ЛабПрактикумМеханика. Контрольные вопросы для закрепления изученного материала. Предназначен для студентов очной и заочной форм обучения
 Скачать 4.4 Mb.
|
|
Лабораторная работа № 101 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ДИСКА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА 1. ЦЕЛИ РАБОТЫ 1. Определение момента инерции сплошного диска относительно оси вращения при различных расстояниях между этой осью и осью симметрии. 2. Экспериментальная проверка теоремы Штейнера. 2. ЗАДАЧИ 1. Закрепление теоретических знаний студентами по теме «Механика твердого тела». 2. Приобретение навыков проведения физических измерений, умения обработки полученных данных. 3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 3.1. Момент инерции. Теорема Штейнера Моментом инерции материальной точки относительно оси называют произведение ее массы m i на квадрат расстояния r i отэтой материальной точки до оси 2 i i i J m r = Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело, относительно этой оси 2 1 1 n n i i i i i J J m r = = = = ∑ ∑ Представим тело состоящим из бесконечно малых частей объемом dV и массы dm. Тогда момент инерции каждой малой части относительно оси будет равен 2 dJ r dm = Интегрируя данное уравнение по всей массе, получим момент инерции тела относительно оси 2 m J r dm = ∫ , (1) 161 где r – расстояние от малой части тела объемом dV до рассматриваемой оси. Так как ρ dm dV = , где ρ – плотность тела в данном объеме dV, уравнение (1) можно записать в виде 2 ρ V J r dV = ∫ (2) Из уравнения (2) следует, что момент инерции тела зависит от материала, формы, размеров тела, а также от распределения массы тела относительно оси. Если тело однородно, то плотность ρ во всех его областях одинакова, в этом случае 2 ρ V J r dV = ∫ (3) В табл. 1 приведены значения моментов инерции некоторых однородных тел простейшей формы относительно определенных осей симметрии, которые можно получить, решив уравнение (3). Таблица 1 Тело Положение оси С Момент инерции J С Прямой тонкий стержень длины l и массы m Сплошной цилиндр (диск) радиуса R и массы m Полый тонкостенный цилиндр (обруч, кольцо) радиуса R и массы m Шар радиуса R и массы m Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину Ось симметрии цилиндра (диска) Ось симметрии цилиндра (обруча, кольца) Ось симметрии проходит через центр шара 2 1 12 ml 2 1 2 mR 2 mR 2 2 5 mR Каждое из приведенных в таблице значений моментов инерции рассчитано относительно оси, проходящей через центр масс тела. Зная эти значения, можно легко вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси, параллельной той, которая проходит через центр масс. Это можно сделать с помощью теоремы Штейнера, согласно которой момент инерции J тела относительно 162 произвольной оси равен сумме момента инерции J С тела относительно оси, параллельной взятой и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями 2 = + C J J ma (4) Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому, как масса является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции зависит не только от массы тела, но и от распределения массы относительно оси. Каждое тело независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое. 3.2. Метод крутильных колебаний Рассмотрим поведение диска, который может вращаться вокруг закрепленной вертикальной оси, перпендикулярной плоскости диска. Пусть к диску будет прикреплен внешний конец спиралевидной пружины, другой конец которой (внутренний) прикреплен к оси. Если диск повернуть вокруг оси на некоторый угол, а затем предоставить самому себе, то он будет совершать вращательное колебательное движение. Это движение подобно тому, как ведет себя маятник в механических часах. Величина вращающегося момента силы упругости М , возникающего при деформации пружины и заставляющего ее вернуться в недеформированное состояние, прямо пропорциональна углу ϕ отклонения диска от равновесного положения М D = − ⋅ϕ , (5) где D – модуль кручения пружины. Наличие знака «минус» в (5) обусловлено тем, что вектор момента силы М направлен противоположно вектору изменения угла поворота dϕ. Если пренебречь трением диска об ось и действием на него воздуха, то основной закон динамики вращательного движения применительно к диску запишется как М J ε = ⋅ , (6) 163 где J – момент инерции диска относительно оси вращения, а 2 2 d ε dt ϕ = – это угловое ускорение диска. Исключая из уравнений (5) и (6) М , получим дифференциаль- ное уравнение гармонических незатухающих колебаний 2 2 d D J dt ϕ = − ϕ , решением, которого является гармоническая функция ϕ (t) 0 0 cos( ω ) t ϕ = ϕ + ϕ , где 0 D J ω = – циклическая частота колебаний диска. Выразив 0 ω через период колебаний 0 2 T π ω = , получим 2 2 4 π T D J = (7) Таким образом, зная модуль кручения пружины D и измерив период колебаний диска, можно определить момент инерции диска относительно оси вращения. 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА Установка для определения момента инерции диска относительно различных осей, перпендикулярных плоскости диска, изображена на рис. 1. В состав установки входят: сплошной диск 1 с отверстиями, торсионная ось вращения с пружиной, закрытая защитным кожухом 2, опора V-образной формы 3 и таймер 4. 164 5. ТРЕБОВАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ 1. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и лабораторной установкой. 2. Сообщите преподавателю или лаборанту о замеченных неисправностях. 3. Не загромождайте рабочее место предметами, не относя- щимися к выполняемой работе. 4. По окончании работы приведите в порядок свое рабочее место. 6. ЗАДАНИЕ Определение момента инерции сплошного диска относительно оси вращения при различных расстояниях между этой осью и осью симметрии. Экспериментальная проверка теоремы Штейнера. 7. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 1. Закрепить центр диска на оси вращения и установить его в состояние равновесия на столе. 2. Повернуть диск на 180º от положения равновесия и отпустить. 3. Определить время t 1 5 полных колебаний диска. 4. Повторить опыт еще 2 раза, измеряя время t 2 и t 3 5. Определить период колебаний Т диска, поделив среднее время t ср на число колебаний ср N t Т = 1 4 2 3 Рис. 1. Экспериментальная установка 165 6. Установить диск на оси вращения таким образом, чтобы она находилась на расстоянии 2 см от его центра. Провести эксперимент и расчет периода, повторив п. 2–4. 7. Повторить измерения при расстояниях от центра диска до оси вращения, равных 4, 6, 8 см. 8. По формуле (7), рассчитать моменты инерции диска относительно оси вращения для всех расстояний от нее до центра диска, включая нулевое. Модуль кручения пружины принять равным D = 0,033 Н·м/рад. 9. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 2. Таблица 2 а, см а 2 , см 2 t 1 , с t 2 , с t 3 , с t ср , с Т, с J , кг·м 2 J теор , кг·м 2 10. Рассчитать теоретические значения момента инерции диска J теор , относительно оси вращения для всех расстояний от нее до центра диска, включая нулевое. Использовать теорему Штейнера (4). Данные занести в таблицу. Масса диска равна 704 г. 11. На одном графике построить графики зависимостей момента инерции тела для экспериментальных (J ) и теоретических значений моментов инерции(J теор ) от квадрата расстояния а 2 между осью вращения и параллельной осью, проходящей через центр масс диска. 12. По виду зависимостей J = f ( а 2 ) сделать вывод о выполнении или невыполнении теоремы Штейнера. 13. Сравнить теоретические и экспериментально найденные значения моментов инерции диска относительно оси симметрии. Контрольные вопросы 1. Что называют моментом инерции материальной точки относительно оси? Что называют моментом инерции тела относительно оси? 166 2. Каков физический смысл момента инерции? 3. В чем суть теоремы Штейнера? 4. Как теорема Штейнера проверяется экспериментально? 5. Как рассчитать момент инерции диска относительно оси симметрии? 6. Вычислить момент инерции полого цилиндра относительно оси, совпадающей с его образующей (сплошного шара относительно оси, касательной к его поверхности; тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через его конец). Требования к содержанию и оформлению отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать: 1. Номер, название и цель лабораторной работы. 2. Теоретические основы применения метода крутильных колебаний для определения моментов инерции тел относительно различных осей. 3. Таблицу с результатами измерений и вычислений. 4. Расчет погрешностей измерений (по указанию преподавателя). 5. Графики зависимостей J = f ( а 2 ) и J теор = f ( а 2 ). 6. Краткое заключение (выводы) по результатам работы: обобщение того, что сделано в работе, сравнение теоретически рассчитанных и экспериментально полученных значений момента инерции диска относительно оси симметрии, заключение о выполнении или нарушении теоремы Штейнера, предложения по усовершенствованию лабораторной установки и по проведению работы. Критерии результативности выполнения лабораторной работы Лабораторная работа считается выполненной, если студент: – овладел понятиями момента инерции материальной точки и тела относительно оси, знает физический смысл момента инерции, понимает суть теорему Штейнера; – решает типовые задачи на применение теоремы Штейнера; – правильно выполнил эксперимент и расчеты; – оформил отчет в соответствии с предъявляемыми к нему требованиями; 167 – подготовил исчерпывающие ответы на все контрольные вопросы. Список литературы 1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. – СПб.: Издательство «Лань», 2018. 2. Детлаф А. Н., Яворский Б. М. Курс физики. – М.: Academia, 2015. 3. Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Academia, 2016. 168 Лабораторная работа № 102 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ УНИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 1. Изучение законов сохранения момента импульса и энергии. 2. Определение скорости полета пули по измерению периода колебаний и угла поворота крутильного баллистического маятника. 2. ЗАДАЧИ 1. Закрепление теоретических знаний студентами по теме «Момент импульса. Законы сохранения момента импульса и энергии». 2. Приобретение навыков проведения физических измерений и умения обработки получаемых при этом данных. 3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 3.1. Момент импульса Метод определения скорости полета пули с помощью крутильного баллистического маятника основан на использовании законов сохранения момента импульса и механической энергии. Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О (рис. 1) называют векторное произведение радиус-вектора r , проведенного из точки О до точки А, на вектор импульса p [ ] [ ] , , L r p r m = = υ , где m – масса материальной точки; υ – ее скорость. Направление вектора L совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к . p Модуль момента импульса равен sin L r p pl = ⋅ ⋅ α = , где α – угол между векторами r и p ; sin r l ⋅ α = – плечо импульса относительно точки О (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой направлен p ). 169 Моментом импульса относительно неподвижной оси Z называют скалярную величину z L , равную проекции на эту ось вектора момента импульса L , определенного относительно произвольной точки О данной оси Z (рис. 2). Значение z L не зависит от выбора точки положения О на оси Z. При вращении абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси Z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса i r с некоторой скоростью i υ Скорость i υ и импульс i i υ m перпендикулярны этому радиусу, поэтому радиус является плечом вектора i i υ m . Момент импульса отдельной частицы будет равен i i i i r m L υ = и направлен по оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта. Рис. 1. Момент импульса относительно неподвижной точки О Z X Y O A Рис. 2. Момент импульса относительно неподвижной оси Z 170 Момент импульса твердого тела относительно оси равен сумме моментов импульса отдельных частиц ∑ = = n i i i i r m L υ z 1 Учитывая, что i i r υ ω = получаем 2 2 1 1 ω ω ω n n i i i i i i z z L m r m r J = = = = = ∑ ∑ Силой называют векторную физическую величину, являющуюся мерой воздействия на тело других тел и полей. Силы, работа которых определяется только начальным и конечным положением тела и не зависит от формы траектории, называют консервативными или потенциальными. Силы, работа которых зависит от траектории перемещающегося тела из одной точки в другую, называют диссипативными (неконсервативными). Совокупность материальных точек или тел, выделенных для рассмотрения, называют механической системой. Силы взаимодействия между телами системы называют внутренними. Силы, с которыми на тела системы действуют внешние тела, называют внешними. Если на механическую систему тел внешние силы не действуют, то такую систему называют замкнутой или изолированной. Количественной мерой различных форм движения и взаимодействия материи является энергия. В соответствии с различными формами движения и взаимодействия материи энергию подразделяют на механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и другие виды. Различают два вида механической энергии (кинетическую и потенциальную), сумму которых называют полной механической энергией или просто механической энергией. Кинетическая энергия – это энергия, которой тела обладают вследствие своего движения. Физический смысл кинетической энергии заключается в следующем: кинетическая энергия тела равна работе, которую оно способно совершить в процессе уменьшения своей скорости до нуля. Изменение кинетической энергии тела при некотором перемещении равно работе результирующей силы, действующей на тело при этом перемещении. 171 Работа консервативной силы при бесконечно малом изменении конфигурации системы равна убыли некоторой функции, зависящей только от относительного расположения тел системы и характера сил взаимодействия между ними. Эту функцию и называют потенциальной энергией системы. Согласно закону сохранения механической энергии, полная механическая энергия системы тел в отсутствии диссипативных сил (как внутренних, так и внешних) остается постоянной. Если между телами системы или на тела системы, кроме консервативных сил, действуют диссипативные силы, то полная механическая энергия не сохраняется. Работа диссипативных сил равна изменению полной механической энергии. Утверждение о том, что момент импульса замкнутой системы остается постоянным, выражает закон сохранения момента импульса. |