Конспект лекций по дисциплине Контроль и управление техническими системами для бакалавров и магистров направления 150400
 Скачать 5.27 Mb.
|
|
u(t) x(t) f(t) Рис. 37. Эквивалентная схема электродвигателя с технологической нагрузкой - 77 - При конструировании уравнений движения обычно реализуется следующий порядок: ● выявляется физический закон, определяющий изменение состояния (движение) моделируемого элемента. Это могут быть уравнения равновесия, баланса, законы сохранения импульса, энергии, массы; ● по паспортным данным, результатам исследований и измерений определяют параметры объекта, исходя из паспортных номинальных режимов выбирают рабочую точку; ● линеаризуют характеристики и уравнения в окрестности рабочей точки; ● выбирают характерные точки и приводят линеаризованные уравнения к безразмерному виду; ● вводят упрощенные обозначения для обобщенных числовых характеристик. Коэффициенты и постоянные времени таких упрощенных уравнений могут быть определены двумя способами — аналитическим и экспериментальным. Для аналитического метода необходим большой объем исходной информации. Так, в частности, для определения постоянной времени в уравнении 4.20, T = I н M дн , нужно осуществить расчет момента инерции I исходя из конструкции звена. Это потребует знания размеров, формы и массы деталей — элементов, из которых состоит динамическое звено, а также паспортных характеристик двигателя — номинальной частоты вращения и номинального момента. Если есть элементы, изменяющие передаваемый сигнал, то для них необходимо получить параметры этих преобразований — передаточные числа редукторов механических узлов, соотношения количества витков катушек при трансформаторных связях, отношение скоростей распространения сигналов при переходе из одной среды в другую, функциональные зависимости параметров. Например, при определении k u k x k u k x -0,632 k u k x -0,865 T k x 2T k x t x(t) Рис. 38. Двухточечная схема экспериментального определения констант апериодического звена k x < 0, k u > 0. t 0,632 0 - 78 - коэффициентов передачи k x = ∂ M д ∂ x | u=0 x=0 и k u = ∂ M д ∂ u | u=0 x=0 , чтобы вычислить частные производные нужно иметь формулу, аппроксимирующую характеристику двигателя в окрестности рабочей точки M д = M д u , x . Необходимые для этого данные, как правило, можно отыскать в современной литературе, например, в инженерных справочниках машиностроительного, электротехнического, технологического направлений. Таким образом, при аналитическом способе, все три апериодического звена константы, T , k x , и k u , могут быть определены с точностью, определяемой точностью исходных данных. Второй подход — экспериментальный. Для экспериментального метода потребуются установки и приборы, а, кроме того, общие представления о переходных процессах и переходной функции. Рассмотрим, как экспериментально определяют постоянные и коэффициенты передачи на примере идентификации уравнения 4.20. Положим, что нам удалось в лабораторных условиях гарантировать постоянную нагрузку, равную номинальной (f = 0). Тогда, при известном законе изменения ut =u x t , решая дифференциальное уравнение 4.20а можно найти зависимость для относительного приращения частоты вращения x t = t − н н = x t , T , k x , k u , i н , н , в которую войдут две константы из паспортных данных, i н и н , неизвестные постоянная времени и коэффициенты передачи. Устанавливая ток якоря i в соответствии с законом u x t, i x t =i н ⋅ u x t1 и регистрируя частоту вращения вала x t найдем зависимость x x t= x t − н н . Осуществляя перебор значений коэффициентов передачи и постоянной времени найдем такие T x , k x x , k u x , при которых будет обеспечен минимум нормы ∥ x t−x x t∥. Однако, нужно помнить, что найденные значения соответствуют закону изменения управления ut =u x t и могут оказаться другими при другом виде ut. На практике часто используют двухточечные грубые оценки для релейной функции управления u x t= { 0, t0, 1, t0 . В этом случае уравнение 4.20а — уравнение с разделяющимися переменными dx = k x ⋅ dt T ⋅ x k u k x d x k u k x x k u k x = k x T ⋅ dt и может быть решено аналитически: ln x k u k x = k x ⋅ t T ln C , (4.21) x t =C⋅exp k x ⋅ t T − k u k x (4.22) Учитывая, что при t = 0 xt =0 , находим, что постоянная интегрирования C= k u k x и окончательно имеем: - 79 - x t = k u k x ⋅ e k x ⋅ t T − 1. (4.23) Обратив внимание на вид функции управления ut и вспомнив определение переходной функции обнаруживаем, что нами получена переходная функция 4.23 для элементарного динамического звена, описываемого уравнением движения 4.20а. Присматриваясь к формуле 4.23 нетрудно заметить, что движение будет устойчивым лишь если k x 0 (рис. 38). Тогда при t ∞ x t − k u k x , то есть, измерив частоту вращения в установившемся режиме t= уст удастся найти только отношение k u k x = н − уст н . Засекая с помощью точного секундомера момент времени t 0,632 , когда x t=−0,632 k u k x , можно также найти оценку постоянной времени T k x =− t 0,632 Однако, в отличие от аналитического метода, из-за линейности уравнения 4.20а экспериментом нельзя независимо определить все константы T , k x , и k u Поэтому уравнение движения 4.20а часто представляют в другой форме. Поделив левую и правую части уравнения 4.20а на абсолютную величину коэффициента передачи k x и вводя обозначения T= T ∣ k x ∣ и k= k u ∣ k x ∣ уравнение 4.20а переписывают в виде: T⋅ dx dt ± x =k⋅u. (4.24) Знак «+» в выражении 4.24 выбирается при k x 0 . В рассматриваемом случае это соответствует уменьшению момента при возрастании частоты вращения. Знак «-» соответствует случаю k x 0. , когда, например, с ростом частоты увеличивается и вызывающий этот рост момент. Система сама себя как бы разгоняет, подхлестывает, что может привести к аварийной ситуации, практиками называемой «разнос». Аналогично конструируются уравнения движения и находятся константы для более сложного интегрирующего звена второго порядка. Примером может служить вывод уравнения движения для пружинного маятника в среде с сопротивлением, рассматриваемый в разделах «Механика» и «Динамика» физических дисциплин. Передаточная функция. Рассматривая вывод уравнения движения для одного элементарного динамического звена нетрудно заключить, что при анализе соединения звеньев вывод усложнится многократно. Получение переходной функции соединения путем решения систем дифференциальных уравнений окажется весьма и весьма трудоемким. Для анализа движения и устойчивости сложных систем автоматического регулирования используют аппарат передаточных функций и амплитудно-частотных характеристик. Передаточные функции конструируются с использованием базовых понятий операционного - 80 - исчисления — оригинала и изображения. Ряд функций вещественных переменных может быть отображен на пространство комплексной переменной с использованием интегральных преобразований. В теории САР для такого отображения обычно используется интегральное преобразование Лапласа F s = ∫ 0 ∞ e − st f t dt , (4.25) которое функции вещественного переменного f t ставит в соответствие функцию F s комплексного переменного s. Функцию F s называют изображением по Лапласу. Вместо полной записи 3.25 часто используют символическую F s = L[f t ], (4.26) где L — оператор Лапласа. Преобразование Лапласа применимо к функциям f t , которые обладают, по меньшей мере, следующими свойствами: ● f t определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси [0, ∞]; ● f t≡0 при t0 ; ● существуют такие положительные числа M и c, что ∣ f t∣M e ct , 0t∞ ; Функции, обладающие этими свойствами, называют функциями- оригиналами. Практически, все функции, встречающиеся при анализе САР, удовлетворяют перечисленным требованиям. Кроме того, основанием для широкого использования преобразования Лапласа в теории САР служат его девять свойств, позволяющих находить изображения без сложных вычислений интеграла 4.25: 1. линейность преобразования L[ 1 ⋅ f 1 t 2 ⋅ f 2 t ]= 1 ⋅ L[ f 1 t ] 2 ⋅ L[f 2 t ]; 2. свертке оригиналов L[ ∫ 0 t f 1 t− f 2 d ]=L[ f 1 t ]⋅L[ f 2 t ] соответствует обычное произведение изображений; 3. интегрированию оригиналов соответствует деление изображения на комплексную переменную L[ ∫ 0 t f d ]=1 s ⋅ L[ f t ]= 1 s ⋅ F s; 4. дифференцированию оригиналов соответствует умножение изображения на комплексную переменную L[ d n f t dt n ]= s n ⋅ F s−s n−1 f 0−s n−2 f 1 0−..−s f n−2 0−f n−1 0, или, при нулевых начальных условиях, L[ d n f t dt n ]= s n ⋅ F s; 5. преобразование оригинала с запаздыванием сводится к умножению изображения на простую экспоненту L[ f t − ]=e − s L[ f t ]; 6. при 0 имеет место правило подобия L[ f t ]= 1 ⋅ F s ; 7. умножение оригинала на e − t равносильно смещению комплексного аргумента на величину λ: L[ e − t f t ]=F s ; 8. умножение оригинала на t n приводит к n-кратному дифференцированию изображения со знаком, определяемым - 81 - степенью n: L[t n f t ]=−1 n ⋅ d n F s ds n ; 9. деление оригинала на t соответствует интегрированию изображения в пределах от s до ∞: L[ 1 t ⋅ f t ]= ∫ s ∞ F qdq ; Благодаря этим свойствам можно конструировать изображения отталкиваясь от простейших представлений. Например, получив изображение для единичной функции 1t= { 0, t0, 1, t0 : L[1t ]= ∫ 0 ∞ e − st 1t dt= 1 s , можно, воспользовавшись теоремой смещения 5, найти изображение функции e − t : L[ e − t ]= L [e − t 1t ]=F s= 1 s или, воспользовавшись правилом умножения 8, найти изображение функции t n : L[t n ]= l[ t n ⋅ 1t ]=−1 n ⋅ d n ds n ⋅ 1 s = n! s n1 . Особенно важно для нас правило дифференцирования 4, позволяющее заменить решение системы дифференциальных уравнений в вещественных переменных решением системы алгебраических уравнений комплексных переменных и последующим обратным переходом от изображений к оригиналам. Обратный переход к оригиналу осуществляется с помощью интегрирования f t= ∫ p−i⋅∞ pi⋅∞ e st F s ds , (4.27) которое может быть осуществлено вдоль любой прямой p, параллельной мнимой оси. Символически обратное преобразование представляют подобно 3.26: f t =L − 1 [ F s] , (4.28) и называют обратным преобразованием Лапласа. Интеграл 3.27 вычисляется достаточно сложно для произвольных изображений, однако, существует много справочников, в которых приводятся результаты, как прямого, так и обратного преобразований Лапласа. Даже в распространенном справочнике И.Н. Бронштейна и К.А. Семендяева приведены преобразования для наиболее часто встречающиеся функций [Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов/ И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев Много переизданий]. В таблице 9 приведены преобразования Лапласа для функций-оригиналов, наиболее часто встречающихся при анализе систем автоматического регулирования. Эта таблица может быть использована как для прямого, так и для обратного преобразований. Таблица 9. Изображения функций, часто встречающихся в теории САР f t 1t t t n e t sin t cos t e t sin t e t cos t F s 1 s 1 s 2 n! s n1 1 s− s 2 2 s s 2 2 s− 2 2 s− s− 2 2 В автоматике особый интерес представляют обратные преобразования дробно-рациональных функций, разлагаемых на элементарные дроби. - 82 - Например, обратное преобразование дроби 1 s⋅s , ≠0 реализуется следующим образом с использованием уже найденного изображения единичной функции и теоремы смещения: L − 1 [ 1 s⋅s ] = L − 1 [ 1 s − 1 ⋅ s ] = 1 ⋅ L − 1 [ 1 s ] − L − 1 [ 1 s ] = 1 ⋅ 1−e − t (4.29) Похож результат на формулу 4.23, не так ли? На базе преобразований Лапласа строится аппарат передаточных функций элементарных динамических звеньев. Передаточной функцией элементарного динамического звена по Лапласу называют отношение изображения выходного процесса к изображению входного процесса этого звена при нулевых начальных условиях. Например, передаточная функция W s для звена на рисунке 31 в общем виде будет записана так: W s= L[ x t ] L[ ut ] = X s U s , (4.30) где строчными латинскими буквами обозначены оригиналы-функции, а прописными — их изображения. Используя свойства преобразования Лапласа получим передаточные функции элементарных динамических звеньев. Для этого уравнения движения динамических звеньев представим в изображениях: 1. идеальное безынерционное звено L[ x t ]=k п ⋅ L [ut ]⇒ X s=k п ⋅ U s, откуда по определению передаточной функции сразу следует W s= X s U s = k п , то есть, для этого звена передаточная функция численно равна коэффициенту передачи; 2. идеальное интегрирующее звено L [ dx t dt ] = k и ⋅ L[ut ]⇒ s⋅X s− x0=k и ⋅ U s. Учитывая, что x0=0 и k и = k м T и запишем передаточную функцию для идеального интегрирующего звена W s= X s U s = k м T и ⋅ s . При безразмерном представлении входного и выходного процессов k м = 1 и передаточная функция упрощается до W (s)= 1 T и ⋅ s ; 3. идеальное дифференцирующее звено L[x (t )]=Θ⋅L [ du(t ) dt ] ⇒ X (s )=Θ⋅ ( s⋅U (s )−u(0) ) При нулевых начальных условиях передаточная функция этого звена: W (s)= X (s ) U (s) =Θ⋅ s ; 4. звено чистого запаздывания L[x (t )]= L [ 0, t< τ , u(t−τ ), t⩾τ ] ⇒ X (s)=e − s τ ⋅ U (s) и W (s)=e − s τ 5. апериодическое звено T хa ⋅ L [ dx(t) dt ] + k xa L[ x(t)]=k ua ⋅ L[u(t)]=T хa ⋅ s⋅X(s)+ k xa ⋅ X (s)=k ua ⋅ U (s ), откуда после простых преобразований при нулевых начальных - 83 - условиях имеем: W (s)= k ua T хa ⋅ s+ k xa . Поделив числитель и знаменатель на k xa , и введя обозначения T a = T хa ∣ k xa ∣ ,k a = k ua ∣ k xa ∣ , получим вариант передаточной функции для двухточечного представления W (s)= k a T a ⋅ s±1 ; 6. интегрирующее звено 2-го порядка T ии 2 ⋅ L [ d 2 x(t) dt 2 ] + 2T ии ⋅ξ⋅ L [ dx(t) dt ] + k хии L[x (t)]=k uии ⋅ L[u(t)] имеет передаточную функцию W (s)= k uии T ии 2 ⋅ s 2 + 2T ии ⋅ξ⋅ s+ k хии Используя передаточные функции элементарных динамических звеньев можно сконструировать передаточные функции любого соединения звеньев. Правила получения передаточных функций соединений звеньев иногда называют алгеброй передаточных функций. Рассмотрим некоторые из этих правил. Для упрощения записи будем опускать аргумент s, подразумевая, что он всегда присутствует. Передаточная функция последовательного соединения звеньев (рис. 39, а) W = X (s) U (s) = X (s) X 1 ( s ) ⋅ X 1 ( s) U (s) = W 2 ⋅ W 1 Для последовательного соединения n звеньев передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев: W= ∏ 1 n W i (4.31) Передаточная функция параллельного соединения звеньев (рис. 39, б) W = X (s) U (s) = X 1 ( s ) U (s) + X 2 ( s) U (s) = W 1 + W 2 Для параллельного соединения n звеньев Рис. 39. Передаточные функции соединений звеньев а — последовательное соединение, б — параллельное соединение, в — встречное соединение. а) W 1 u(t) x 1 (t) W 2 X(s) =W 2 X 1 (s), X 1 (s) = W 1 U(s), X(s) = W 2 W 1 U(s) x(t) W = W 2 W 1 б) W 1 u(t) x 1 (t) W = X(s)/U(s) W 2 W = W 2 +W 1 x 2 (t) x(t) в) W 1 q(t) x 1 (t) W = X(s)/Q(s) W 2 W= ε(t) x(t) 1 + W 2 W 1 W 1 - 84 - передаточная функция соединения равна сумме передаточных функций отдельных звеньев: W= ∑ 1 n W i (4.32) При анализе динамики появляется еще один тип соединений — встречное (рис. 39, в). При этом соединении значение контролируемого параметра «возвращается» на вход САР и используется при формировании входного воздействия на объект регулирования. Такая связь выхода объекта регулирования с его входом носит название «обратная связь». Этот термин уже рассматривался ранее при обсуждении структурной схемы Обратная связь может быть положительной — управление и контролируемый параметр складываются, рост контролируемого параметра вызывает возрастание входного воздействия ε( t)=u (t)+ x 1 ( t) Если рост контролируемого параметра вызывает уменьшение входного воздействия ε( t)=u (t)−x 1 ( t) , обратную связь называют отрицательной. На рисунке 39, в показано соединение с отрицательной обратной связью. Передаточная функция этого соединения находится следующей последовательностью действий: X (s)=W 1 ⋅ E(s), E (s )=Q(s)−X 1 ( s), X 1 ( s)=W 2 ⋅ X (s), X (s)=W 1 ⋅( Q(s)−W 2 ⋅ X (s)), X (s)⋅(1+ W 1 ⋅ W 2 )= W 1 ⋅ Q(s), и, окончательно, W= X (s) Q(s) = W 1 1+ W 1 ⋅ W 2 (4.33) При положительной обратной связи передаточная функция будет отличаться от 3.33 только знаком перед произведением передаточных функций звеньев W = W 1 1−W 1 ⋅ W 2 (4.34) При наличии в функциональной схеме смешанных соединений, так же, как в статике, их расчленяют на группы, содержащие только один тип соединения. Каждую группу заменяют новым звеном, с передаточной функцией, полученной для группы. Процедуру повторяют до получения одной передаточной функции. При попытке анализа соединения иногда возникает проблема, связанная с тем, что между двумя звеньями находится сумматор или узел (точка ветвления) (рис. 40, а, б). В этом W 1 а) W 2 W 2 W 1 1 фиктивное звено W 1 б) W 2 W 1 W 2 1 узел фиктивное звено Рис. 40. Перенос сумматора (а) и узла (б) - 85 - случае применяют следующие правила: ● при переносе сумматора через звено против направления потока информации вводится фиктивное звено с передаточной функцией, обратной функции звена, через которое осуществляют перенос; ● при переносе сумматора через звено по направлению потока информации вводится фиктивное звено с передаточной функцией, равной функции звена, через которое осуществляют перенос; ● при переносе узла через звено против направления потока информации вводится фиктивное звено с передаточной функцией, равной функции звена, через которое осуществляют перенос; ● при переносе узла через звено по направлению потока информации вводится фиктивное звено с передаточной функцией, обратной функции звена, через которое осуществляют перенос. Используя рассмотренные правила, можно сколь угодно сложную функциональную схему привести к схеме, представленной на рисунке 41, содержащей, по меньшей мере два важных звена: ОР — объект регулирования и АР — автоматический регулятор с передаточными функциями: W орн — передаточная функция объекта регулирования по нагрузке, W ору — передаточная функция объекта регулирования по управлению и W ар — передаточная функция автоматического регулятора. Кроме того, может присутствовать преобразователь с передаточной функцией W пр , обеспечивающий преобразование сигнала настройки qt в сигнал x' t , согласованный с результатом измерения контролируемого параметра xt . Тогда отклонение контролируемого параметра от заданного значения будет оцениваться величиной t =x ' t −xt . Автоматический регулятор в зависимости от оценки t вырабатывает управляющую команду ut . В зависимости от передаточной функции W ар регулятора могут быть определены несколько законов регулирования: ● пропорциональный закон регулирования — ut =k t , регулятор такого типа называют П-регулятором. Как нетрудно видеть, управляющее воздействие такого регулятора будет присутствовать лишь при не нулевом отклонении t . Говорят, что такой регулятор работает со статической ошибкой. Чем больше порог чувствительности элементов такого регулятора, тем больше ошибка регулирования; ● интегральный закон регулирования — управляющее воздействие W ар q(t) W ору ε(t) x(t) W пр W орн x'(t) u(t) f(t) Рис. 41. Расчетная схема САР с отрицательной обратной связью ОР АР - 86 - пропорционально интегралу от t : ut = 1 T ар ⋅ ∫ 0 t d . Такой регулятор называется И-регулятор. Вследствие накопления t даже очень малое отклонение может создать значительное управляющее воздействие ut . Говорят, что такой регулятор работает без статической ошибки. Однако, управление ut не исчезает в момент, когда отклонение становится равным нулю и продолжает действовать вызывая перерегулирование — переход контролируемого параметра через заданное значение. При этом знак t меняется и накопление продолжается в обратную сторону. То есть, значение контролируемого параметра все время колеблется около заданного значения. При неправильно подобранных постоянных времени перерегулирование может быть большим и отрицательно влиять на качество продукции. Представьте, что так работает регулятор толщины листа при рулонной прокатке. Кроме того, реакция такого регулятора на отклонение может быть медленной — когда еще накопится достаточная величина управления ut , чтобы объект регулирования начал изменять свое состояние; ● дифференциальный закон регулирования — управляющее воздействие пропорционально скорости изменения отклонения: ut = ар ⋅ d t dt Это Д-регулятор. Достоинство такого регулятора состоит в том, что он обнаруживает уже начало изменения отклонения и очень быстро на него реагирует. Однако, как только отклонение перестало изменяться, то каким бы большим оно не было, управляющее воздействие будет отсутствовать.. Из-за недостатков, присущих каждому простому типу регулятора, на практике предпочитают регуляторы, сочетающие достоинства нескольких законов регулирования, в частности, ПИ-регуляторы и ПИД-регуляторы. ПИ-регуляторы быстро реагируют на отклонение из-за наличия пропорциональной части и работают без статической ошибки. У ПИД-регуляторов добавляется быстрая реакция на изменение отклонения, с сохранением полезных свойств ПИ-регулятора. Современная цифровая автоматика в этом отношении является весьма гибкой. Достаточно заложить в основу программы, реализующей регулирование, алгоритм ПИД-регулятора ut =k рп ⋅ k ар t k ри ⋅ 1 T ар ∫ 0 t dk рд ⋅ ар d t dt с коэффициентами k рп , k ри и k рд , равными единице. Выбрать другой тип регулятора можно просто приравнивая некоторые из коэффициентов k рп , k ри и k рд нулю Например, при значениях k рп = 1, k ри = 0 и k рд = 0 реализуется П-регулятор, а при k рп = 1, k ри = 1 и k рд = 0 — ПИ-регулятор. Свойства регулятора будут определять переходную W ар q(t) W ор ε(t) x(t) u(t) Рис. 42. К расчету переходной функции САР ОР АР x(t) - 87 - функцию системы. Рассмотрим как зависит переходная функция САР от свойств регулятора и объекта регулирования при номинальной нагрузке, f (t)≡0 , и W пр = 1, то есть, при x ' (t)=q(t). Расчетная схема САР для этого случая существенно упрощается (рис. 42). Останется только два последовательно соединенных звена — автоматический регулятор АР и объект регулирования ОР, охваченные отрицательной обратной связью. Воспользовавшись правилами алгебры передаточных функций можно заменить последовательно соединенные звенья, регулятор и объект регулирования, одним звеном с передаточной функцией W 1 = W ар ⋅ W ор Добавив в цепь обратной связи фиктивное звено с передаточной функцией W 2 = 1 , получим соединение (рис. 43), для которого нами уже получена передаточная функция W = W 1 1+ W 1 ⋅ W 2 = W ар ⋅ W ор 1+ W ар ⋅ W ор (4.35) Подставляя различные передаточные функции для автоматического регулятора и объекта регулирования и используя обратное преобразование Лапласа, найдем переходные функции САР при тестовом сигнале q(t)= { 0, t< 0, 1, t⩾0 . : 1. Пропорциональный ( безынерционный ) регулятор с коэффициентом передачи k ар , W ар = k ар и пропорциональный (безынерционный) объект регулирования с коэффициентом передачи k ор , W ор = k ор Передаточная функция САР: W= k ар ⋅ k ор 1k ар ⋅ k ор = k САР . Система оказалась безынерционной и переходная функция для нее запишется так: xt = { 0, t 0, k САР , t0. Обратите внимание, что попытка увеличить коэффициент передачи САР за счет выбора регулятора с большим коэффициентом передачи не приведет к успеху. Наоборот, чем больше k ар ⋅ k ор , тем ближе к 1 коэффициент передачи системы k САР При положительной обратной связи W= k ар ⋅ k ор 1−k ар ⋅ k ор = k САР коэффициент передачи может достигать сколь угодно больших как положительных, так и отрицательных значений при приближении произведения k ар ⋅ k ор к единице и при k ар ⋅ k ор = 1 терпит разрыв. Понятно, что система с таким поведением не может быть устойчивой. 2. Пропорциональный (безынерционный) регулятор с коэффициентом передачи k ар , W ар = k ар и идеальный интегрирующий объект регулирования с постоянной времени T ор , W ор = 1 T ор ⋅ s . Передаточная функция этой САР запишется так: q(t) W 1 =W ар W ор ε(t) x(t) W 2 =1 Рис. 43. Эквивалентная схема к рисунку 33 x(t) - 88 - W= k ар T ор ⋅ sk ар = 1 T ор k ар ⋅ s1 = 1 T САР ⋅ s1 , T САР = T ор k ар То есть, при соединении пропорционального регулятора и идеального интегрирующего объекта регулирования получается апериодическое звено с постоянной времени в k ар меньше, чем постоянная времени идеального интегрирующего звена. Значит, изменяя коэффициент передачи регулятора можно существенно влиять на быстродействие получившейся системы. Получить переходную функцию такой САР можно подав на вход единичную функцию qt = { 0, t 0, 1, t0 и воспользовавшись обратным преобразованием Лапласа. Из определения передаточной функции следует X s=W⋅Q s. Учитывая, что Qs= 1 s запишем x (t)=L − 1 [ X (s)]=L − 1 [ 1 T САР ⋅ s+ 1 ⋅ 1 s ] (4.36) Выражение в квадратных скобках можно разложить на сумму дробей пользуясь методом неопределенных коэффициентов. Разделив числитель и знаменатель первого сомножителя на T САР и обозначив α= 1 T САР произведем преобразование: α s+ α ⋅ 1 s = A s + B s+ α = A⋅s+ B⋅s+ A⋅α s⋅(s+ α) = α s⋅(s+ α) Поскольку переменная s может приобретать произвольные значения, а в исходном выражении в числителе нет слагаемых, содержащих s, то A+ B=0, или B=−A . Из A⋅α=α следует, что A = 1, тогда B=−1. Окончательно получим: x (t)=L − 1 [ 1 s − 1 s+ α ] = L − 1 [ 1 s ] − L − 1 [ 1 s+ α ] = 1−e −α t = 1−e − t T САР (4.37) Из 4.37 следует, что система автоматического регулирования, состоящая из безынерционного регулятора и идеального интегрирующего объекта регулирования охваченная отрицательной обратной связью является устойчивой и ее переходная функция сходится к 1 при t → ∞ . При положительной обратной связи ε( t)=q(t )+ x (t) и передаточная функция отличается только знаком перед единицей в знаменателе W= 1 T САР ⋅ s−1 . Это приведет быстрому экспоненциальному росту контролируемого параметра: x (t)=L − 1 [ 1 s−α − 1 s ] = L − 1 [ 1 s−α ] − L − 1 [ 1 s ] = e α t − 1=e t T САР − 1. (4.37а) Такая система неустойчива и будет либо останавливаться, либо идти «в разнос». 3. Пусть регулятор и объект регулирования — идеальные интегрирующие звенья с передаточными функциями W ар = 1 T ар ⋅ s и - 89 - W ор = 1 T ор ⋅ s Тогда передаточная функция САР получится такой: W= 1 T ар ⋅ T ор ⋅ s 2 + 1 = 1 T САР 2 ⋅ s 2 + 1 , T САР = √ T ар ⋅ T ор . Постоянная времени такой САР равна среднему геометрическому из постоянных времени регулятора и объекта регулирования. Введя обозначение β 2 = 1 T САР 2 запишем передаточную функцию САР в виде W= β 2 s 2 + β 2 Для получения переходной функции x (t)=L − 1 [ X (s)]=L − 1 [ β 2 s 2 + β 2 ⋅ 1 s ] снова воспользуемся разложением выражения в квадратных скобках на элементарные дроби: β 2 s⋅(s 2 + β 2 ) = A⋅s+ B s 2 + β 2 + C s = A⋅s 2 + B⋅s+ C⋅s 2 + C⋅β 2 s⋅(s 2 + β 2 ) = ( A+ C)⋅s 2 + B⋅s+ C⋅β 2 s⋅(s 2 + β 2 ) Посколь ку в числителе исходного выражения нет ни s, ни s 2 , то A+C = 0, B = 0, C = 1 и A = -1. Применяя обратное преобразование Лапласа к получившейся сумме дробей x (t)=L − 1 [ 1 s − s s 2 + β 2 ] = L − 1 [ 1 s ] − L − 1 [ s s 2 + β 2 ] = 1−cos β t=1−cos t T САР (4.38) Таким образом, при соединении идеального интегрирующего регулятора с таким же объектом регулирования получаем систему, генерирующую незатухающие колебания с амплитудой, равной 1 и средним значением тоже равным 1. Аналогично аналитическими методами моделируют и более сложные системы. Используя аппарат преобразований Лапласа можно исследовать поведение системы при разных законах регулирования в широком диапазоне изменения параметров системы. Аналитические методы обладают общностью выводов, которые можно распространить на весь класс объектов моделирования. Используя аналитические методы мы установили роль обратной связи в САР. Отрицательные обратные связи стабилизируют систему, обеспечивают переход ее в установившееся состояние после изменения входного воздействия. Они используются, когда необходимо поддерживать заданное значение контролируемого параметра при наличии возмущений, например, для регулирования толщины полосы при прокатке, для поддержания частоты вращения двигателя, для стабилизации потоков жидкости и газа, для стабилизации температуры нагрева и т.п. Положительная обратная связь наоборот выводит систему из устойчивого состояния. Она может быть применена, когда нужно быстро остановить систему или быстро перевести ее в новое состояние. В последнем случае, действие положительной обратной связи должно быть прекращено по достижению заданного состояния. Аналитические методы позволяют анализировать влияние постоянных времени, запаздывания, порога чувствительности, коэффициентов передачи на устойчивость работы оборудования и на качество - 90 - технологического процесса. Определение величины динамического заброса , коэффициента затухания возможно только при использовании аналитических методов. Другим подходом при моделировании систем автоматического регулирования является применение численных методов. Результаты, полученные численным моделированием, носят частный характер и не могут быть распространены на другие аналогичные объекты. Они требуют привлечения дополнительных методов для анализа устойчивости, сходимости и корректности используемых алгоритмов. Например, кажущаяся неустойчивость системы может порождаться не свойствами системы, а особенностями алгоритма. Тем не менее, в связи с широким распространением программируемых логических контроллеров для автоматизации процессов и машин обработки металлов давлением численное моделирование динамических звеньев становится наиболее актуальным. Однако, нужно всегда помнить, что ошибки при создании численных моделей могут приводить к неустойчивой работе оборудования, повышенным вибрациям и перегрузкам двигателей. 3. Системы автоматического регулирования В цехах обработки металлов давлением используются самые разнообразные системы автоматического регулирования. Регулирование может осуществляться как через большой набор промежуточных элементов (рис. 44), так и в минимальном варианте, когда один элемент выполняет по совместительству функции других элементов системы (рис. 45). На рисунке 44 наличествует большая часть типовой функциональной схемы . Это объект регулирования — температура, регулирующий орган — трубчатый электрический нагреватель (ТЭН), чувствительный элемент — U Рис. 44. Регулирование температуры в сушильном шкафу Реостат ТЭН Термодатчик Настройка Мост Усилитель Двигатель Ходовой винт - 91 - термодатчик, задатчик — настройка с преобразователем, элемент сравнения — мост, усилитель, регулятор — реостат с сервомеханизмом — двигателем, обеспечивающим через механические связи перемещение ползуна реостата. В системе на рисунке 45 отсутствует большинство промежуточных элементов, а датчик температуры — сильфон выполняет функции элемента сравнения и сервомеханизма, перемещая ползун реостата. Такие САР называют системами прямого действия. И система на рисунке 44, и система на рисунке 45 относятся к классу замкнутых систем автоматического регулирования. Информационная связь в такой системе замкнута, выход объекта регулирования соединен информационно с его входом. Эта связь может быть разорвана во времени. Собрав и статистически обработав информацию о поведении объекта регулирования, можно создать программу, которая будет в заданные моменты времени изменять управляющие воздействия не получая информации о текущем состоянии. Такие разомкнутые системы называют системами программного управления. Программа не обязательно должна быть, как принято сейчас, компьютерной, а может быть реализована, например, в виде вала с кулачками, вращаемого часовым механизмом. Кулачки, нажимая рычаги и кнопки, могут реализовать достаточно сложные алгоритмы управления в реальном времени. Различают системы непрерывного и дискретного действия. На рисунках 44 и 45 — системы непрерывного действия. Управляющее воздействие — величина тока через ТЭН непрерывно изменяется в зависимости от контролируемого параметра. В системе, представленной на рисунке 46, терморегулятор на основе биметаллического прерывателя не изменяет величину тока, а только включает или выключает его подачу в нагревательный элемент. Дискретные системы не обеспечивают точной стабилизации контролируемого параметра, но отличаются простотой и дешевизной. Они широко используются в бытовой технике — регулирование температуры в утюгах, электроплитах. Дискретное U Рис. 45. Регулятор прямого действия Сильфон Реостат ТЭН - 92 - регулирование может быть реализовано не только в электрических приборах, но и в пневматических, гидравлических системах, например, с помощью клапанов, настроенных на определенную величину давления. Системы автоматического регулирования могут быть одномерными — регулируется только один параметр, и многомерными — число контролируемых параметров больше одного. Для многомерных САР целесообразно разбиение функциональной схемы на несколько, по одной на каждый контролируемый параметр. Анализ работы системы в этом случае существенно упрощается. Срабатывание систем, показанных на рисунках 44...46, происходит при отклонении контролируемого параметра от заданного значения. По принципу регулирования такие системы относят к системам «Ползунова- Уатта». Их называют системами регулирования по отклонению контролируемого параметра. Другой принцип регулирования используется в разомкнутых системах и сводится к компенсации помехи — возмущения. Системы такого типа называют системами «Понселе- Чикалева». На рисунке 47, а иллюстрируется способ компенсации влияния изменения температуры металла перед прокатным станом. При понижении температуры из-за увеличения сопротивления деформации возрастает давление на валки и за счет упругой деформации клети увеличивается зазор между валками,и , соответственно, толщина полосы. Информация о температуре металла, полученная пирометром, поступает в компенсатор возмущения. Последний по заложенному алгоритму вычисляет необходимую поправку и выдает команду на исполнительный механизм — нажимное устройство. Двигатель (или гидроцилиндры) Рис. 46. Дискретная система регулирования температуры 1 — корпус, 2 — изолятор, 3 — токоподводы, 4 — настройка, 5 — биметаллическая пластина, стрелки — направление изгиба пластины, красная — при нагреве, синяя — при охлаждении ТЭН Терморегулятор U 4 3 2 1 5 Терморегулятор - 93 - нажимного устройства через гайку и нажимной винт изменяет расстояние между валками, компенсируя влияние изменения температуры. Качество компенсации в этом случае полностью определяется алгоритмом, заложенным в систему регулирования. В алгоритм должны быть заложены свойства прокатываемого металла, форма и размеры очага деформации, условия на контакте металла с инструментом и другие, важные для расчета давления металла на инструмент параметры. Кроме температуры металла могут приниматься во внимание колебания размеров заготовки. В этом случае система должна быть оснащена дополнительными датчиками, а алгоритм существенно скорректирован. Достоинством такой системы является ее опережающий характер — она работает на упреждение дефекта. Недостаток — сложность реализации и требования к высокой квалификации инженеров-прокатчиков, разрабатывающих алгоритмы. Система регулирования по отклонению толщины полосы при прокатке показана на рисунке 47, б. В этой системе, информация о толщине полосы сравнивается с заданным значением и регулятор с помощью нажимного устройства изменяет расстояние между валками в зависимости от обнаруженного отклонения. Недостатком такой системы является то, что она срабатывает с запаздыванием. Чтобы уменьшить величину запаздывания стремятся приблизить летучий микрометр — измеритель толщины к раствору валков. При большой инерционности механической и электрической части системы возможно возникновение периодического изменения размера вдоль прокатанной полосы. Особенностью систем, показанных на рисунках 45-46 и 47, б является то, что управляющее воздействие возникает только при не нулевом отклонении контролируемого параметра от заданного значения. Говорят, что такие системы работают с ошибкой. Если в системе автоматического регулирования имеются интегрирующие элементы, то ошибка может быть Двигатель Пирометр Нажимной механизм Компенсатор возмущения Двигатель Нажимной механизм Регулятор Измеритель толщины а) б) Рис. 47. Регулирование толщины полосы при прокатке а — по возмущению, б — по отклонению - 94 - уменьшена до величины, определяемой порогом чувствительности датчиков. Поэтому, по результатам работы САР в установившемся режиме все системы делят на астатические, у которых ошибка определяется только порогами чувствительности элементов (рис. 48,а) и статические, работающие со статической ошибкой (рис. 48, б). При использовании регуляторов со статической ошибкой нужно корректировать настройку с учетом возможной ошибки. Однако, при изменении настройки изменится и величина статической ошибки. x(t) t 0 x* а) x(t) t 0 x* б) Δx Рис. 48. Переходные процессы в астатической (а) и статической (б) системах x* — заданное значение контролируемого параметра, Δx — статическая ошибка |