Конспект лекций по дисциплине Контроль и управление техническими системами для бакалавров и магистров направления 150400

• Название: Конспект лекций по дисциплине Контроль и управление техническими системами для бакалавров и магистров направления 150400
• Дата: 26.11.2022
• Размер: 5.27 Mb.
• Имя файла: Lekcii.pdf
• Тип: Конспект лекций; #813165
• страница: 9 из 11

Раздел 5. Элементы цифровой автоматики
1. О содержании раздела
Краткий план
1. Логические переменные. Элементарные логические операции.
Логические функции. Реализация логики на транзисторах в режиме ключа. Арифметические операции на элементарной логике.
Алгебраические преобразования. Правила алгебры логики.
2. Представление логических функций: алгебраические выражения, таблицы состояния, карты Карно (Вейча). Упрощение логических функций. Упрощенное табличное представление (таблицы Эйкена).
Упрощение логических функций с помощью карт Карно.
3. Управление семисегментным индикатором десятичных цифр.
4. Микропроцессор. Программируемые логические контроллеры.
Преимущества и недостатки цифровой автоматики.
5. Литература:
1. Автоматизация типовых технологических процессов и установок: Учебник для Вузов/ АМ. Корытин, Н.К. Петров, С.Н
Радимов, Н.К Шапарев. — 2-е изд., перераб и доп, — М.:
Энергоатомиздат, 1988. — 432 с.: ил.
2. Шалыто А.А. Логическое управление: Методы аппаратной и программной реализации алгоритмов, — СПб.: Наука, 2000. —
780 с.: ил.
3. Густав Олссон, Джангуидо Пиани: Цифровые системы автоматизации и управления. — СПб.: Невский диалект, 2001.
— 557 с.: ил.
4. Электротехническая энциклопедия. http://subscribe.ru/catalog/tech.electrotech и др.
2. Основная терминология
Под термином «цифровая автоматика» понимают ту часть дискретных автоматических (автоматизированных) устройств, в которой используется цифровое представление сигналов при передаче и переработке информации, полученной от датчиков, а также информации о настройках
— «уставках». При сопряжении такой автоматики с аналоговыми устройствами обычно используют преобразование сигналов с помощью
ЦАП и АЦП. В современных системах основные вычислительные процедуры и реализация управляющих алгоритмов осуществляются программируемыми логическими контроллерами (ПЛК). ПЛК строятся на базе микропроцессорного ядра и по структуре похожи на обычное микропроцессорное вычислительное устройство со всеми его необходимыми составляющими — оперативной и энергонезависимой памятью, развитой системой прерываний, интерфейсами разного типа и назначения. Основное отличие ПЛК от компьютера заключается в расширенных возможностях выполнения логических операций и функций логического управления. Коротко рассмотрим основные термины, которые будут использоваться в дальнейшем изложении. Логической
переменной будем называть переменную, которая может принимать одно из двух альтернативных значений. Набор, содержащий оба

- 96 - альтернативных значения, называют полным или универсальным множеством. Это например, такие множества: {0,1}, {False, True},
{«Выключено», «Включено»}, {«Закрыто», «Открыто»} и тому подобное.
Переменные, принимающие значения из этих множеств, будем обозначать малыми латинскими буквами (x, y, z ..) или малыми латинскими буквами с индексами (
x
0,
x
1
,.., x
k
,
y
0,
y
1,
). В системах автоматики логические переменные генерируются двухпозиционными элементами — путевыми выключателями, транзисторами, работающими в режиме ключа, дискретными датчиками, аналого-цифровыми преобразователями. Значения этих переменных могут быть сохранены для обработки путем записи на магнитные, оптические, электронные носители информации. При записи сохраняется альтернативный характер представления переменных.
Это, например, два альтернативных направления вектора намагниченности области на магнитном диске или вектора поляризации отраженного от оптического носителя лазерного луча, наличие проводимости или высокого сопротивления элемента в энергонезависимой памяти. При обработке информации из такой записи аппаратными способами сохраненные значения вновь представляются двумя уровнями сигнала электрической или другой природы. В общем случае в цифровых системах принято состояние сигнала представлять множеством {0,1}, причем, как правило, 0 соответствует низкому уровню сигнала, а 1 — высокому.
Между логическими переменными могут существовать отношения эквивалентности, обозначаемые знаком равенства «=». Над переменными определены три логических операции:
логического сложения
(дизъюнкции), логического умножения (конъюнкции) и отрицания
(инверсии). В тех случаях когда не возникает неопределенности выбора между логическими и арифметическими действиями, например, в документе, не содержащем формул с арифметическими выражениями будем использовать для логических операций привычные обозначения:
«+» для сложения и «·» для умножения. Инверсию будем обозначать знаком «¯» над символом логической переменной. В тех случаях, когда в документе существуют и арифметические и логические действия будем использовать
∨
для дизъюнкции и
∧
для конъюнкции. В ряде случаев используются обозначения «ИЛИ» («OR») для логического сложения, «И»
(«AND») для умножения и «НЕ» («NOT») для отрицания. Результаты каждой из операций (отношения эквивалентности) определены следующими таблицами истинности:
инверсия дизъюнкция конъюнкция
x
y=x
x
1
x
0
y= x
1

x
0
x
1
x
0
y= x
1
⋅
x
0 0
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
1 1
0 1
0 1
0 1
1 0
0 1
1 1
1 1
1
Из этих отношений однозначно вытекают следующие законы, называемые

- 97 - законами логики:
Закон универсального множества:
x1=1 ;
x⋅1=x.
Закон нулевого множества:
x0=x ;
x⋅0=0 .
Закон двойного отрицания:

x=x .
Закон дополнения до полного множества:
xx=1;
x⋅x=0.
Закон двойственности:
x
1

x
0
=
x
1
⋅
x
0
;
x
1
⋅
x
0
=
x
1

x
0
Закон тавтологии:
xx=x ;
x⋅x=x .
Коммутативный (переместительный) закон:
x
1

x
0
=
x
0

x
1
;
x
1
⋅
x
0
=
x
0
⋅
x
1
Ассоциативный (согласовательный) закон:

x
2

x
1

x
0
=
x
2

x
1

x
0

;

x
2
⋅
x
1
⋅
x
0
=
x
2
⋅
x
1
⋅
x
0

Дистрибутивный (распределительный) закон:
x
2
⋅
x
1

x
0
=
x
2
⋅
x
1

x
2
⋅
x
0
;
x
2

x
1
⋅
x
0
=
x
2

x
1
⋅
x
2

x
0

Закон поглощения (абсорбции):
x
1

x
1
⋅
x
0
=
x
1
;
x
1
⋅
x
1

x
0
=
x
1
Закон склеивания:
x
1
⋅
x
0
+
x
1
⋅
x
0
=
x
1
;
(
x
1
+
x
0
)⋅(
x
1
+
x
0
)=
x
1
Обобщенный закон Моргана-Шеннона:
x
3
⋅
x
2
+
x
1
⋅
x
0
=(
x
3
+
x
2
)⋅(
x
1
+
x
0
)
Перечисленные законы позволяют эффективно упрощать сложные логические функции. Отметим, что логической функцией называют отображение набора (комбинации) значений логических переменных — аргументов на универсальное множество. Результатом этой функции является новая логическая переменная. Эту новую логическую переменную иногда называют «переключательной функцией» — ПФ. При
n аргументах число наборов N=2
n
, а возможное число значений ПФ
M=2
N
=
2 2
n
Набор {«И», «ИЛИ», «НЕ»} называют функционально

- 98 - полным. Любая логическая функция может быть представлена через этот функционально полный набор. Каждая операция из этого набора может быть легко реализована с помощью элементов микроэлектроники, использующих микроэлектронные ключи, например, биполярные транзисторы в режимах насыщения (двойной инжекции) и отсечки или униполярные (полевые) транзисторы. Управление проводимостью биполярного транзистора осуществляется током базы. В отличие от биполярного в полевом транзисторе проводимостью управляет не ток, а электрическое поле (отсюда и название — полевой), создаваемое приложенным напряжением.
Наиболее просто принцип управления информационными сигналами можно пояснить на примере использования полевых МДП-транзисторов
(металл-диэлектрик-полупроводник). Поскольку в качестве диэлектрика в таких транзисторах используют оксиды, (в частности, двуокись кремния
SiO
2
), то полевой транзистор с такой структурой называют еще МОП- транзистором (металл-оксид-полупроводник). Структура МОП- транзистора с каналом n-типа показана на рисунке 49, а. Области с большим содержанием носителей n-типа (свободных электронов) обозначены на рисунке n
+
. Область с дырочной проводимостью — бедная носителями n-типа, обозначена штриховкой и буквой p. Если между истоком и стоком создать напряжение указанной на рисунке полярности, а на затвор подать нулевой потенциал (логический «0»), то на пути от истока к стоку окажутся два встречно включенных p-n-перехода. Поэтому сопротивление между истоком и стоком окажется очень большим — транзистор закрыт. При подаче на затвор положительного потенциала выше порогового значения (логическая «1») область под диэлектриком против затвора обогащается носителями n-типа — электронами.
Появляется канал с электронной проводимостью — транзистор открыт.
Состояния транзистора «открыт» и «закрыт» можно условно представить эквивалентными схемами (рис. 49, б). Комбинируя транзисторы и резисторы можно создать простые цепи, реализующие логические операции «НЕ» (рис.50), «ИЛИ» (рис.51) и «И» (рис.52). Любая схема логического управления может быть последовательно сведена к комбинации элементов, осуществляющих элементарные логические операции.
p
n
+
n
+
Подложка
Канал
Исток
Затвор
Сток
Диэлектрик
_
+
+
Открыт
Закрыт
Состояние транзистора
а)
б)
Рис. 49. Структура МОП-транзистора (а) и эквивалентная схема (б)
«1»
«0»

- 99 -
При конструировании аппаратуры обычно используют универсальные сборки из нескольких транзисторов, диодов и резисторов, на которых соответствующими соединениями можно реализовать все элементарные логические операции а, следовательно, и любые логические функции.
Такие сборки называют базовыми логическими элементами (БЛЭ). На практике нашли широкое применение два БЛЭ — И-НЕ (штрих Шеффера) и ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса). В первом случае над n входами выполняется операция логического умножения, а результат этой операции инвертируется. При ИЛИ-НЕ над n входами выполняется операция логического сложения и инвертируется результат. Обычно реализуются элементы с двумя, тремя, четырьмя и восемью входами. Нетрудно видеть, что с помощью элемента с n входами можно осуществлять логические действия над любым количеством операндов, не превышающем n. При логическом сложении достаточно свободные входы соединить с логическим «0», при умножении — подать на свободные входы логическую «1». При использовании только одного входа БЛЭ превращается в инвертор. При соединении всех входов вместе тоже
«1»
+
R
«0»
«0»
«1»
+
R
«1»
«1»
а)
б)
Рис. 52. Реализация операции «И» («AND»)
а — «0»
·
«1», б — «1»
·
«1».
«1»
+
R
«1»
«0»
«0»
+
R
«0»
«0»
а)
б)
Рис. 51. Реализация операции «ИЛИ»
а — «0» + «1», б — «0» + «0».
«1»
а)
б)
Рис. 50. Реализация операции «НЕ»
а — инверсия «1», б — инверсия «0».
«0»
+
R
«0»
«1»
+
R

- 100 - получают инвертор с одним входом.
На схемах логического управления используют графические обозначения логических элементов, приведенные на рисунке 53. Обозначение
«4ИЛИ-НЕ» соответствует базовому логическому элементу, осуществляющему дизъюнкцию четырех переменных с последующей инверсией результата. Соответственно, обозначение «4И-НЕ» — БЛЭ, осуществляющему конъюнкцию четырех аргументов с последующей инверсией.
Обозначения более сложных сборок могут быть найдены в любом справочнике компонентов электронных схем.
3. Представление и упрощение логических функций
3.1. Таблицы состояния и нормальные формы
При обсуждении элементарных логических операций мы уже увидели, что результат логической операции может быть представлен в виде алгебраического выражения. Благодаря ограниченному числу аргументов и их значений результат логических операций может быть представлен в табличной форме, содержащей все значения аргументов и результатов действий над ними. Такие таблицы называют таблицами состояния.
Таблица состояния в общем случае содержит n+1 столбец (n аргументов плюс один столбец для значений функции) и 2
n
строк не считая заголовка. Аргументы обычно индексируют начиная с нуля. Аргумент с индексом 0 находится в крайнем правом столбце аргументов, аргумент в крайнем левом столбце имеет индекс n-1. Например, для функции от четырех аргументов заголовок таблицы будет выглядеть так:
x
3
x
2
x
1
x
0
y.
Строку значений аргументов можно рассматривать как позиционное двоичное число. Тогда строки значений аргументов нужно размещать в порядке возрастания этого числа от 0 до
2
n−1
В качестве примера рассмотрим представление в виде таблицы состояния функции трех аргументов, заданной логическим выражением 5.1:
y=( x
2
+ ̄
x
1
+
x
0
)⋅( ̄
x
2
+ ̄
x
1
+
x
0
)
(5.1)
В таблице в первом столбце, обозначенным X
10
, записано переведенное в десятичную форму позиционное двоичное число, соответствующее строке значений аргументов. Заголовки и значение функции выделены цветом.
Таблица должна содержать четыре столбца и 8 строк, не считая заголовков:
1
&
«НЕ»
«ИЛИ»
«4ИЛИ-НЕ»
«И»
«4И-НЕ»
1
1
&
Рис. 53. Примеры условных обозначений логических элементов

- 101 -
Таблица 10. Таблица состояния функции 3-х аргументов
X
10
x
2
x
1
x
0
y
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
3
0
1
1
1
4
1
0
0
1
5
1
0
1
1
6
1
1
0
0
7
1
1
1
1
Другие способы представления логических функций сводятся к нормальным алгебраическим формам (дизъюнктивной или конъюнктивной) или к графическому представлению в виде карт Карно
(Вейча). Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – это дизъюнкция всех элементарных конъюнкций, записанных для строк, в которых логическая функция равна 1, конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – это конъюнкция всех элементарных дизъюнкций тех строк, где функция равна
0. Под элементарной конъюнкцией понимается логическое произведение всех аргументов, взятых в прямом или инвертированном виде, под
элементарной дизъюнкцией – логическая сумма всех аргументов, взятых в прямом или инвертированном виде. Инверсия осуществляется таким образом, чтобы эти конъюнкция и дизъюнкция давали значение логической функции в данной строке. Таким образом, ДНФ содержит столько слагаемых, сколько ненулевых значений функции, а КНФ содержит столько сомножителей, сколько нулевых значений функции.
Нетрудно догадаться, что выражение 5.1 представляет собой конъюнктивную нормальную форму логической функции, представленной в таблице состояния 10. Дизъюнктивная нормальная форма для этой функции может быть представлена дизъюнкцией шести элементарных конъюнкций:
y= ̄
x
2
⋅̄
x
1
⋅̄
x
0
+ ̄
x
2
⋅̄
x
1
⋅
x
0
+ ̄
x
2
⋅
x
1
⋅
x
0
+
x
2
⋅̄
x
1
⋅̄
x
0
+
x
2
⋅̄
x
1
⋅
x
0
+
x
2
⋅
x
1
⋅
x
0
(5.2)
3.2. Карты Карно
В ряде случаев удобно логическую (переключательную) функцию представлять в графической форме в виде карт Карно. Карта Карно
(Вейча) представляет собой прямоугольное поле, стороны которого кратны степеням 2, а площадь составляет
2
n
единиц.
Поле разбито на клетки, для каждой из которых определены координаты в виде значений логических переменных. Для построения карты Карно и расстановки координат клеток можно использовать правило отражения
(«зеркала»)
. При этом используется такая последовательность: сначала

- 102 - строится карта для одного аргумента,
n
=1. Ширина карты составит две единицы, а высота – одну (рис. 54).
Для двух аргументов карта может быть получена «отражением» через правую или нижнюю грани (рис. 55).
При отражении новый аргумент приписывается перед существующим, а его значение устанавливается равным 0 до отражения и равным 1 – в отраженной части.
На рисунке 56 показана карта Карно для трех аргументов, полученная отражением карты
б
рисунка 55 через нижнюю грань.
Координаты клеток карты Карно можно рассматривать как соответствующее сочетание аргументов –
n
-разрядное позиционное двоичное число. Например, координата верхней левой клетки (рисунок
56) может быть представлена так:
x
2
x
1
x
0
=
000. Координата нижней правой клетки –
x
2
x
1
x
0
=
101. Если соответствующее такому сочетанию аргументов значение логической функции не равно нулю, то
x
0
=0
x
0
=1
Рис. 54. Карта Карно для одного аргумента
x
1
x
0
=00 x
1
x
0
=01 x
1
x
0
=11 x
1
x
0
=10
x
0
=0
x
0
=1
x
1
=0
x
1
=1
а)
б)
Рис. 55. Карта Карно для двух аргументов
а – отражение через правую грань,
б – отражение через нижнюю грань.
x
2
x
1
=01
x
2
x
1
=11
x
2
x
1
=10
x
0
=0
x
0
=1
x
2
x
1
=00
Рис. 56 Карта Карно для трех аргументов
x
2
x
1
=01
x
2
x
1
=11
x
2
x
1
=10
x
0
=0
x
0
=1
x
2
x
1
=00
Рис. 57. Карта Карно для функции 4.1

- 103 - данную клетку заштриховывают, иначе оставляют ее не заштрихованной.
На рисунке 57 представлена карта Карно для функции 5.1. Не заштрихованные клетки имеют координаты
x
2
x
1
x
0
=
010 и
x
2
x
1
x
0
=
110 при которых значение логической функции в таблице 4.1 равно 0.
Нет необходимости полностью записывать таблицу состояния для переключательных функций, особенно, если велико количество аргументов. Для сокращения записи можно воспользоваться альтернативностью значений логической функции. Достаточно в таблице состояния записать, например, только те строки, в которых значение функции равно «1». Тогда в остальных, опущенных строках, логическая функция имеет значение «0». Такая сокращенная таблица состояния называется таблицей Эйкена.