Производные функций. Как найти производную Примеры решений
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
Как найти производную? Примеры решений Как найти производную, как взять производную На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но ив оффлайне. Есть Приступим. У меня для Вас есть две новости хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем чтобы научиться находить производные, совсем необязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тема также некоторого практического опыта. И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее. Советую следующий порядок изучения темы во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть Производные неявных и параметрически заданных функций. Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами. Собственно, сразу рассмотрим пример: Пример Найти производную функции Решение Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Обозначения: Производную обозначают или ВНИМАНИЕ, ВАЖНО Забыть поставить штрих (там, где надо, либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА Функция и её производная – это две разные функции! Вернемся к нашей таблице производных. Изданной таблицы желательно запомнить наизусть правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно: производную константы, где – постоянное число; производную степенной функции, в частности , , Зачем запоминать Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос Чему равна производная числа, то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни. Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными. В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций. В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования 1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной, где – постоянное число (константа) Пример Найти производную функции Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, ноу нас Решаем: Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной: А теперь превращаем наш косинус по таблице: Ну и результат желательно немного причесать – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок: Готово. 2) Производная суммы равна сумме производных Пример 3 Найти производную функции Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху: Применяем второе правило: Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах. Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной Обычно входе решения эти два правила применяют одновременно чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение). Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение: Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет. Пример Найти производную функции Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока) Производная произведения функций Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что: Эта необычное правило как, собственно, и другие следует из определения производной. Нос теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать: Пример Найти производную функции Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от . Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных: Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника Пример Найти производную функции В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием. Здесь всё также. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения: Теперь для скобки используем два первых правила: В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции: Готово. При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде необязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока) Производная частного функций В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк. А вот это вот суровая действительность: Пример Найти производную функции Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь. С чего бы начать Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих: Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной: Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь ненужны. Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, нов этом случае они будут путаться под ногами, что загромождает и затрудняет решение. Смотрим на наше выражение в скобках. У насесть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного: Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных: Штрихов больше нет, задание выполнено. На практике обычно (ноне всегда) ответ упрощают школьными методами Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Время от времени встречаются хитрые задачки: Пример Найти производную функции Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее? Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется. В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель. Преобразуем функцию Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать простои приятно: Готово. Пример Найти производную функции Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак: Произведение все-таки дифференцировать проще: Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока 5) Производная сложной функции Данное правило также встречается очень часто. Но он м рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции. Желаю успехов! Ответы: Пример 4: . Входе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, неважно чему они равны, важно, что это - константы. Поэтому выносится за знак производной, а Пример 7: Пример 9: Пример 12: Производная сложной функции. Примеры решений На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, ноя все-таки постараюсь изложить его простои доступно. На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных. Смотрим в таблицу направило) дифференцирования сложной функции: Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией. Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией. ! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения внешняя функция, внутренняя функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал. Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим: Пример Найти производную функции Под синусом у нас находится непросто буква икса целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что разрывать на части синус нельзя В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением, а – внешней функцией. Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней. В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике. Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число). Что мы вычислим в первую очередь В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие , поэтому многочлен и будет внутренней функцией Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией: После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции Начинаем решать. Из урока Как найти производную мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих: Сначала находим производную внешней функции (синуса, смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы ив том, случае, если икс заменить сложным выражением, в данном случае: Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем Ну и совершенно очевидно, что Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так: Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая: Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения: Готово Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения. Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Пример Найти производную функции Как всегда записываем: Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание , значит, многочлен – и есть внутренняя функция: И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция: Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу . Повторяем еще раз любая табличная формула справедлива не только для икс, но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий: Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется: Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного причесать результат: Готово. Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так? Пример а) Найти производную функции б) Найти производную функции Пример Найти производную функции Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид: Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции : Степень снова представляем в виде радикала (корня, а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы: Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять). Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример: Пример Найти производную функции Здесь можно использовать правило дифференцирования частного, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции: Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель: Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция. Используем наше правило Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз: Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть. Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций. Пример Найти производную функции Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе? Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение Затем этот арксинус единицы следует возвестив квадрат И, наконец, семерку возводим в степень То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинуса самой внешней функцией – показательная функция. Начинаем решать Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции Единственное отличие – вместо иксу нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий: Под штрихом у нас снова сложная функция Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени: Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного причесываем выражение: Готово. Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования. Пример Найти производную функции Сначала используем правило дифференцирования суммы, заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу : В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило : Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Выбудете легко находить их устно. А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем: Готово. |