Конспект лекций по дисциплине Контроль и управление техническими системами для бакалавров и магистров направления 150400
 Скачать 5.27 Mb.
|
|
P X a) Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 P X X X X B 1 B 4 B 2 B 3 B 5 б) Рис. 6. Типы структур - 17 - приближаются к сетевым. Кластерные вычислительные комплексы, мультипроцессорные суперкомпьютеры, распределенные системы автоматики можно представить в виде очень развитых сетевых структур. Радиостанция и связанные с ней на фиксированной частоте приемо- передатчики — типичная ядерная структура. Еще один тип структур часто встречается при реализации управления. Это иерархические структуры, в которых одни элементы содержат в себе другие, последние, в свою очередь включают следующие элементы, образуя «матрешку». Число ступеней в такой иерархии (уровень вложенности) может быть достаточно большим, однако, с увеличением числа ступеней структура становится все более и более слабой и может быть разрушена изнутри. Хотя структуры, как уже было сказано в начале лекции, наиболее прочное образование в объекте, тем не менее они тоже подвержены изменениям во времени. По поведению структуры во времени различают следующие типы структур: стабильные — число связей и элементов не меняется во времени. Вследствие старения или износа элементов качество структуры снижается (примеры: машина, человек). развивающиеся — количество связей и (или) элементов изменяется. В зависимости от изменений выделяют: интенсивные структуры, в которых сила (мощность) связей каждого элемента увеличивается со временем, качество структуры повышается; редуцирующие структуры, в которых количество элементов уменьшается при сохранении силы (мощности) связей между элементами объекта, качество структуры при этом или сохраняется, или слегка повышается; деградирующие структуры, в которых с течением времени уменьшается сила (мощность) связей элементов с другими элементами объекта, что, в соответствии с выводами предыдущей лекции, приводит к потере элементов и постепенному разрушению объекта. Четвертое системообразующее свойство объекта — наличие интегративного качества. Термин «интегративный» происходит от латинского integrate — объединять. Интегративное качество — это такое качество, которое присуще только объекту в целом, но не свойственно ни одному из его элементов в отдельности. Это новое качество, которое возникает у объекта, когда все его элементы соединены связями в единое целостное образование. Представим ситуацию: на стенде станина рабочей клети, рядом валки, подушки, разобранное нажимное устройство, трансмиссии, невдалеке двигатель и еще масса различных деталей и узлов. А теперь все это соберем в соответствии со сборочным чертежом и установим в линию стана. Появилось новое качество объекта — деформировать, прокатывать металл. Объект, у которого установлены четыре системообразующих свойства, будем в дальнейшем называть системой. Элементы этого объекта, для которых также определены эти четыре свойства, — подсистемами. Создание моделей, обеспечивающих адекватное описание объекта, базируется на системном подходе. В основе системного подхода к - 18 - моделированию лежит рассмотрение объекта моделирования как системы. Это означает, что инженер, осуществляющий моделирование, должен раскрыть целостность и членимость объекта, проанализировать все многообразие связей и выделить среди них существенные, представить структуру и обнаружить интегративное качество. Общий порядок моделирования можно представить следующим образом: 1. формулировка цели моделирования; 2. анализ объекта моделирования как системы, создание системной модели; 3. переход от системной модели к конструктивной, количественной; 4. испытания модели и интерпретация результатов. Первый шаг определяет и вид модели, и аппарат моделирования. Понятно, что модель стана для определения экономических показателей его работы будет отличаться от модели стана для оценки возможности выпуска более тяжелого вида проката. В первом случае внимание будет направлено на расход энергии и материалов, скорости прокатки, частоту и сложность ремонтов и обслуживания. Во втором случае нужно будет оценить прочностные характеристики, резервы мощности, возможность использования новых калибровок. На втором шаге устанавливают границу между объектом моделирования и внешней средой, анализируют потоки вещества, энергии и информации через границу из внешней среды в объект и из объекта во внешнюю среду, определив тем самым входной и выходной процессы. Исходя из теоретических представлений выдвигают гипотезы о состоянии Расчленив объект на элементы и определив существенные связи , конструируют структуру и формулируют интегративное свойство объекта. Этот шаг носит, в основном, описательный характер в терминах предметной области. Полученное описание называют системной моделью объекта . При его выполнении стремятся обеспечить как можно более широкий охват свойств и характеристик объекта. На этом шаге принимают решение о степени детализации модели и определяют средства, необходимые для моделирования. На третьем шаге, исходя из цели моделирования, осуществляют усечение множеств, относящихся к входному, выходному процессам и состоянию. Устанавливают количественные характеристики связей , оценивают их существенность и принимают решение о включении элементов объекта в модель. Исходя из теоретических представлений о состоянии конструируют операторы, связывающие входные воздействия и состояние, а также зависимости выходных процессов от состояния. Модель на этом шаге приобретает количественный характер. Такую модель, в дальнейшем, будем называть конструктивной. Конструктивная модель — это такая модель, которая по количественному описанию состояния системы в момент времени t 0 и входного процесса на отрезке времени [ t 0 , t] , позволяет для любого момента времени t t 0 получить количественную оценку текущего состояния и выходного процесса. Состояние системы в момент времени t 0 называют начальным - 19 - состоянием. Обозначим его Z 0 , фрагмент входного воздействия отрезке времени [ t 0 , t] обозначим P [ t 0 , t] , текущее состояние — Z t . Тогда общий вид оператора, показывающего как под воздействием фрагмента входного процесса P [ t 0 , t] система из состояния Z 0 переходит в состояние Z t будет выглядеть следующим образом: Z t = [ t ; t 0 , Z 0 , P [ t 0 , t]] Выходной процесс в момент времени t обозначим X t . Обычно он просто выражается через текущее состояние: X t = [ t ;Z t ] Операторы [ t i ; t i−1 , Z i−1 , P[ t i−1 , t i ]] и [ t i ;Z i ] называют, соответственно, оператором перехода и оператором выхода. Оператор перехода показывает, как в результате входного воздействия система переходит из предыдущего состояния в новое состояние. Оператор выхода связывает текущее состояние выхода с текущим состоянием системы. Оператор перехода, в общем случае, имеет весьма сложную конструкцию. Это могут быть алгоритмы решения систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, конечно- разностные и конечно-элементные алгоритмы, аналоговые устройства, специализированные процессоры. В математических моделях наиболее часто оператор перехода представляется определенным интегралом, вычисленным на отрезке [ t i−1 , t i ] . Но в любом случае, оператор перехода всегда удовлетворяет трем аксиомам [8]: 1. Аксиома согласованности. Для любых t∈T , z∈ Z и p.∈ P . выполняется равенство [ t ;t , z , p .]= z Здесь множество P . — допустимый фрагмент входного процесса, а p. — компонент этого множества. Эту аксиому можно трактовать так: Система в любой фиксированный момент времени может находиться в одном и только в одном состоянии. 2. Аксиома ассоциативности. Для любых t 0 ⩽ t 1 ⩽ t 2 , t i ∈ T , z 0 ∈ Z , z 1 ∈ Z и p.∈ P . выполняется равенство [ t 2 ; t 0 , z 0 , p.]= [ t 2 ; t 1 , [t 1 ; t 0 , z 0 , p.] , p .]= [ t 2 ;t 1 , z 1 , p .] При моделировании это понимается так: Любой момент времени, для которого известно состояние, может быть выбран в качестве начального. 3. Аксиома причинности. Для любых t 0 ∈ T , t∈T , z 0 ∈ Z , p.∈ P . и p.∈ P . таких, что p.=p. выполняется равенство [ t ;t 0 , z 0 , p.]= [ t ;t 0 , z 0 , p.] , - 20 - то есть, никакие входные воздействия после момента времени t не изменят состояние системы в момент t . Иначе говоря, настоящее не зависит от будущего. Оператор выхода значительно проще. Это либо обыкновенные алгебраические выражения, либо просто компоненты состояния, определенные на границе системы с внешней средой. Примеры: сила осадки (выход), равна произведению нормального напряжения (состояние) на площадь контакта бойка с поковкой (состояние); тепловой поток от нагретой заготовки (выходной процесс) при конвективном теплообмене пропорционален температуре поверхности заготовки (состояние на границе); частота вращения вала двигателя (выход) равна частоте вращения ротора (состояние). Таким образом, для любой системы (технической или технологической) связь между входом (входным процессом) и выходом (выходным процессом) определена тройкой 〈 , Z , 〉 . Эта тройка предложена для описания системы Р. Калманом и в литературе именуется триадой Калмана. Определив множество Z и сконструировав операторы перехода и выхода получим конструктивную модель системы. Нетрудно заметить, что для корректного функционирования модели нужно еще назначить множество времени T и начальное состояние. Операторы перехода и выхода не обязательно должны быть Рис. 7. Объект и модель - 21 - математическими объектами. Это могут быть устройства, приборы, измерительные системы. Общее требование, что они должны обладать количественными свойствами, их действия должны представляться в количественной форме. С этой целью в практике физического моделирования используют первичные преобразователи информации — датчики. На четвертом шаге осуществляется испытание модели и интерпретация полученных результатов. К сожалению, подвергнуть модель реальному входному воздействию редко представляется возможным. Вместо реального входного воздействия используется его модель, то есть, реальные потоки вещества, энергии и информации заменяются изображением или математическим описанием P м (рис. 7). В ряде случаев, изображение может даже иметь другую физическую природу. Например, поток жидкости в канале может быть представлен электрическим током, напряжения на контактной поверхности при осадке — формой песчаной насыпи или электрическими потенциалами на электропроводной бумаге. Входные воздействия могут быть масштабированы к размеру модели объекта в соответствии с законами подобия. Вместо реальных непрерывных потоков могут быть использованы дискретные точечные значения. Чтобы сократить число опытов при испытаниях прибегают к использованию методов планирования эксперимента. Все это приводит к тому, что вместо реального выходного процесса исследователь получает лишь его описание, изображение X м (рис. 7). Для того чтобы перейти обратно к реальному объекту потребуется интерпретировать полученные результаты, расшифровать их. Иногда это может быть достаточно легко. Например, при моделировании осадки поковки между плоскими бойками с целью определения силы можно осадить геометрически подобный образец уменьшенного размера из того же материала и при той же температуре. Полученную на образце силу осадки можно пересчитать к реальному объекту. Нетрудно грубо оценить, что сила осадки будет пропорциональна квадрату масштаба. Если размеры образца уменьшены в 10 раз по сравнению с объектом, то сила осадки реального объекта будет превышать модельную в 100 раз. На самом деле, интерпретация может оказаться значительно сложнее. Дополнительно будут сказываться и скорость осадки, и условия теплообмена, наличие или отсутствие смазки, шероховатость бойков и масса других факторов, которые очень трудно учесть при моделировании. Проблема интерпретации результатов моделирования является одной из самых трудных в исследовательской практике. Из одного и того же результата, полученного при моделировании, могут быть сделаны прямо противоположные выводы. Снизить риск неверной интерпретации позволяет глубокое понимание существа моделируемого объекта и его взаимодействия с внешней средой. Дополнения: С. Лем — модель, это лестница, приставленная к горе. Позволяет достичь цель — вершину, но мало похожа. Много маленьких лестниц, повторяющих часть поверхности горы - уже ближе. Системотехника не доискивается до истин, но строит модели. Модель - 22 - эксплуатируют, пока она не входит в противоречие с действительностью. В противном случае ее корректируют или заменяют совсем. Примеры: закон всемирного тяготения — коррекция, флогистон — замена. 1.2. Моделирование структуры. Графы При моделировании структуры технических систем нашел широкое применение аппарат теории графов. Обозначим множество элементов моделируемой системы M={m 1 , m 2 , ... m k }, множество связей между ними F={f 1 , f 2 , ... f n }. Нетрудно догадаться, что каждая связь соответствует одной паре элементов, то есть, множество F является подмножеством множества всех возможных пар элементов, принадлежащих M. Множество всех пар, составленных из элементов двух множеств M и N называют декартовым произведением этих множеств и обозначают M×N M={m 1, m 2, ...,m k } , N={n 1, n 2, ...,n r } , M×N={{m 1, n 1 } ,{m 1, n 2 } , ...,{m 1, n r } ,{m 2, n 1 } ,... ,{m k ,n r } ,}. Следовательно, F⊂M×M , где M×M={{m 1, m 1 } , {m 1, m 2 } , ...,{m 1, m k } , {m 2, m 1 } , ...,{m k ,m k } ,}. В теории графов множество M называют множеством вершин, а F - множеством дуг и говорят, что множество дуг — подмножество квадрата (M 2 ) множества вершин. Нужно заметить, что в общем случае пары {m i , m j } и {m j , m i } различны. При моделировании это понимают так: первая в паре вершин порождает связь (поток энергии, вещества или информации выходит из нее), вторая в паре вершина принимает связь (поток вещества, энергии или информации входит в нее), m 2 зависит от m 1 . Первая вершина — донор, вторая — акцептор. Кроме того, любой элемент может образовать пару с самим собой {m i , m i }. Это означает, что часть вещества, энергии или информации с выхода элемента снова направлена на его вход, образует петлю. Клеть линейного стана в прокатных цехах, автомат- стан в трубных цехах являются хорошими примерами таких элементов. Неоднородное множество G= 7 образует петлю. - 23 - Внешние входы объекта моделирования на схеме не показаны. Плоская схема является наглядным и удобным способом представления графа при небольшом количестве вершин и связей, но она пригодна лишь для иллюстрации. Анализ модели и интерпретация результатов при таком представлении существенно затруднены и сводятся к поиску простых субструктур — циклов и контуров, окрестностей и характеристик симметрии. Программный анализ графов, представленных плоскими схемами, на современном этапе развития информационных технологий не представляется возможным и эффективным. Граф, для дуг которого определено направление называют ориентированным. Неориентированным называют граф, у которого ни для какой дуги не определено направление. При представлении графа списками каждой вершине графа сопоставляется список зависимых вершин. Так, графу на рисунке 8, а соответствует такие пять списков {{m 1 : m 2 , m 3 }, {m 2 : m 1 ,m 4 }, {m 3 : m 1 , m 4 , m 5 }, {m 4 : m 2 , m 3 , m 5 }, {m 5 : m 3 , m 4 }}, а графу рис. 8, б — {{m 1 : m 2 }, {m 2 : m 4 }, {m 3 : m 1 }, {m 4 : m 3 , m 5 }, {m 5 : m 3 , m 5 }}. Списки представляют собой весьма специфические подмножества множества вершин и в ряде случаев доступны для компьютерного анализа, поскольку современные программные средства имеют развитые возможности работы с множествами. Однако, такой анализ все еще сопряжен с большими сложностями при подготовке данных и интерпретации результатов. Наиболее приспособленным для компьютерного анализа является представление графов матрицами смежности и инцидентности. Введем несколько новых определений. Понятие смежности: вершины m i и m j — смежные, если вершина m j зависит от m i , то есть, связь порождена вершиной m i (выходит из нее) и действует на вершину m j . Если связь не имеет направления (нейтральная связь), то из смежности вершин m i и m j следует смежность вершин m j и m i . В случае направленных связей такое возможно лишь при наличии обратной связи или контрсвязи. Понятие инцидентности относится к отношениям между вершинами и связями. Связь f инцидентна вершине m, если она порождена этой вершиной, выходит из нее. Связь коинцидентна вершине m, если она m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 а) б) m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 Рис. 8. Плоская схема а) неориентированный граф, б) ориентированный граф. |