Книга в других форматах Приятного чтения! Артуро розенблюту
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
[c.129] довольно широкого класса функций f (t ) (— ∞ < t < ∞) функция f (t ) полностью определена, если известно множество величин , (n =0, 1, 2, …) (3.17) Пусть теперь А — некоторая функция от будущих значений t, т. е. от значений аргумента, больших нуля. Тогда мы можем определить совместное распределение величин (a 0 , a 1 , …, а n , A ) из прошлого одного, почти любого временного ряда, если множество функций f берется в самом узком возможном смысле. В частности, если даны все a 0 , …, а n , то мы можем найти распределение функции А. Здесь мы прибегаем к известной теореме Никодима об условных вероятностях. Та же теорема гарантирует нам, что это распределение при весьма общих условиях стремится к пределу, когда n →∞, и этот предел даст нам полные сведения относительно распределения любой будущей величины. Мы можем таким же образом определить по известному прошлому совместное распределение значений любого множества будущих величин или любого множества величин, зависящих от прошлого и от будущего. Если теперь нам дана некоторая подходящая интерпретация «наилучшего значения» статистического параметра или множества статистических параметров — например, в смысле математического ожидания, или медианы, или моды, — то мы можем вычислить это значение из известного распределения и получить предсказание, удовлетворяющее любому желательному критерию надежности предсказания. Мы можем численно оценить качество предсказания, применяя какой угодно статистический показатель качества: среднеквадратическую ошибку, максимальную ошибку, среднюю абсолютную ошибку и т. д. Мы можем вычислить количество информации о любом статистическом параметре или множестве статистических параметров, которое дает нам фиксация прошлого. Можно даже вычислить количество информации о всем будущем после определенного момента, даваемое нам знанием прошлого. Правда, если этот момент — настоящее, то, вообще говоря, мы будем знать о нем из прошлого, и наше знание настоящего будет содержать бесконечно много информации. [c.130] Другой интересной проблемой является проблема многомерных временных рядов, в которых мы точно знаем лишь прошлое нескольких составляющих. Распределение величины, зависящей от более богатого прошлого, может изучаться методами, весьма близкими к уже рассмотренным. В частности, нам может понадобиться узнать распределение значений другой составляющей или множества значений других составляющих в некоторый момент прошлого, настоящего или будущего. К этому классу относится и общая задача о волновом фильтре. Даны сообщение и шум, скомбинированные некоторым образом в искаженное сообщение, прошлое которого нам известно. Нам известно также статистическое совместное распределение сообщения и шума как временных рядов. Мы ищем распределение значений сообщения в данный момент прошлого, настоящего или будущего. Затем мы разыскиваем оператор, который, будучи применен к прошлому искаженного сообщения, восстановит истинное сообщение наилучшим образом, в данном статистическом смысле. Мы можем также искать статистическую оценку какой-либо меры ошибок в нашем знании сообщения. Наконец, мы можем искать количество информации, которым располагаем в сообщении. Особенно простым и важным является ансамбль временных рядов, связанный с броуновым движением. Броуновым движением называется движение частицы газа, толкаемой случайными ударами других частиц под действием теплового возбуждения. Теория его была разработана многими исследователями, в частности Эйнштейном, Смолуховским, Перреном и автором142. Если только мы не спускаемся по шкале времени до столь малых промежутков, что становятся различимыми отдельные удары частиц по данной частице, броуново движение обнаруживает любопытное явление недифференцируемости. Средний квадрат перемещения частицы в данном направлении за данный промежуток времени пропорционален длине этого промежутка, а перемещения за [c.131] последовательные промежутки времени совершенно не коррелируются между собой. Это вполне согласуется с физическими наблюдениями. Если мы нормируем шкалу броунова движения соответственно шкале времени и будем рассматривать только одну координату х , положив x (t )=0 для t =0, то вероятность того, что при 0≤t 1 ≤t 2 …≤t n частицы находятся между х 1 и x 1 +dx 1 в момент t 1 , между х 2 и x 2 +dx 2 в момент t 2 , …, между x n и x n +dх n в момент t n , равна . (3.18) Исходя из создаваемой этим системы вероятностей, вполне однозначной, мы можем ввести на множестве путей, соответствующих различным возможным броуновым перемещениям, такой параметр α, лежащий между 0 и 1, что: 1) каждый путь будет функцией x (t ,α), где х зависит от времени t и параметра распределения α и 2) вероятность данному пути находиться в данном множестве S будет равна мере множества значений α, соответствующих путях, находящимся в S . Поэтому почти все пути будут непрерывными и недифференцируемыми. Весьма интересен вопрос об определении среднего значения произведения x (t 1 , α) … x (t n , α) относительно α. Это среднее равно (3.19) при условии 0 ≤t 1 ≤…≤ t n . Положим (3.20) [c.132] где λ k,1 +λ k,2 +…+λ k,n =n .Тогда выражение (3.19) примет значение 142 Paley R.E.A.C., Wiener N. Fourier Transforms in the Complex Domain / Amer. Math. Soc. — Colloquium Publications. — Vol. 19. — New York, 1934. Chapter 10 (русский перевод: Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. — М.: Наука, 1964. Гл. 10. — Ред. ). . (3.21) Здесь первая сумма берется по j ; вторая — по всем способам разбиения n элементов на пары в группах, включающих соответственно λ k,1 , …, λ k,n элементов; произведение — по парам значений k и q, где λ k,1 элементов среди выбранных t k и t q равны t 1 , λ k,2 элементов равны t 2 и т. д. Отсюда сразу же следует (3.22) [c.133] где сумма берется по всем разбиениям величин t 1 , …, t n на различные пары, произведение — по всем парам в каждом разбиении. Другими словами, если нам известны средние значения попарных произведений величин x (t j , α), то нам известны и средние значения всех многочленов от этих величин и, следовательно, их полное статистическое распределение. До сих пор мы рассматривали броуновы перемещения x (t j ,α), в которых t положительно. Положив , (3.23) где α и β имеют независимые равномерные распределения в интервале (0, 1), получим распределение для ξ(t , α, β), где t пробегает всю бесконечную действительную ось. Существует хорошо известный математический прием отобразить квадрат на прямолинейный отрезок таким образом, что площадь преобразуется в длину. Надо лишь записать координаты квадрата в десятичной форме (3.24) и положить , и мы получим искомое отображение, являющееся взаимно однозначным почти для всех точек как прямолинейного отрезка, так и квадрата. Используя эту подстановку, введем . (3.25) Теперь мы хотим определить в некотором подходящем смысле (3.26) Сразу приходит мысль определить указанное выражение как интеграл Стильтьеса143, но это встречает [c.134] препятствие в том, что ξ представляет собой весьма нерегулярную функцию от t . Однако если К приближается достаточно быстро к нулю при t →± ∞ и является достаточно гладкой функцией, то разумно положить (3.27) При этих условиях мы формально получим 143 Stieltjes Т.J. Annales de la Fac. des Sc. de Toulouse. — 1894. — P. 165; Lebesgue Н. Leçons sur l'Intégration. — Paris: Gauthier-Villars et Cie, 1928 (русский перевод: Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. — М.— Л.: ГТТИ, 1934. — Ред. ) (3.28) Если теперь t и s имеют противоположные знаки, то (3.29) а если они одного знака и |s|<|t |, то (3.30) [c.135] Отсюда (3.31) В частности, (3.32) Более того, (3.33) [c.136] где сумма берется по всем разбиениям величин τ 1 , …, τ n на пары, а произведение — по парам в каждом разбиении. Выражение (3.34) изображает очень важный ансамбль временных рядов по переменной t, зависящих от некоторого параметра распределения γ. Доказанное нами равносильно утверждению, что все моменты и, следовательно, все статистические параметры этого распределения зависят от функции (3.35) представляющей собой известную в статистике автокорреляционную функцию со сдвигом τ. Таким образом, распределение функции f (t , γ) имеет те же статистики, что и функция f (t+t 1 , γ); и действительно, можно доказать, что если , (3.36) то преобразование параметра γ в Г сохраняет меру. Другими словами, наш временной ряд f (t , γ) находится в статистическом равновесии. Далее, если мы рассмотрим среднее значение для (3.37) то оно состоит в точности из членов выражения (3.38) [c.137] и из конечного числа членов, имеющих множителями степени выражения , (3.39) если последнее стремится к нулю при σ→∞, то (3.38) будет пределом выражения (3.37). Другими словами, распределения функций f (t , γ) и f (t +σ, γ) становятся асимптотически независимыми, когда σ→∞. Более общим, но совершенно аналогичным рассуждением можно показать, что одновременное распределение функций f (t 1 , γ), …, f (t n , γ) и функций f (σ+s 1 , γ), …, f (σ+s m , γ) стремится к совместному распределению первого и второго множества, когда σ→∞. Другими словами, если F [f (t , γ)] — любой ограниченный измеримый функционал, т. е. величина, зависящая от всего распределения значений функции f (t , γ) от t , то для него должно выполняться условие . (3.40) Если F [f (t , γ)] инвариантен при сдвиге по t и принимает только значения 0 или 1, то , (3.41) т. е. группа преобразований f (t , γ) в f (t +σ, γ) метрически транзитивна. Отсюда следует, что если F [f (t , γ)] — любой интегрируемый функционал от f как функции от t , то по эргодической теореме (3.42) [c.138] для всех значений γ, исключая множество нулевой меры. Таким образом, мы почти всегда можем определить любой статистический параметр такого временного ряда (и даже любого счетного множества статистических параметров) из прошлой истории одного только параметра. В самом деле, если для такого временного ряда мы знаем (3.43) то мы знаем Ф(t ) почти во всех случаях и располагаем полным статистическим знанием о временном ряде. Некоторые величины, зависящие от временного ряда такого рода, обладают интересными свойствами. В частности, интересно знать среднее значение величины (3.44) Формально мы можем записать его в виде . (3.45) Весьма интересная задача — попытаться построить возможно более общий временной ряд из простых рядов броунова движения. При таких построениях, как подсказывает пример рядов Фурье, разложения типа (3.44) составляют удобные строительные блоки. В частности, исследуем временные ряды специального вида: (3.46) [c.139] Предположим, что нам известна функция ξ(τ, γ), а также выражение (3.46). Тогда при t 1 >t 2 находим, как в (3.45), (3.47) Умножив на и положив s (t 2 —t 1 )=i σ, получим при t 2 →t 1 (3.48) Примем K (t 1 , λ) за новую независимую переменную μ и, решая относительно λ, получим (3.49) Тогда выражение (3.48) будет иметь вид (3.50) Отсюда преобразованием Фурье можно найти (3.51) как функцию от μ, коль скоро μ лежит между K (t 1 , a ) и K (t 1 , b ). Интегрируя эту функцию по μ, найдем (3.52) [c.140] как функцию от K (t 1 , λ) и t 1 . Иначе говоря, существует известная функция F (u, v ), такая, что (3.53) Поскольку левая часть этого равенства не зависит от t 1 , мы можем обозначить ее через G (λ) и положить (3.54) Здесь F — известная функция, и ее можно обратить относительно первого аргумента, положив , (3.55) где H — также известная функция. Отсюда (3.56) Тогда выражение (3.57) будет известной функцией и (3.58) откуда , (3.59) или . (3.60) Входящую в это выражение константу можно определить из соотношения , (3.61) или . (3.62) Очевидно, что если а конечно, то безразлично, какое значение мы ему дадим; в самом деле, наш оператор не [c.141] изменится от прибавления одной и той же величины ко всем значениям λ. Поэтому можно взять а =0. Таким образом, мы определили λ как функцию от G и, следовательно, G — как функцию от λ. Из (3.55) следует, что мы тем самым определили K (t, λ). Для завершения расчетов нам нужно только найти b . Это число можно определить сравнением выражений (3.63) и . (3.64) Таким образом, если при некоторых условиях, которые еще остается точно сформулировать, временной ряд допускает запись в виде (3.46) и известна функция ξ(t , γ) то мы можем определить функцию K (t , λ) в (3.46) и числа а и b с точностью до неопределенной константы, прибавляемой к а , λ и b. Не возникает особых трудностей при b →+∞, также не слишком сложно распространить эти рассуждения на случай а → —∞. Конечно, предстоит проделать еще немалую работу, рассматривая задачу обращения функций в случае, когда результаты не однозначны, и общие условия справедливости соответствующих разложений. Тем не менее мы по крайней мере сделали первый шаг к решению задачи приведения обширного класса временных рядов к каноническому виду, что чрезвычайно важно для конкретного формального применения теорий предсказания и измерения информации, намеченных выше в этой главе. Имеется, однако, одно очевидное ограничение, которое мы должны устранить из этого наброска теории временных рядов, а именно необходимость знать ξ(t , γ), и временной ряд, который мы разлагаем в виде (3.46). Вопрос ставится так: при каких условиях временной ряд с известными статистическими параметрами можно представить как ряд, определяемый броуновым движением, или по крайней мере как предел (в том или ином смысле) временных рядов, определяемых броуновым движением? Мы ограничимся временными рядами, [c.142] обладающими свойством метрической транзитивности и даже следующим более сильным свойством: если брать интервалы времени фиксированной длины, но отдаленные друг от друга, то распределения любых функционалов от отрезков временного ряда в этих интервалах приближаются к независимости по мере того, как интервалы отдаляются друг от друга144. Соответствующая теория уже излагалась автором. Если K (t ) — достаточно непрерывная функция, то можно показать, что нули величины (3.65) по теореме М. Каца, почти всегда имеют определенную плотность и что эта плотность при подходящем выборе К может быть сделана сколь угодно большой. Пусть выбрано такое К D , что плотность равна D . Последовательность нулей величины , от —∞ до ∞ обозначим через Z n (D, γ), —∞<n <∞. Конечно, при нумерации этих нулей индекс n определяется лишь с точностью до аддитивной целочисленной константы. Пусть теперь T (t, μ) — произвольный временной ряд от непрерывной переменной t , а μ — параметр распределения временных рядов, изменяющийся равномерно в интервале (0, 1). Пусть далее 144 Это — открытое Купменом свойство перемешивания, составляющее необходимую и достаточную эргодическую предпосылку для оправдания статистической механики. , (3.66) где Z n — нуль, непосредственно предшествующий моменту t . Можно показать, что, каково бы почти ни было μ, для любого конечного множества значений t 1 , t 2 , …, t v переменной х одновременное распределение величин T D (t k , μ, γ) (k =1, 2, …, v ) при D →∞ будет приближаться к одновременному распределению величин T (t k , μ) для тех же t k при D →∞. Но T D (t k , μ, γ) полностью определяется величинами t k , μ, D . Поэтому вполне уместно попытаться выразить T D (t k , μ, γ) [c.143] для данного D и данного μ, либо прямо в виде (3.46), либо некоторым образом в виде временного ряда, распределение которого является пределом (в указанном свободном смысле) распределении этого типа. Следует признать, что все это изображает скорее программу на будущее, чем уже выполненную работу. Тем не менее эта программа, по мнению автора, дает наилучшую основу для рационального, последовательного рассмотрения многих задач в области нелинейного предсказания, нелинейной фильтрации, оценки передачи информации в нелинейных системах и теории плотного газа и турбулентности. К ним принадлежат, быть может, самые острые задачи, стоящие перед техникой связи. Перейдем теперь к задаче предсказания для временных рядов вида (3.34). Мы замечаем, что единственным независимым статистическим параметром такого временного ряда является функция Ф(t ), определенная формулой (3.35). Это значит, что единственной значащей величиной, связанной с K (t ), является (3.67) Конечно, здесь К — величина действительная. Применяя преобразование Фурье, положим . (3.68) Если известно K (s ), то известно k (ω), и обратно. Тогда (3.69) Таким образом, знание Ф(t ) равносильно знанию k (ω)k (—ω). Но поскольку K(s) действительно, то , (3.70) откуда . Следовательно, |k (ω)| 2 есть известная функция, а потому действительная часть log|k (ω)| также есть известная функция. [c.144] Если записать145 (3.71) то нахождение функции K (s ) эквивалентно нахождению мнимой части log k (ω). Это задача неопределенная, если не наложить дальнейшего ограничения на k (ω). Налагаемое ограничение будет состоять в том, что log k (ω) должен быть аналитической функцией и иметь достаточно малую скорость роста относительно ω в верхней полуплоскости. Для выполнения этого условия предположим, что k (ω) и [k (ω)] —1 возрастают вдоль действительной оси алгебраически. Тогда [F (ω)] 2 будет четной и не более, чем логарифмически бесконечной функцией, и будет существовать главное значение Коши146 для 145 Обозначая через действительную часть от стоящего справа выражения. — Прим. ред. 146 Под значением Коши несобственного интеграла (3.72) Преобразование, определяемое выражением (3.72), называется преобразованием Гильберта; оно изменяет cos λω в sin λω и sin λω в —cos λω . Следовательно, F (ω)+iG (ω) есть функция вида (3.73) и удовлетворяет требуемым условиям для log |k (ω)| в нижней полуплоскости. Если теперь положить , (3.74) то можно показать, что при весьма общих условиях функция K (s ), определяемая формулой (3.68), будет обращаться в нуль для всех отрицательных аргументов. Таким образом, (3.75) [c.145] С другой стороны, можно показать, что 1/k (ω) записывается в виде , (3.76) где значения N n определены подходящим образом, и что при этом можно получить (3.77) Здесь значения Q n должны удовлетворять формальному условию (3.78) В общем случае будем иметь , (3.79) а если ввести по образцу соотношения (3.68) , (3.80) то . (3.81) Следовательно, . (3.82) Этот вывод мы используем для того, чтобы получить оператор предсказания в форме, связанной не со временем, а с частотой. [c.146] Таким образом, прошлое и настоящее функции ξ(t , γ), или точнее «дифференциала» d ξ(t , γ), определяют прошлое и настоящее функции f (t , γ), и обратно. Если теперь А >0, то (3.83) Здесь первый член последнего выражения зависит от области изменения d обычно понимают выражение — Прим. ред. ξ(τ , γ), в которой, зная лишь f (σ, γ) для σ≤t , сказать ничего нельзя, и совершенно не зависит от второго члена. Его среднеквадратическое значение равно , (3.84) и эта формула дает все статистическое знание о нем. Можно показать, что первый член имеет гауссово распределение с этим среднеквадратическим значением. Последнее равно ошибке наилучшего возможного предсказания функции f (t +A , γ). Само же наилучшее возможное предсказание выражается вторым членом в (3.83): . (3.85) Если теперь положим (3.86) [c.147] и применим оператор (3.85) к e iωt , получив , (3.87) то найдем, подобно (3.81), что (3.88) Это и есть частотная форма наилучшего оператора предсказания. Задача фильтрации в случае временных рядов типа (3.34) тесно связана с задачей предсказания. Пусть сумма сообщения и шума имеет вид , (3.89) а сообщение имеет вид , (3.90) где γ и δ распределены независимо в интервале (0, 1). Тогда предсказуемая часть функции m (t +a ), очевидно, равна , (3.901) а среднеквадратическая ошибка предсказания равна . (3.902) Допустим, кроме того, что нам известны следующие величины: [c.148] (3.903) (3.904) (3.905) [c.149] Преобразование Фурье для этих величин соответственно равно (3.906) где (3.907) то есть (3.908) и , (3.909) где для симметрии пишем Теперь мы можем определить k (ω) из (3.908), как прежде определили k (ω) из (3.74). Здесь мы принимаем В результате (3.910) и . (3.911) Таким образом, наилучшее определение функции m (t ) с наименьшей среднеквадратической ошибкой есть . (3.912) [c.150] Сравнивая это с уравнением (3.89) и пользуясь рассуждениями, подобными тем, посредством которых было получено (3.88), заключаем, что оператор для m (t )+n (t ), дающий «наилучшее» представление функции m (t+a ), имеет при записи в частотной шкале следующий вид: . (3.913) Этот оператор служит характеристическим оператором устройства, которое в электротехнике называют волновым фильтром. Величина а есть фазовое отставание фильтра. Она может быть положительной или отрицательной; если она отрицательна, то а называется фазовым опережением. Прибор, соответствующий формуле (3.913), может быть построен с какой угодно точностью. Подробности его конструкции нужны более для инженера-электрика, чем для читателя этой книги. Их можно найти в соответствующей литературе147. Среднеквадратическая ошибка фильтрации (3.902) может быть представлена как сумма среднеквадратической ошибки фильтрации для бесконечного фазового отставания (3.914) [c.151] и другого члена , (3.915) зависящего от фазового отставания. Мы видим, что среднеквадратическая ошибка фильтрации есть монотонно убывающая функция фазового отставания. Другим интересным вопросом в случае сообщений и шумов, порождаемых броуновым движением, является скорость передачи информации. Рассмотрим для простоты случай, когда сообщение и шум независимы, т. е. когда . (3.916) Рассмотрим в этом случае функции , (3.917) где γ и σ распределены независимо. Пусть нам известна сумма m (t )+n (t ) в интервале (—А, А ). Сколько у нас тогда информации об m (t )? Заметим, что, по эвристическому суждению, это количество информации не должно слишком отличаться от количества информации о функции (3.918) которым мы располагаем, когда нам известны все значения выражения , (3.919) где γ и σ имеют независимые распределения. Можно, однако, показать, что n -й коэффициент Фурье для выражения (3.918) имеет гауссово распределение, независимое от всех других коэффициентов Фурье, и что его [c.152] среднеквадратическое значение пропорционально величине (3.920) Следовательно, в силу (3.09) полное количество информации об М равно , (3.921) а временная плотность передачи энергии равна этой величине, деленной на 2А . Если А→ ∞, то выражение (3.921) стремится к . (3.922) Именно этот результат и был получен автором и Шенноном для скорости передачи информации в рассматриваемом случае. Как видим, эта величина зависит не только от 147 В частности, можно указать последние статьи д-ра Ю.В. Ли. ширины полосы частот, которой мы располагаем для передачи сообщения, но и от уровня шума. В действительности она обнаруживает прямую связь с аудиограммами, применяемыми для измерения величины слуха и потери его у данного индивидуума. В аудиограмме абсциссой служит частота, ординатой нижней границы — логарифм порога слышимой силы звука (мы можем назвать его логарифмом внутреннего шума принимающей системы), а ординатой верхней границы — логарифм наибольшей силы звука, которую система может пропустить. Площадь между ними, представляющая величину такой же размерности, как выражение (3.922), принимается за меру скорости передачи информации, с которой ухо способно справиться. [c.153] Теория сообщений, линейно зависящих от броунова движения, имеет много важных вариантов. Основными являются формулы (3.88), (3.914) и (3.922), разумеется, вместе с определениями, необходимыми для их понимания. Существует ряд вариантов этой теории. Прежде всего она дает нам наилучший возможный синтез предсказывающих устройств и волновых фильтров в случае, когда сообщения и шумы представляют собой реакции линейных резонаторов на броуновы движения, однако и в значительно более общих случаях она обеспечивает некоторый возможный синтез предсказывающих устройств и фильтров. Последние, правда, не будут иметь абсолютно наилучшей конструкции, но, во всяком случае, позволят свести к минимуму среднеквадратическую ошибку предсказания при использовании линейных устройств. Однако, вообще говоря, найдутся такие нелинейные устройства, которые будут работать лучше, чем любые линейные устройства. Кроме того, выше мы рассматривали простые временные ряды, в которых от времени зависит лишь одна числовая переменная. Существуют также многомерные временные ряды, где несколько таких переменных зависят все вместе от времени; именно многомерные ряды имеют наибольшее значение в экономических науках, метеорологии и т. п. Полная карта погоды Соединенных Штатов, составляемая ежедневно, есть такой временной ряд. В этом случае нам нужно одновременно выразить несколько функций через частоту, причем квадратические величины, такие, как выражение (3.35) или |k (ω)| 2 в рассуждениях после формулы (3.70), заменяются множествами пар величин, т. е. матрицами . Задача определения функции k (ω) через |k (ω)| 2 с выполнением некоторых добавочных условий в комплексной плоскости становится теперь гораздо труднее, особенно ввиду того, что умножение матриц не является перестановочной операцией. Тем не менее задачи, относящиеся к этой многомерной теории, были решены, по крайней мере частично, Крейном и автором. Многомерная теория представляет собой усложнение предыдущей теории. Существует, кроме того, другая близкая теория, которая является ее упрощением. Эта теория предсказания, фильтрации и количества информации в дискретных временных рядах. Такой ряд [c.154] представляет собой последовательность функций f n (α) параметра α, где n пробегает все целочисленные значения от —∞ до ∞. Величина α, как и раньше, служит параметром распределения, и можно по-прежнему считать, что этот параметр изменяется равномерно в интервале (0, 1). Говорят, что временной ряд находится в статистическом равновесии, если замена n на n +v (v — целое число) равносильна сохраняющему меру преобразованию в себя интервала (0, 1), пробегаемого параметром α. Теория дискретных временных рядов во многих отношениях проще теории непрерывных рядов. Гораздо легче, например, свести их к последовательности независимых выборов. Каждый член (в случае перемешивания) можно представить как комбинацию предшествующих членов с некоторой величиной, не зависящей от всех предшествующих членов и равномерно распределенной в интервале (0, 1), и последовательность этих независимых коэффициентов взять вместо броунова движения, столь важного для непрерывных рядов. Если f n (α) — временной ряд, находящийся в статистическом равновесии и метрически транзитивный, то его коэффициент автокорреляции будет равен . (3.923) и мы будем иметь (3.924) почти для всех α. Положим , (3.925) или (3.926) [c.155] Пусть , (3.927) (3.928) и . (3.929) Тогда при очень общих условиях k (ω) будет граничным значением на единичном круге для функции без нулей и особых точек внутри единичного круга; ω является здесь углом. Отсюда (3.930) Если теперь за наилучшее линейное предсказание функции f n (α) с опережением v принимается , (3.931) то . (3.932) Это выражение аналогично выражению (3.88). Заметим, что если положить , (3.933) то (3.934) [c.156] Из нашего способа образования k (ω) видно, что для весьма широкого класса случаев мы вправе положить . (3.935) Тогда уравнение (3.934) принимает вид . (3.936) В частности, при v =1 , (3.937) или (3.938) Таким образом, при предсказании на один шаг вперед наилучшим значением для f n +1 (α) будет ; (3.939) последовательным же предсказанием по шагам мы можем решить всю задачу линейного предсказания для дискретных временных рядов. Как и в непрерывном случае, это будет наилучшим возможным предсказанием относительно любых методов, если . (3.940) Переход от непрерывного случая к дискретному в задаче фильтрации совершается примерно таким же путем. Формула (3.913) для частотной характеристики наилучшего фильтра принимает вид , (3.941) где все члены имеют тот же смысл, что и в непрерывном случае, за исключением того, что все интегралы по ω и u [c.157] имеют пределы от —π до π, а не от — ∞ до ∞ и вместо интегралов по t берутся дискретные суммы по v . Фильтры для дискретных временных рядов представляют собой обычно не столько физически осуществимые устройства для применения в электрической схеме, сколько математические процедуры, позволяющие статистикам получать наилучшие результаты со статистически несовершенными данными. Наконец, скорость передачи информации дискретным временным рядом вида , (3.942) при наличии шума , (3.943) где γ и δ независимы, будет точным аналогом выражения (3.922), а именно: , (3.944) где на интервале (—π, π) выражение (3.945) изображает распределение мощности сообщения по частоте, а выражение (3.946) изображает распределение мощности шума. Изложенные здесь статистические теории предполагают полное знание прошлого наблюдаемых нами временных рядов. Во всех реальных случаях мы должны довольствоваться меньшим, поскольку наши наблюдения не распространяются в прошлое до бесконечности. Разработка нашей теории за пределы этого [c.158] ограничения требует расширения существующих методов выборки. Автор и другие исследователи сделали первые шаги в этом направлении. Это связано со всеми сложностями применения закона Бейеса либо тех терминологических ухищрений теории правдоподобия148, которые на первый взгляд устраняют необходимость в применении закона Бейеса, но в действительности лишь перелагают ответственность за его применение на статистика-практика или на лицо, использующее в конце концов результаты, полученные статистиком-практиком. Тем временем статистик-теоретик может вполне честно утверждать, что все сказанное им является совершенно строгим и безупречным. 148 См. работы Р.А. Фишера и Дж. фон Неймана. В заключение этой главы мы коснемся современной квантовой механики, на которой сильнее всего сказалось вторжение теории временных рядов в современную физику. В ньютоновой физике последовательность физических явлений полностью определяется своим прошлым, и в частности, указанием всех положений и импульсов в какой-либо один момент. В полной гиббсовской теории, при точном определении многомерного временного ряда всей Вселенной, знание всех положений и импульсов в какой-либо один момент также определило бы все будущее. И только вследствие того, что существуют неизвестные, ненаблюдаемые координаты и импульсы, только по этой причине временные ряды, с которыми мы фактически работаем, приобретают своего рода смесительное свойство, с которым мы познакомились в этой главе для случая временных рядов броунова движения. Большим вкладом Гейзенберга в физику была замена этого все еще квазиньютонова мира Гиббса миром, в котором временные ряды совершенно не могут быть сведены к набору детерминированных нитей развития во времени. В квантовой механике все прошлое индивидуальной системы не создает никакого абсолютного определения будущего этой системы, но дает лишь распределение возможных будущих состояний. Величины, которые требуются классической физике для знания всего поведения системы, можно наблюдать одновременно лишь приближенным и нестрогим образом, хотя эти наблюдения и достаточно точны для нужд классической физики в том диапазоне [c.159] точности, в котором экспериментально доказана ее применимость . Условия наблюдения импульса и соответствующего ему положения несовместимы. Для наблюдения положения системы с наибольшей возможной точностью мы должны наблюдать его с помощью световых или электронных волн или аналогичных средств с высокой разрешающей способностью или короткой длиной волны. Однако свет обладает корпускулярным действием, зависящим только от его частоты, и при освещении тела светом высокой частоты количество движения тела изменяется тем больше, чем выше частота. С другой стороны, свет низкой частоты дает минимальное изменение импульса освещаемых частиц, но не имеет достаточной разрешающей способности, чтобы дать резкий отсчет положений. Промежуточные частоты света дают размытый отсчет как положений, так и импульсов. Вообще нельзя придумать системы наблюдений, которая могла бы дать нам достаточно информации о прошлом системы, чтобы получить полную информацию о ее будущем. Тем не менее, как и в случае всех ансамблей временных рядов, изложенная здесь теория количества информации, а следовательно, и теория энтропии сохраняют силу. Но так как мы теперь имеем дело с временными рядами, обладающими свойством перемешивания даже в случае, когда наши данные настолько полны, насколько это возможно, то наша система, очевидно, лишена абсолютных потенциальных барьеров, и с течением времени любое состояние системы может и будет переходить в любое другое состояние. Однако вероятность такого перехода зависит в конечном счете от относительной вероятности или меры данных двух состояний. Последняя оказывается особенно большой для состояний, которые могут быть преобразованы сами в себя большим числом преобразований, т. е. для состояний, которые, на языке квантовой теории, имеют большой внутренний резонанс, или большое квантовое вырождение. Примером может служить бензоловое кольцо, так как здесь оба состояния эквивалентны: [c.160] Это наводит на следующую мысль. Пусть дана система, в которой составные части могут различными способами близко соединяться друг с другом, как в случае смеси аминокислот, организующейся в белковые цепи, тогда ситуация, при которой многие из этих цепей одинаковы и проходят через стадию тесной связи между собой, может оказаться более устойчивой, чем ситуация, при которой они различны. Холдэйн предположил, что именно таким путем воспроизводят себя гены и вирусы, и хотя он не подтвердил своего предположения окончательными доказательствами, я не вижу причин, почему не принять его как пробную гипотезу. Как указал сам Холдэйн, поскольку в квантовой теории ни одна частица не имеет совершенно четкой индивидуальности, можно сказать лишь приблизительно, какой из двух экземпляров гена, воспроизведшего себя таким образом, является оригиналом и какой — копией. Это явление резонанса, как известно, очень часто встречается в живом веществе. Сент- Дьёрдьи указал на его значение в конструкции мышц. Вещества с большим резонансом обычно обладают ненормально большой способностью запасать энергию и информацию, а такое ненормально большое запасание, бесспорно, имеет место при мышечном сокращении. Эти же явления, участвующие в воспроизведении, имеют, вероятно, отношение и к чрезвычайной специфичности химических веществ, обнаруживаемых в живых организмах, не только по отношению к разным видам, но даже по отношению к особям одного вида. Соображения такого рода могут иметь большое значение в иммунологии. [c.161] |