Конспект лекций по дисциплине Контроль и управление техническими системами для бакалавров и магистров направления 150400
 Скачать 5.27 Mb.
|
|
2.2. Динамика САР Элементарное динамическое звено. В основе всех динамических явлений, протекающих при работе САР лежит одно важнейшее свойство — инерционность. Оно определяет как быстро будет изменять свое состояние объект при одном и том же воздействии. Например, изменение скорости v тела при воздействии силы F (прямолинейное движение) dv dt = F m , (4.5) или частоты ω при приложении момента сил M (вращение) d dt = M I (4.6) будет различным в зависимости от массы m или момента инерции I. Таким образом, масса и момент инерции определяют инерционность движущегося тела в механике (рис. 28, а, б). Уравнения 4.5 и 4.6 в механике носят название «уравнения движения». Это понятие мы будем применять и к другим моделям изменения состояния системы в результате входного воздействия. Аналогично, инерция электрических цепей определяется величинами емкости и индуктивности (рис 29, а, б). В гидравлических и пневматических системах подобную роль играют промежуточные резервуары и ресиверы. Изменение выхода в этих цепях описывается более сложными уравнениями движения. Инерционность может проявляться иначе. Например, входное воздействие может вызывать изменение выхода спустя некоторый промежуток времени, например, изменение потока вещества на выходе ленточного транспортера длиной l, движущегося со скоростью v произойдет через τ= l v секунд после изменения подачи вещества на входе (рис. 30). F v m v v 0 t m 1 m 4 m 1 < m 2 < m 3 < m 4 m 2 m 3 M ω ω ω 0 t I 1 I 4 I 1 < I 2 < I 3 < I 4 I 2 I 3 Рис. 28. Инерционность объектов управления а — поступательное движение, б — вращение. - 69 - У некоторых элементов инерционность может быть пренебрежимо малой, у других — очень большой. Понятно, что такие элементы будут вести себя в системах автоматики по-разному. Поэтому, в зависимости от инерционности, при анализе систем автоматического регулирования выделяют несколько типов элементарных динамических звеньев. Будем при дальнейшем обсуждении использовать условное изображение динамического звена, приведенное на рисунке 31. На входе у него сигнал u(t) , на выходе — x(t ) Очень часто инерционностью отдельных звеньев можно пренебречь по сравнению с инерционностью других звеньев САР. Например, пренебрегают инерционностью электронного усилителя в системе с наличием механических, пневматических и гидравлических элементов. Однако, в системе, содержащей только электронные компоненты, такое пренебрежение может привести к грубым ошибкам. Иногда изготавливают специальные u e u o R C u e u o R L u u e t C 1 C 1 < C 2 < C 3 C 3 u o u u e t L 1 L 1 < L 2 < L 3 L 3 u o б) а) Рис. 29. Инерционность электрических цепей а — цепь с конденсатором (с емкостью), б — цепь с индуктивным элементом. ЭДЗ u(t) x(t) Рис. 31. Элементарное динамическое звено v l Рис. 30. Ленточный транспортер - 70 - «облегченные» конструкции, обладающие малой инерционностью, для использования в приборах и цепях обработки информации. Это, например, мотор Варрена — миниатюрный приборный асинхронный двигатель, ротор которого изготовлен в виде фольгового стаканчика. При анализе функциональных схем для описания таких звеньев используют идеализацию «идеальное безынерционное звено». Уравнение движения для безынерционного звена записывается наиболее просто x t=k п ⋅ ut . (4.7) Здесь k п — коэффициент передачи, он численно совпадает с коэффициентом усиления линейной статической характеристики такого звена. При нелинейной статической характеристике обычно используется некоторое условное усредненное значение этого коэффициента. Уравнение 3.7 показывает, что любое изменение сигнала на входе звена мгновенно производит пропорциональное изменение сигнала на выходе. Поэтому это звено часто называют пропорциональным. Более сложный случай имеет место, если скорость изменения выходного сигнала пропорциональна сигналу на входе. Учитывая, что скорость — это первая производная по времени, запишем уравнение движения: dx t dt = k и ⋅ u t. (4.8) Звено с таким уравнением движения называется «идеальным интегрирующим звеном». Действительно, при предположении о нулевом начальном условии x 0=0 , сигнал на выходе этого звена x t пропорционален интегралу от входного сигнала ut x t=k и ⋅ ∫ 0 t u d . (4.9) Коэффициент передачи идеального интегрирующего звена k и при одинаковой размерности сигналов на входе и выходе звена имеет размерность, обратную размерности времени. Поэтому вместо k и принято использовать размерную величину 1 T и . Величину T и имеющую размерность времени называют «постоянная времени идеального интегрирующего звена». Если размерности сигналов на входе и выходе различны, то вместо k и в уравнениях 4.8 и 4.9 используют отношение k м T и , в котором k м — переводный коэффициент для согласования размерностей, а T и — постоянная времени. T и dx t dt = k м ⋅ ut , (4.8а) x t= k м T и ⋅ ∫ 0 t u d . (4.9а) Звено, у которого выходной сигнал пропорционален скорости изменения входного, называют «идеальным дифференцирующим звеном». Уравнение движения для него достаточно просто: x t=⋅ dut dt (4.10) Коэффициент имеет размерность времени и называется «постоянная времени идеального дифференцирующего звена». - 71 - Еще одно идеальное звено носит название — «звено чистого запаздывания». Сигнал, поступивший на вход этого звена, оказывается на его выходе без изменения через определенный промежуток времени Постоянная называется постоянной запаздывания. В литературе иногда такое звено называют звеном «транспортного запаздывания» (рис. 30). Его уравнение движения xt = { 0, t , ut−, t . (4.11) Кроме идеальных звеньев при анализе САР используют «не идеальные». Это «апериодическое звено», называемое также «интегрирующее звено первого порядка» и «интегрирующее звено второго порядка». Модель движения таких звеньев может быть построена путем соединения идеальных интегрирующих и пропорциональных. Однако, учитывая их распространенность и практическую значимость, предпочитают выделять эти звенья в отдельную группу со своими уравнениями движения, что позволяет существенно упростить моделирование САР. Уравнение движения апериодического звена имеет несколько вариантов записи. Наиболее общую форму имеет такой вариант: T хa ⋅ dx(t ) dt + k xa x (t)=k ua ⋅ u(t) (4.12) Значения постоянной времени T xa , коэффициентов передачи k xa и k ua определяются характеристиками конкретного звена. При k xa = 0 уравнение движения 4.12 превращается в уравнение идеального интегрирующего звена (см. 4.8а), при T xa 0 превращается в уравнение безынерционного звена 4.7. Ниже, на примере простого объекта регулирования, мы рассмотрим способы определения постоянной времени и коэффициентов передачи апериодических звеньев. Уравнение движения интегрирующего звена второго порядка обычно представляют так: - 72 - T ии 2 ⋅ d 2 x(t) dt 2 + 2T ии ⋅ξ⋅ dx (t) dt + k хии x(t )=k uии ⋅ u(t ) (4.13) Здесь T ии — постоянная времени, — коэффициент затухания, k хии и k uии — коэффициенты передачи. Закон изменения выхода звена x t при известном входном воздействии ut называется переходным процессом. Часто в качестве характеристики элементарного динамического звена используется переходная функция — переходный процесс, возникающий при подаче на вход звена единичного тестового сигнала: ut = 0, t0, 1, t0. (4.14) На рисунке 32 приводится вид переходных функций для апериодического звена при разных значениях коэффициентов передачи. Поведение звена считается устойчивым, если его выходной сигнал стабилизируется с течением времени, то есть, производная dx t dt сходится к нулю (рис. 32 а, б) при t ∞ и неустойчивым, если выходной сигнал неограниченно возрастает (рис. 32, в, г) при t ∞ u(t) x(t) t 0 1 k xa =1, k ua =1. а) u(t) x(t) t 0 1 k xa =-1, k ua =1. u(t) x(t) t 0 1 k xa =1, k ua =-1. u(t) x(t) t 0 1 k xa =-1, k ua =-1. б) в) г) Рис. 32. Переходные функции апериодического звена а, б — устойчивое поведение, в, г — неустойчивое поведение. - 73 - На рисунке 33 показаны примеры переходных функций для интегрирующего звена второго порядка. В зависимости от значения коэффициента затухания ξ возможно несколько вариантов поведения звена. При 0 реализуется затухающий переходный процесс, при =0 консервируются незатухающие колебания и при 0 процесс расходится с быстро возрастающей амплитудой. Малые значения коэффициента затухания 00,5 приводят к появлению перерегулирования: значение контролируемого параметра выходит (перескакивает) за заданное значение (рис. 33, а). Максимальная величина такого отклонения носит название «динамический заброс». Эффект от такого явления может быть весьма неблагоприятным. При 1 звено переходит в устойчивое состояние при отсутствии колебаний (рис. 34). Переходная функция такого звена похожа на переходную функцию апериодического звена (показана пунктирной линией) при одном весьма существенном отличии: начало переходного процесса апериодического звена происходит с разрывом производной, что приведет к ударам при работе механических сочленений, переходный процесс в звене 2-го порядка начинается плавно, без удара. Порядок конструирования уравнения движения и определения постоянных времени и коэффициентов передачи рассмотрим на примере уравнения движения для широко используемого в цехах ОМД электродвигателя постоянного тока средней мощности нагруженного технологической нагрузкой (рис. 35). Объект регулирования — частота вращения вала двигателя ω, управляющее воздействие — ток якоря i, нагрузка — момент прокатки M п u(t) x(t) t 0 1 k xии =1, k uии =1, ξ=0,2. а) u(t) x(t) t 0 1 k xии =1, k uии =1, ξ=0. б) u(t) x(t) t 0 1 k xии =1, k uии =1, ξ=-0,05. в) Рис. 33. Переходные функции интегрирующего звена 2-го порядка а — устойчивое звено (затухающие колебания), б — колебательное звено (незатухающие колебания), г — неустойчивое звено с возрастающей амплитудой колебаний. u(t) x(t) t 0 1 k xии =1, k uии =1, ξ=1. Рис. 34. Устойчивое звено 2-го порядка (красная линия) в сравнении с апериоди- ческим звеном (пунктирная линия) - 74 - Для упрощения рассуждений, что принципиально не влияет на порядок вывода уравнения, положим, что регулирование осуществляется без изменения магнитного потока. Тогда момент M д , развиваемый двигателем, будет определяться величиной тока якоря и частотой вращения. Зависимость момента M д = M д i, от этих параметров приводится в паспортах двигателей (рис. 36). Обычно известны номинальный момент двигателя M дн и номинальная частота вращения ω н при номинальной величине тока якоря i н . Предположим, что грамотные инженеры- прокатчики правильно выбрали двигатель в соответствии номинальным моментом прокатки M пн , то есть, M пн = M дн и ведут прокатку при номинальной частоте вращения. Для упрощения пренебрежем зависимостью момента прокатки от всех технологических параметров кроме величины относительного обжатия η, M п = M п Рассмотрим вывод уравнения движения объекта регулирования при следующих условиях: в начальный момент времени (t=0) система находилась в номинальном состоянии, то есть, при номинальной нагрузке (M п =M пн , η=η н ) и номинальной величине тока i н двигатель вращался с номинальной М д М дн i i н ω н ω а) М д М дн i i н ω н ω б) Рис. 36. Зависимость момента двигателя от величины тока i (а) и частоты вращения ω (б) М д М п Рис. 35. К выводу уравнения движения ω - 75 - частотой ω н . В этот момент резко увеличили силу тока i и, соответственно, резко возрос момент M д , развиваемый двигателем. Частота вращения вала двигателя ω начнет возрастать. Угловое ускорение, в соответствии с законами механики, будет пропорционально добавке момента I⋅d dt = M д − M п (4.15) Здесь I — момент инерции вращающихся деталей: якоря двигателя I я , трансмиссии I т , валка I в и приведенного к валу двигателя момента инерции прокатываемой полосы I пп I=I я I т I в I пп (4.16) Зависимость момента двигателя от величины тока и частоты вращения нелинейна (рис. 36). Линеаризуем эту зависимость в окрестности номинальной точки используя разложение в ряд Тейлора и ограничившись линейной частью разложения: M д = M д i н , н ∂ M д ∂ i | i=i н = н i−i н ∂ M д ∂ | i=i н = н − н (4.17) Аналогично представим момент прокатки: M п = M п н ∂ M п ∂ | = н − н (4.18) Учитывая грамотность прокатчиков M п н = M пн = M дн = M д i н , н , уравнение 4.15 можно переписать в виде I⋅ d dt = ∂ M д ∂ i | i=i н = н i−i н ∂ M д ∂ | i=i н = н − н − ∂ M п ∂ |= н − н (4.19) Следующим шагом осуществим переход к безразмерным величинам. В уравнении 4.19 оставим размерным только время t, поскольку регулирование и управление всегда осуществляются в реальном времени. Характерными величинами для перевода выберем номинальные значения M дн , i н , н и н I M дн ⋅ d dt = ∂ M д M дн ∂ i−i н i н | i=i н = н i−i н i н ∂ M д M дн ∂ − н н | i=i н = н − н н − ∂ M п M дн ∂ − н н | = н − н н При переходе к безразмерным величинам воспользовались линейностью производных и дифференциалов, а также тем обстоятельством, что дифференциал от константы равен нулю, то есть, например, ∂ i−i н =∂ i Левую часть уравнения, воспользовавшись свойствами дифференциала, представим в виде: I M дн ⋅ d dt = I н M дн ⋅ d − н н dt Учитывая физический смысл и размерность переменных введем обозначения: M д = M д M дн — момент - 76 - двигателя в безразмерном виде, M п = M п M дн — момент прокатки в безразмерном виде, T= I н M дн — постоянная времени, x= − н н , x=0 при = н — выход звена (контролируемый параметр в безразмерной форме), u= i−i н i н , u=0 при i=i н — управляющее воздействие, и , наконец, f = − н н , f =0 при = н — величина нагрузки, приведенная к безразмерному виду. После подстановки введеннх обозначений уравнение движения будет выглядеть значительно проще: T⋅ dx dt = ∂ M д ∂ u | u=0 x=0 ⋅ u ∂ M д ∂ x | u=0 x=0 ⋅ x− ∂ M п ∂ f | f =0 ⋅ f (4.19а) Обозначив числовые значения частных производных из правой части уравнения, вычисленные в рабочей точке, новыми переменными, представим уравнение 4.19а в окончательном виде: T⋅ dx dt − k x ⋅ x =k u ⋅ u−k f ⋅ f . (4.20) Сравните результат с 4.12! Если положить, что относительное обжатие постоянно и равно номинальному, то f=0 и в правой части 4.20 останется только слагаемое, содержащее управляющее воздействие — относительное отклонение величины тока якоря от номинального значения: T⋅ dx dt − k x ⋅ x =k u ⋅ u. (4.20а) Если положить, что изменяется только величина нагрузки, а ток якоря остается постоянным и равным номинальному, то уравнение движения будет содержать в правой части влияние изменения нагрузки: T⋅ dx dt − k x ⋅ x =−k f ⋅ f . (4.20б) Таким образом, рассматриваемый объект — электродвигатель с технологической нагрузкой, представляется двумя апериодическими звеньями (рис. 37). Коэффициенты k u и k f назыв ают, соответственно, коэффициентом передачи по управлению и коэффициентом передачи по нагрузке. В зависимости от конструкции машины постоянная времени T, коэффициенты передачи k u и k f могут изменяться в широком диапазоне значений. Нагрузка Управление |