производную: На каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли что-нибудь упростить Сейчас нам предстоит дифференцировать произведение двух функций, и мы избавимся от этой неприятности, применив известную тригонометрическую формулу . Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении: : Находим вторую производную: Готово. Можно было пойти другим путём – понизить степень функции еще перед дифференцированием, используя формулу Если интересно, возьмите первую и вторую производные снова. Результаты, естественно, совпадут. Отмечу, что понижение степени бывает очень выгодно при нахождении частных производных функции. Здесь же оба способа решения будут примерно одинаковой длины и сложности. Как и для первой производной, можно рассмотреть задачу нахождения второй производной в точке. Например: Вычислим значение найденной второй производной в точке Необходимость находить вторую производную и вторую производную в точке возникает при исследовании графика функции на выпуклость/вогнутость и перегибы. Пример Найти вторую производную функции . Найти Это пример для самостоятельного решения. Аналогично можно найти третью производную, а также производные более высоких порядков. Такие задания встречаются, но встречаются чуть реже. Желаю успехов Решения и ответы: Пример 2: Найдем производную: Вычислим значение функции в точке Пример 4: Найдем производную: Вычислим производную в заданной точке: Пример 6: Уравнение касательной составим по формуле) Вычислим значение функции в точке : 2) Найдем производную. Перед дифференцированием функцию выгодно упростить) Вычислим значение производной в точке : 4) Подставим значения , ив формулу : Пример 8: Преобразуем функцию: Найдем производную Запишем дифференциал: Пример 10: Найдем производную: Запишем дифференциал: Вычислим дифференциал в точке Пример 12: Найдем первую производную Найдем вторую производную: Вычислим: Производные высших порядков На данном уроке мы научимся находить производные высших порядков, а также записывать общую формулу энной производной. Кроме того, будет рассмотрена формула Лейбница таковой производной и по многочисленным просьбам – производные высших порядков от неявно заданной функции. Предлагаю сразу же пройти мини-тест: Вот функция и вот её первая производная: В том случае, если у вас возникли какие-либо трудности/недопонимание по поводу этого примера, пожалуйста, начните с двух базовых статей моего курса Как найти производную и Производная сложной функции. После освоения элементарных производных рекомендую ознакомиться с уроком Простейшие задачи с производной, на котором мы разобрались, в частности со второй производной. Нетрудно даже догадаться, что вторая производная – это производная от й производной: В принципе, вторую производную уже считают производной высшего порядка. Аналогично: третья производная – это производная от й производной: Четвёртная производная – есть производная от й производной Пятая производная , и очевидно, что все производные более высоких порядков тоже будут равны нулю: Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения, производную же энного порядка обозначают через . При этом надстрочный индекс нужно обязательно заключать в скобки – чтобы отличать производную от игрека в степени. Иногда встречается такая запись – третья, четвёртая, пятая, …, энная производные соответственно. Вперёд без страха и сомнений: Пример Дана функция . Найти Решение что тут попишешь вперёд за четвёртой производной Четыре штриха ставить уже не принято, поэтому переходим на числовые индексы Ответ Хорошо, а теперь задумаемся над таким вопросом что делать, если по условию требуется найти нею, а например, ю производную Если для производной го максимум, го порядка решение оформляется достаточно быстро, то до производных более высоких порядков мы «доберёмся» ой как нескоро. Не записывать же, в самом деле, 20 строк В подобной ситуации нужно проанализировать несколько найдённых производных, увидеть закономерность и составить формулу энной производной. Так, в Примере №1 легко понять, что при каждом следующем дифференцировании перед экспонентой будет выскакивать дополнительная тройка, причём на любом шаге степень тройки равна номеру производной, следовательно , где – произвольное натуральное число. И действительно, если , то получается в точности я производная , если – то я и т.д. Таким образом, двадцатая производная определяется мгновенно – и никаких километровых простыней»! Разогреваемся самостоятельно: Пример Найти функции . Записать производную порядка Решение и ответ в конце урока. После бодрящей разминки рассмотрим более сложные примеры, в которых отработаем вышеприведённый алгоритм решения. Тем, кто успел ознакомиться с уроком Предел последовательности, будет чуть легче Пример Найти для функции Решение чтобы прояснить ситуацию найдём несколько производных: Полученные числа перемножать не спешим Пожалуй, хватит. Даже немного переборщил. На следующем шаге лучше всего составить формулу энной производной коль скоро, условие этого не требует, то можно обойтись черновиком. Для этого смотрим на полученные результаты и выявляем закономерности, с которыми получается каждая следующая производная. Во-первых, они знакочередуются. Знакочередование обеспечивает мигалка, и поскольку я производная положительна, тов общую формулу войдёт следующий множитель . Подойдёт и эквивалентный вариант , но лично я, как оптимист, люблю знак «плюс» =) Во-вторых, в числителе накручивается факториал, причём он «отстаёт» от номера производной на одну единицу И в-третьих, в числителе растёт степень двойки, которая равна номеру производной. Тоже самое можно сказать о степени знаменателя. Окончательно: В целях проверки подставим парочку значений «эн», например, и Замечательно, теперь допустить ошибку – просто грех: |