ЛабПрактикумМеханика. Контрольные вопросы для закрепления изученного материала. Предназначен для студентов очной и заочной форм обучения

• Название: Контрольные вопросы для закрепления изученного материала. Предназначен для студентов очной и заочной форм обучения
• Дата: 14.02.2022
• Размер: 4.4 Mb.
• Имя файла: ЛабПрактикумМеханика.pdf
• Тип: Контрольные вопросы; #360985
• страница: 10 из 17

Задание 2. Определение ускорения свободного падения
с помощью оборотного маятника
1.
Зафиксировать диски на стержне несимметрично таким образом, чтобы один из них находился вблизи конца стержня, а другой – между опорными призмами вблизи его середины.
2.
Призматические опоры маятника закрепить по обеим сторонам центра тяжести полученной системы таким образом, чтобы они были обращены друг к другу лезвиями. Один из них поместить вблизи свободного конца стержня, а второй – на половине расстояния между дисками.
3.
Проверить, соответствуют ли грани лезвий опор нарезкам на стержне.
4.
Подвесить оборотный маятник на призматической опоре, находящейся вблизи конца стержня. Повернуть верхний кронштейн так, чтобы стержень маятника находился в рабочей зоне фотодатчика.
112

5.
Привести маятник в движение, отклонив его на 5º–8º от положения равновесия. Не рекомендуется выбирать начальную амплитуду более 10º, так как при этом может возникнуть скольжение призмы по опорной площадке.
6.
С помощью секундомера измерить время 10–20 колебаний.
7.
Определить период колебаний Т
1
оборотного маятника.
8.
Снять маятник и закрепить его на второй призматической опоре.
9.
Определить период T
2
колебаний оборотного маятника в этом положении, повторив действия п. 5, 6.
10.
Если Т
2
> T
1
, то опору переместить в направлении диска, находящегося в конце стержня. Если же Т
2
< T
1
, то в направлении середины стержня. Расположение диска и первой опоры не менять.
11.
Повторно измерить период Т
2
и сравнить с величиной Т
1 12.
Изменять положение второй опорной призмы до тех пор, пока Т
2
не станет равным Т
1
с точностью до 1%. В этом положении опыт повторить 5 раз. Рассчитать среднее значение времени, его абсолютную и относительную погрешность. Данные занести в табл. 2.
Таблица 2
№
n
t
1
, с
1
Δt
, с
Т
1
, с
t
2
, с
2
Δt
, с Т
2
, с
g
, м/с
2 1
2 3
4 5 среднее значение
13.
Определить приведенную длину оборотного маятника, подсчитав количество нарезок на стержне между опорами, которые нанесены через каждые 10 мм.
14.
Рассчитать ускорение свободного падения, используя формулу
2
ср
2
ср
4
l
g
T
π
=
113

15.
Если не удалось добиться равенства Т
1
и Т
2
, то ускорение свободного падения рассчитать, используя формулу
2 2
2 1
2 2
2 1
ср 1 2ср 2 4
(
)
r
r
g
T
r
T
r
π
−
=
−
Центр масс маятника найти с помощью призмы и линейкой измерить расстояния r
1
и r
2 от центра масс до точек подвеса.
16.
Рассчитать абсолютную и относительную погрешность измерения ускорения свободного падения. Сделать запись конечного результата.
17.
Данные занести в табл. 2.
18.
Окончательный результат записать в виде
(
)
2
ср
Δ
м / с
g
g
g
=
±
100 %
g
g
∆
ε =
19.
Сравнить полученное значение g с теоретическим значением ускорения свободного падения для данной широты местности.
Контрольные вопросы
1.
Что называется математическим маятником?
2.
Что называется физическим маятником?
3.
Что называется приведенной длиной физического маятника?
4. Как формулируется теорема Штейнера?
5.
Что называется «центром качания»?
6.
Какой маятник называется оборотным?
7.
Выведите формулы для периодов колебаний математического и физического маятников.
8.
Как направлены вектор момента силы тяжести
M

и вектор углового ускорения
ε
, когда маятник движется к положению равновесия? От положения равновесия?
Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет к лабораторной работе должен содержать:
1.
Номер, название и цель лабораторной работы.
2.
Теоретические основы метода определения ускорения свобод- ного падения с помощью математического и физического маятников.
114

3.
Таблицы с результатами измерений и вычислений.
4.
Расчеты погрешностей измерения ускорения свободного падения.
5.
Вывод по работе.
Критерии результативности выполнения лабораторной
работы
Лабораторная работа считается выполненной, если студент:
– усвоил понятия математического и физического маятников, приведенной длины и центра качания физического маятников, умеет выводить формулы для определения периодов колебаний маятников и применять их при решении типовых задач;
– овладел знанием теоретических основ экспериментального определения ускорения свободного падения с помощью математического и физического маятников;
– решает типовые задачи на математический и физический маятники;
– правильно выполнил измерения и расчеты;
– оформил отчет в соответствии с предъявляемыми требованиями;
– дал исчерпывающие ответы на все контрольные вопросы.
Список литературы
1.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 2. – СПб.: Издательство «Лань», 2016.
2.
Детлаф А. Н., Яворский Б. М. Курс физики. – М.: Academia, 2015.
3.
Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Academia, 2016.
115

Лабораторная работа № 10
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
1.
ЦЕЛИ РАБОТЫ
1.
Изучение свободных колебаний пружинного маятника.
2.
Экспериментальное определение коэффициента жесткости пружины, логарифмического декремента затухания и коэффициента сопротивления воздуха.
2. ЗАДАЧИ
1.
Закрепление теоретических знаний студентами по теме
«Механические колебания и волны».
2.
Приобретение навыков проведения физических измерений, умения обработки полученных данных и оценки погрешностей измерений.
3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Свободными (собственными) называют колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того как она была выведена из положения равновесия. Если в системе отсутствуют диссипативные силы (силы сопротивления среды, силы трения), то при колебаниях не происходит потерь энергии. Такие свободные колебания называют незатухающими, они происходят с неизменной амплитудой (амплитудой колебания называют наиболь- шее отклонение колеблющейся величины от равновесного значения).
Колебания, при которых значение некоторой физической величины (например, координаты тела, его скорости, ускорения) повторяется через равные промежутки времени, называют
периодическими. Наименьший промежуток времени, через который это происходит, называют периодом колебания.
Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса или синуса, называют
гармоническими. Если величина х совершает гармоническое колебание, то она изменяется со временем по закону
0 0
cos(
ω
)
x
A
t
=
+ ϕ
,
(1) где
A
– амплитуда колебания;
0
ω
– круговая или циклическая частота; (
0 0
t
ω + ϕ ) – фаза колебания, определяющая значение х
116

в данный момент времени t;
0
ϕ – фаза колебания в начальный момент времени t = 0, называемая начальной фазой.
Если х представляет собой координату тела, то скорость
υ
и ускорение
a
при гармоническом колебании изменяются со временем по законам:
0 0
sin (
)
dx
A
t
dt
υ =
= − ω
ω + ϕ ,
(2)
2 2
0 0
2
cos (
)
d x
a
A
t
dt
=
= − ω
ω + ϕ .
(3)
Из уравнений (3) и (1) получаем
2 2
0 2
0
d x
x
dt
+ ω
= .
(4)
Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением
свободных незатухающих гармонический колебаний. Решением этого уравнения является гармоническая функция (1).
Примером гармонических колебаний служат колебания
пружинного
маятника, представляющего собой груз, прикрепленный к упругой пружине. Если
0
l – первоначальная длина пружины без груза, то при подвешивании груза массы m пружина растянется на величину
l
∆
, называемую статическим удлинением
пружины (рис. 1).
Рис. 1. Пружинный маятник
x
x
117

Когда маятник находится в положении равновесия, сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины. Если удлинение пружины невелико, то выполняется
закон Гука
F
1
= k
Δl.
Согласно второму закону Ньютона, можно
m g
k l
= ∆
,
(5) где
k
– коэффициент упругости.
При смещении груза относительно положения равновесия в положение, где его координата равна
x
, удлинение пружины будет равно Δ
x
l
+
Для этого положения по второму закону Ньютона
(
)
m a
mg
k
l
x
=
− ∆ +
Отсюда, учитывая (5) и то, что
2 2
t
d
x
d
а=
, получаем
2 2
0
d x
k
x
m
d t
+
= .
(6)
Уравнение (6) – это дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний совершаемых с частотой
0
k
m
ω =
Решением уравнения (6) является функция вида (1)
0 0
cos(
ω
)
x
A
t
=
+ ϕ
Таким образом, колебания, совершаемые телом под действием упругой силы или любой другой, не являющейся силой упругости, но также пропорциональной смещению
(F

x), будут гармоническими. Такие силы называют квазиупругими.
В реальных колебательных системах всегда присутствуют силы сопротивления среды, направленные противоположно скорости движения тела, например, силы трения. Их наличие приводит к рассеянию энергии, запасенной в системе и, как следствие, к уменьшению амплитуды колебаний. Такие колебания называют
затухающими. Они не являются периодическими и гармоническими, поэтому при описании затухающих колебаний понятия амплитуды, периода, частоты можно использовать лишь условно.
Закон убывания амплитуды зависит от характера сил сопротивления среды, действующих на тело.
При малых его
118

скоростях с достаточной степенью точности можно считать, что сила сопротивления среды прямо пропорциональна скорости сопр
F
r
υ
=−


, где r – коэффициент сопротивления среды.
Уравнение динамики тела при его движении под действием сил упругости и сопротивления среды в проекции на ось ОХ (рис. 1) будет имеет вид
m a
k x r
=−
− υ.
(7)
Откуда
2 2
0 2
2 0
d x
d x
x
d t
d t
+ β
+ ω
= ,
(8) где
m
r
2
=
β
называют коэффициентом затухания.
Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением
свободных затухающих колебаний. Решением уравнения (8) является функция х(t) вида
β
0 0
cos (
)
t
x
A e
t
−
=
ω + ϕ
,
(9) где А
0
и ϕ
0
– начальные амплитуда и фаза колебаний, определяемые начальными условиями.
На рис. 2 приведен типичный график функции (9).
Изменение х со временем, судя по уравнению (9), можно рассматривать как гармоническое колебание с изменяющейся со временем амплитудой
t
e
A
A
β
0
−
=
(10)
Рис. 2. Затухающие колебания
119

Циклическая частота затухающих колебаний оказывается равной
2 2
0
ω = ω − β .
Величину
ω
π
=
2
T
называют периодом затухающих колебаний.
Основными величинами, характеризующими затухающие колебания в системе, служат логарифмический декремент затухания, время релаксации и добротность.
Логарифмическим декрементом затухания λ называют натуральный логарифм отношения двух амплитуд, взятых через период T,
T
e
e
A
e
A
t
t
t
T
β
=
=
=
λ
+
−
−
β
)
(
β
0
β
0
ln ln
Время τ, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз (е – экспонента), называют временем
релаксации. Можно показать, что
β
=
τ
1
Величину
Q
Ne
= π
(11) где N
e
– число колебаний за время релаксации, называют
добротностью колебательной системы.
Добротность равна умноженному на 2π отношению энергии Е
колебаний системы в произвольный момент времени к энергии ∆Е, теряемой за период
( )
2 2
( )
(
)
E
E t
Q
E
E t
E t T
= π
= π
∆
−
+
При малых значениях β
λ
π
=
Q
Колебания, которые происходят под действием внешней, периодически изменяющейся со временем силы
( )
F
f t
=
, называют
вынужденными. Если вынуждающая внешняя сила изменяется по гармоническому закону
0
вын cos
F
F
t
=
ω
(где вын
ω
– частота
120

вынуждающей силы) то уравнение динамики тела в любой момент времени можно представить в виде
0
вын cos
m a
k x r
F
t
υ
= −
−
+
ω
,
(12) или
2 0
2 0
вын
2 2
cos
F
d x
d x
x
t
d t
m
d t
+ β
+ ω
=
ω
(13)
Это уравнение называют дифференциальным уравнением
вынужденных колебаний.
Общее решение неоднородного уравнения (13) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид
β
0 0
cos (
)
t
x
A e
t
−
=
ω + ϕ
,
(14) где
2 2
0
ω = ω − β .
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид вын cos (
)
x
A
t
=
ω
−ϕ ,
(15) где значения А и ϕ определяются уравнениями
0 2
2 2
2 2
0
вын вын
(
)
4
F
A
m
=
ω − ω
+ β ω
, вын
2 2
0
вын
2
tg
βω
ϕ =
ω −ω
(16)
Зависимость ( )
х t при вынужденных колебаниях показана на рис. 3.
Слагаемое (14) играет существенную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний.
С течением времени из-за множителя
β
t
e
−
роль слагаемого (14)
Рис. 3. Вынужденные колебания
121

уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (15). Таким образом, вынужденные установившиеся колебания представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных установившихся колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и зависит от ее частоты.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (рис. 4) такова, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения.
Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Такое явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ω к частоте собственных колебаний системы ω
0 называют резонансом, а соответствующую частоту – резонансной частотой.
Резонансная частота для х оказывается равной
2 2
рез
0 2
ω
= ω − β
,
(17) а амплитуда при резонансе рез
2 2
0 2
o
F
m
A
=
β ω −β
(18)
Рис. 4. Резонансные кривые
122

Согласно (17), резонансная частота в отсутствие сопротивления среды (при β = 0) совпадает с собственной частотой колебательной системы.
4
. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Работа выполняется на установке, показанной на рис. 5.
Установка представляет собой стойку, состоящую из основания 1 и несущей штанги 2, на которой крепятся верхний кронштейн 3 и нижний кронштейн 4 со шкалой 5. К верхнему кронштейну 3 подвешена колебательная система (пружинный маятник), состоящая из пружины 6 и груза 7. В комплект прибора входит набор цилиндров
№ 1, № 2, № 3 и дисков № 1, № 2, № 3.
Рис. 5. Экспериментальная установка
123

5.
ТРЕБОВАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ
1.
Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданиями и лабораторной установкой.
2.
По окончании работы приведите в порядок рабочее место.
6. ЗАДАНИЯ
1.
Изучение свободных незатухающих колебаний пружинного маятника. Определение коэффициента жесткости пружины.
2.
Изучение затухающих колебаний пружинного маятника.
Определение логарифмического декремента затухания и коэффи- циента сопротивления воздуха.
7.
МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1. Изучение свободных незатухающих колебаний
пружинного маятника. Определение коэффициента жесткости
пружины
1.
Определить положение нижнего конца пружины l
0
по шкале 5.
2.
Прикрепить к нижнему концу пружины цилиндр № 1 и определить новое положение нижнего конца пружины l.
3.
Вычислить величину статистического удлинения Δ l = l – l
0 4.
Вычислить коэффициент жесткости пружины по формуле
P
m g
k
l
l
′ =
=
∆
∆
, где m – масса цилиндра.
5. Вывести пружинный маятник из положения равновесия на 20 мм и измерить время 20 колебаний.
6. Измерения по п. 5 повторить еще 2 раза и результаты записать в табл. 1.
7.
Определить среднее время 20 колебаний и рассчитать средний период колебаний по формуле
n
t
T
=
, где n – число колебаний.
8.
Зная период колебаний и массу цилиндра, вычислить коэффициент жесткости пружины по формуле
2 2
4
m
k
T
π
′′ =
124

9.
Пункты 2–8 повторить для цилиндров № 2 и № 3.
10.
Для одного из цилиндров определить погрешности измерений коэффициентов k
′ и k
″.
11.
Сравнить значения коэффициентов жесткости пружины, полученные обоими методами.
Таблица 1
m, кг
l
0
, м
l, м
Δl, м
k
′,
кг/с
2
Δk′, кг/с
2
n
t, с
t
ср
, с
T,
с
k
″,
кг/с
2
Δk″, кг/с
2